非阿基米德Menger概率度量空間中Altman型映象公共不動(dòng)點(diǎn)定理及其在動(dòng)態(tài)規(guī)劃中的應(yīng)用

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(渤海大學(xué)數(shù)理學(xué)院， 遼寧 錦州 121013)

1 引言與預(yù)備知識(shí)

Istratescu等[1]引入并研究了非阿基米德Menger概率空間和一些拓補(bǔ)性質(zhì)。隨后許多人在非阿基米德Menger概率空間建立了一些不動(dòng)點(diǎn)存在性定理[2-10]。 另一方面, Altman[11]在完備度量空間中證明了一個(gè)映象f的不動(dòng)點(diǎn)定理, 而這一映象f滿足d(fx,fy)≤Φ(d(x,y)), 其中Φ∈Φ1(Φ1的定義見下面)。 此后文獻(xiàn)[12]推廣了文獻(xiàn)[11]中的結(jié)果。這里一個(gè)問題自然出現(xiàn): 可否在非阿基米德概率度量空間(X,F,Δ)中建立Altman型映象的不動(dòng)點(diǎn)定理。 由于(C)g型的非阿基米德 Menger概率度量空間(X,F,Δ)中g(shù)F滿足三角不等式，即?x,y,z∈X,?t≥0, 有g(shù)Fx,y(t)≤gFx,z(t)+gFz,y(t), 因此在(C)g型的非阿基米德Menger概率度量空間(X,F,Δ)中討論Altman型映象不動(dòng)點(diǎn)的存在性成為可能。近些年來, 文獻(xiàn)[13-22]研究了若干非線性映象類不動(dòng)點(diǎn)的存在性與迭代逼近, 這其中文獻(xiàn)[13]在模糊度量空間中建立了壓縮型映象不動(dòng)點(diǎn)定理并討論了一類泛函方程解的存在性與唯一性。受上述工作啟發(fā), 本文在非阿基米德概率度量空間中證明 Altman型映象的公共不動(dòng)點(diǎn)的存在性和唯一性定理, 作為應(yīng)用我們還討論了起源于動(dòng)態(tài)規(guī)劃的一類泛函方程組解的存在與唯一性。

定義Φ1={Φ:Φ:[0,∞)→[0,∞) 是單調(diào)遞增滿足(c1),(c2)和(c3)}, 其中條件(c1),(c2),(c3)如下:

(c1) 0<Φ(u)0;

注1 如果Φ∈Φ1, 則Φ(0)=0且Φ(u)=u?u=0。

定義2[7]設(shè)X是非空集,D為全體分布函數(shù),F:X×X→D,稱(X,F)為非阿基米德概率度量空間, 若滿足下面條件:(對(duì)x,y∈X,分布函數(shù)F(x,y)記為Fx,y)

1) 對(duì)?t>0,Fx,y(t)=1當(dāng)且僅當(dāng)x=y;

2)Fx,y=Fy,x,?x,y∈X;

3)Fx,y(0)=0,?x,y∈X;

4) 若Fx,y(t)=1,Fy,z(s)=1，則Fx,z(max{t,s})=1,?x,y,z∈X。

定義3[10]映象Δ:[0,1]×[0,1]→[0,1]稱為三角范數(shù), 如果滿足以下條件

(i) ?a∈[0,1],Δ(a,1)=a,

(ii) ?a,b∈[0,1],Δ(a,b)=Δ(b,a),

(iii) ?a,b,c,d∈[0,1],若a≥b,c

(iv) ?a,b,c∈[0,1],Δ(a,Δ(b,c))=Δ(Δ(a,b),c)。

定義4[7]三元組 (X,F,Δ) 稱為非阿基米德Menger概率度量空間, 若(X,F) 是一非阿基米德概率度量空間,Δ是滿足下列條件的Δ-范數(shù)。

5)Fx,z(max{t1,t2})≥Δ(Fx,y(t1),Fy,z(t2)),?t1,t2∈[0,∞),?x,y,z∈X。

設(shè)Ω={gg:[0,1]→[0,∞)連續(xù),嚴(yán)格遞減,g(1)=0,g(0)<+∞}。

定義5[7]非阿基米德 Menger概率度量空間 (X,F,Δ) 稱為(C)g型的, 如果存在g∈Ω,使得?x,y,z∈X,?t≥0, 有g(shù)Fx,y(t)≤gFx,z(t)+gFz,y(t)。

