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      理解數(shù)學(xué):?jiǎn)卧鹗颊n教學(xué)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵
      ——以“一元二次方程(第1課)”教學(xué)為例

      2019-01-30 04:23:31江蘇省高郵市南海中學(xué)冒琳琳
      中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2019年20期
      關(guān)鍵詞:列方程一元二次方程課例

      ☉江蘇省高郵市南海中學(xué) 冒琳琳

      單元起始課(有些地區(qū)稱之為章節(jié)統(tǒng)領(lǐng)課)的教學(xué)研究在最近兩年得到一定的關(guān)注,不少教研活動(dòng)中得到積極實(shí)施,因?yàn)檫@種課型沒(méi)有機(jī)械地執(zhí)行教材,是從“照本宣科”走向“用教材教”,不同的老師或團(tuán)隊(duì)研發(fā)的教學(xué)設(shè)計(jì)往往有很大的差異.筆者最近一段時(shí)間有機(jī)會(huì)在不同的教研活動(dòng)現(xiàn)場(chǎng),聽(tīng)了三節(jié)一元二次方程的單元起始課,教學(xué)內(nèi)容差異很大,本文簡(jiǎn)要梳理出來(lái),并跟進(jìn)評(píng)析,供研討.

      一、“一元二次方程(第1課)”同課異構(gòu)的聽(tīng)課記錄

      說(shuō)明:限于篇幅,我們只整理三節(jié)課中一些“顯著不同”的教學(xué)活動(dòng)(片段).

      課例1:(片段)“一元二次方程(第1課)”開(kāi)課階段

      問(wèn)題1:請(qǐng)同學(xué)們回憶:在七年級(jí)上學(xué)期,學(xué)習(xí)一元一次方程時(shí)主要有哪些內(nèi)容?我們是如何研究一元一次方程的?

      教學(xué)組織:學(xué)生稍微思考后在小組內(nèi)先交流一下,然后選派一個(gè)學(xué)生代表小組發(fā)言,教師通過(guò)適時(shí)追問(wèn),引導(dǎo)學(xué)生回憶梳理出一元一次方程的概念、相關(guān)概念,解一元一次方程的步驟,等等.

      接著教師利用PPT出示3個(gè)一元二次方程,請(qǐng)學(xué)生觀察:它們與一元一次方程有什么共同點(diǎn)?有什么不同點(diǎn)?未知數(shù)的個(gè)數(shù)和最高次數(shù)各是多少?

      教學(xué)組織:學(xué)生觀察后交流,歸納出共同特征:①整式,②一元,③2次.進(jìn)一步類比一元一次方程的定義,得出一元二次方程的定義:等號(hào)兩邊都是整式,只含有一個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程,叫作一元二次方程(教師適時(shí)板書(shū),形成板書(shū)的主要內(nèi)容).

      問(wèn)題2:請(qǐng)同學(xué)們回憶:一次函數(shù)是如何學(xué)習(xí)的?一次函數(shù)的一般形式是什么?

      教學(xué)組織:學(xué)生很快復(fù)習(xí)了一次函數(shù)的概念、一般形式y(tǒng)=kx+b(k、b為常數(shù),且k不為0).通過(guò)對(duì)一次函數(shù)的一般形式的回憶,引導(dǎo)學(xué)生去猜想一元二次方程的一般形式:

      一般地,任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程,整理成以下形式:ax2+bx+c=0(其中a、b、c為常數(shù),且a不為0),我們把這種形式叫作一元二次方程的一般形式,其中ax2是二次項(xiàng),a是二次項(xiàng)系數(shù);bx是一次項(xiàng),b是一次項(xiàng)系數(shù);c是常數(shù)項(xiàng).

      聽(tīng)課隨感:該課的開(kāi)課階段有15分鐘左右在復(fù)習(xí)一元一次方程、一次函數(shù)的內(nèi)容,師生對(duì)話或追問(wèn)雖然比較多樣,課堂氛圍也比較熱烈,但是用在復(fù)習(xí)舊知上的時(shí)間偏長(zhǎng),且作為本課所學(xué)內(nèi)容一元二次方程是直接給出的,缺少必要的問(wèn)題情境,比如,解決一些實(shí)際問(wèn)題過(guò)程中,列出一元二次方程,然后類比舊知定義新知,這樣的新知引出更有意義.

      課例2:(片段)一元二次方程的情境創(chuàng)設(shè)

      (課前練習(xí))根據(jù)題意列出方程:

      (1)設(shè)一個(gè)正方形的面積為100平方單位,求這個(gè)正方形的邊長(zhǎng).設(shè)邊長(zhǎng)為a,可列方程為_(kāi)_______________.

      (2)兩數(shù)之差為3,且這兩個(gè)數(shù)之積為180,求這兩個(gè)數(shù).設(shè)這兩個(gè)數(shù)中大數(shù)為k,可列方程為_(kāi)_____________.

      (3)某單位組織一次排球邀請(qǐng)賽,參賽的每