定義6[7]非阿基米德Menger概率度量空間(X,F,Δ)稱為(D)g型的, 如果存在g∈Ω,使得?s,t∈[0,1], 有g(shù)(Δ(s,t))≤g(s)+g(t)。

定義7[10]設(shè)(X,F,Δ)是(C)g型非阿基米德Menger概率度量空間， (X,F,Δ)中序列{xn}收斂于x當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)?ε>0,λ>0, 存在N(ε,λ)∈N(正整數(shù)集), 使得n≥N,有g(shù)Fxn,x(ε)

定義8[10]設(shè)(X,F,Δ)是(C)g型非阿基米德Menger概率度量空間，(X,F,Δ)中序列{xn}稱為Cauchy序列當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)?ε>0,λ>0, 存在N(ε,λ)∈N(正整數(shù)集), 使得?n≥N,?p≥1,有g(shù)Fxn,xn+p(ε)

定義9 設(shè)(X,F,Δ)是(C)g型非阿基米德Menger概率度量空間, 映象S,A:X→X稱為弱交換的, 如果?x∈X,?t>0, 有g(shù)FASx,SAx(t)≤gFSx,Ax(t)。

顯然可換映象一定是相容映象, 但反之不真。

引理1 設(shè)(X,F,Δ)是(C)g型非阿基米德Menger概率度量空間,S,A:X→X是相容映象, 如果Az=Sz,z∈X, 則ASz=SAz。

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)(X,F,Δ)是完備的(C)g型非阿基米德Menger概率度量空間,(S,A),(T,B)是X→X的相容映象對(duì),S,T,A,B連續(xù),AX?TX,BX?SX, 使得?x,y∈X,?t>0, 有

(1)

其中Φ∈Φ1，則S,T,A,B在X上有唯一的公共不動(dòng)點(diǎn)。

證明任取x0∈X, 作序列y2n=Ax2n=Tx2n+1,y2n+1=Bx2n+1=Sx2n+2(n=0,1,2,…),

對(duì)?t>0, 由式(1)有

g[Fy2n,y2n+1(t)]=g[FAx2n,Bx2n+1(t)]≤Φ(max{g[Fy2n-1,y2n(t)],g[Fy2n-1,y2n(t)],

(2)

如果存在t0>0，使得g[Fy2n-1,y2n(t0)]

g[Fy2n,y2n+1(t0)]≤Φ(g[Fy2n,y2n+1(t0)])

矛盾。故對(duì)?t>0，有g(shù)[Fy2n-1,y2n(t)]≥g[Fy2n,y2n+1(t)], 從而由式(2)對(duì)?t>0，有

g[Fy2n,y2n+1(t)]≤Φ(g[Fy2n-1,y2n(t)])。

同理可證對(duì)?t>0，有

g[Fy2n-,y2n(t)]≤Φ(g[Fy2n-2,y2n-1(t)])。

于是?n≥1,?t>0, 有g(shù)[Fyn,yn+1(t)]≤Φ(g[Fyn-1,yn(t)])。

令sn(t)=gFyn,yn+1(t)。如果對(duì)某個(gè)n, 有s2n-1(t)=gFy2n-1,y2n(t)=0,?t>0, 則

y2n-1=y2n, 進(jìn)而Sx2n=Ax2n=u, 由(S,A)是相容映象有Su=Au，由AX?TX, 故存在v，使Tv=Au, 從而由式(1)和(c1)有

g[FAu,Bv(t)]≤Φ(max{g[FSu,Tv(t)],g[FAu,Su(t)],

Φ(g[FBv,Au(t)])

所以Bv=Au,于是Su=Au=Bv=Tv=c, 進(jìn)而由引理1有Sc=Ac,Bc=Tc。由式(1)和(c1)有

g[FAc,Bc(t)]≤Φ(max{g[FSc,Tc(t)],g[FAc,Sc(t)],

Φ(g[FAc,Bc(t)])

所以Sc=Tc=Bc=Ac。下面證c是S,T,A,B在X上公共不動(dòng)點(diǎn)。由(1)和(c1)有

g[Fc,Bc(t)]=g[FAu,Bc(t)]≤Φ(max{g[FSu,Tc(t)],g[FAu,Su(t)],g[FBc,Tc(t)],

g[Fc,Bc(t)]))=Φ(g[Fc,Bc(t)])

表明c=Bc。 類似地如果對(duì)某個(gè)n,有s2n(t)=gFy2n,y2n+1(t)=0,?t>0, 則S,A,T,B也存在不動(dòng)點(diǎn)。故若對(duì)某個(gè)n,有sn(t)=gFyn,yn+1(t)=0,?t>0, 則S,A,T,B存在不動(dòng)點(diǎn)。 以下可設(shè)?n≥0,?t>0,sn(t)>0, 因Φ∈Φ1, 所以對(duì)?n≥0,t>0,有δn+1(t)≤Φ(δn(t))<δn(t)。 這蘊(yùn)含對(duì)?t>0, {sn(t)}是關(guān)于n嚴(yán)格遞減的正數(shù)列，從而對(duì)?t>0, {sn(t)}收斂。 現(xiàn)證{yn}是X中的Cauchy列。事實(shí)上, ?t>0, ?n∈N(正整數(shù)集),?p≥1, 由條件(c1)和(c2)有

(3)

故對(duì)?t>0，由式(3)和T,S的連續(xù)性知

g[FBTx2n+1,Ty*(t)]≤g[FBTx2n+1,TBx2n+1(t)]+g[FTBx2n+1,Ty*(t)]→0(n→∞),

g[FASx2n,Sy*(t)]≤g[FASx2n,SAx2n(t)]+g[FSAx2n,Sy*(t)]→0(n→∞)。

據(jù)此及A,B連續(xù)性有

于是?t>0, 由式(1)有

g[FAy*,By*(t)]≤Φ(max{g[FSy*,Ty*(t)],g[FSy*,Ay*(t)],

Φ(max{g[FSy*,Ay*(t)]+g[FAy*,By*(t)]+g[FBy*,Ty*(t)],

0+g[FBy*,Ay*(t)])})=Φ(g[FAy*,By*(t)])。

因此Ay*=By*=Sy*=Ty*=z。下證z是S,T,A,B在X上的公共不動(dòng)點(diǎn)。

事實(shí)上, 由于By*=Ty*=z, 且B,T是相容的, 故由引理1有BTy*=TBy*。又?t>0, 由式(1)有

g[Fz,Tz(t)]=g[FAy*,TBy*(t)]=g[FAy*,BTy*(t)]≤Q(max{g[FSy*,T2y*(t)],g[FSy*,Ay*(t)],

于是Tz=z, 從而Bz=BTy*=TBy*=Tz=z。同理可證Sz=z=Az, 因此z是S,T,A,B在X上的公共不動(dòng)點(diǎn)。唯一性顯然。證畢。

如果我們用Φ的連續(xù)性代替映象A,B連續(xù)性, 則有下列結(jié)果。

定理2 設(shè)(X,F,Δ)是完備的(C)g型非阿基米德Menger概率度量空間,(S,A),(T,B)是X→X的相容映象對(duì),S,T連續(xù),AX?TX,BX?SX, 使得?x,y∈X,?t>0, 有

g[FAx,By(t)]≤Φ(max{g[FSx,Ty(t)],g[FSx,Ax(t)],

(4)

其中Φ∈Φ1且上半連續(xù)，則S,T,A,B在X上有唯一的公共不動(dòng)點(diǎn)。

證明任取x0∈X, 作序列y2n=Ax2n=Tx2n+1,y2n+1=Bx2n+1=Sx2n+2(n=0,1,2,…),

(5)

故對(duì)?t>0，由式(5)和T,S的連續(xù)性知

g[FBTx2n+1,Ty*(t)]≤g[FBTx2n+1,TBx2n+1(t)]+g[FTBx2n+1,Ty*(t)]→0(n→∞),

g[FASx2n,Sy*(t)]≤g[FASx2n,SAx2n(t)]+g[FSAx2n,Sy*(t)]→0(n→∞),

于是?t>0，由式(4)有

g[FASx2n,BTx2n+1(t)]≤Φ(max{g[FSy2n-1,Ty2n(t)],g[FSy2n-1,ASx2n(t)],

在上式中令n→∞時(shí)取極限, 得

從而?t>0,g[FSy*,Ty*(t)]=0，即Sy*=Ty*。又?t>0，由式(4)有

g[FASx2n,By*(t)]≤Φ(max{g[FSy2n-1,Ty*(t)],g[FSy2n-1,ASx2n(t)],

在上式中令n→∞時(shí)取極限, 得

g[FSy*,By*(t)]≤Φ(max{g[FSy*,Ty*(t)],g[FSy*,Sy*(t)],

從而?t>0,有g(shù)[FSy*,By*(t)]=0，即Sy*=By*。 同理可證Ty*=Ay*。因此Sy*=By*=Ty*=Ay*=z。

下證z是S,T,A,B的唯一公共不動(dòng)點(diǎn)。 事實(shí)上, 由于By*=Ty*=z, 且B,T是相容的, 故由引理1有BTy*=TBy*。又?t>0，由式(4)有

g[Fz,Tz(t)]=g[FAy*,TBy*(t)]=g[FAy*,BTy*(t)]≤Φ(max{g[FSy*,T2y*(t)],g[FSy*,Ay*(t)],

因此Tz=z, 從而Bz=BTy*=TBy*=Tz=z。同理可證Sz=z=Az, 因此z是S,T,A,B在X上的公共不動(dòng)點(diǎn)。唯一性顯然。證畢。

設(shè)R=(-∞,+∞),X和Y是實(shí)Banach空間,S?X為狀態(tài)空間,D?Y為決策空間,B(S)是S上有界實(shí)函數(shù)全體,x和y分別為狀態(tài)向量和決策向量,T為過程變換,f(x)為具有初始狀態(tài)x的最優(yōu)返回。下面我們利用定理1, 討論下列起源于動(dòng)態(tài)規(guī)劃的泛函方程的解的存在性和唯一性：

(6)

其中：i=1,2,3,4,x∈S,opt=sup或opt=inf,u:S×D→R,T:S×D→S,

其中：d(h,k)=sup{h(x)-k(x):x∈S}。對(duì)?a,b∈[0,1], 取Δ(a,b)=max{a+b-1,0}。則易知(B(S),F,Δ)是完備的(D)g型非阿基米德Menger概率度量空間, 進(jìn)而由注2可知(B(S),F,Δ)也是完備的(C)g型非阿基米德Menger概率度量空間, 其中g(shù):[0,1]→[0,∞),g(x)=1-x,?x∈[0,1]。

定理3 設(shè)

1)u,Hi(i=1,2,3,4)有界；

2) 對(duì)任意(x,ξ,y)∈S×S×D,k,h∈B(S)和t>0, 有

其中g(shù):[0,1]→[0,∞),g(x)=1-x,?x∈[0,1],Φ∈Φ1，

3)A1(B(S))?A4(B(S)),A2(B(S))?A3(B(S))；

4) 對(duì)Ai(i=1,2,3,4), 滿足任意的{γn}n≥1?B(S),γ∈B(S),有

5) 對(duì)任意的{μn}n≥1?B(S), 如果存在μ∈B(S),當(dāng)

證明任意的k,h∈B(S),定義d(k,h)=sup{k(x)-h(x),x∈S},由條件1)可知，Ai:B(S)→B(S),i=1,2,3,4。由條件4)和條件5)，A1,A2,A3,A4是連續(xù)的，并且A1與A3，A2與A4是相容的。若opt=sup，則由條件2)中Aiqi(x)的定義，對(duì)任意的k,h∈B(S),x∈S, 對(duì)任意的ε>0,存在y,z∈D, 有下列不等式成立：

A1k(x)

A1k(x)≥u(x,z)+H1(x,z,k(T(x,z)))，A2h(x)≥u(x,y)+H2(x,y,h(T(x,y)))。

由上面不等式容易得到

A1k(x)-A2h(x)

和

A1k(x)-A2h(x)>H1(x,z,k(T(x,z)))-H2(x,z,h(T(x,z)))-ε

令ε→0,得

于是對(duì)?t>0,有

進(jìn)而對(duì)?t>0,有

因此對(duì)?t>0, 由條件2)有

Φ(max{g[FA3k,A4h(t)],g[FA3k,A1k(t)],g[FA4h,A2h(t)],

(7)

若opt=inf，則類似于上面證明過程可知式(7)成立。于是由定理1可知，A1,A2,A3,A4有唯一的公共不動(dòng)點(diǎn)q∈B(S)，即q為泛函方程組(6)的唯一公共解。證畢。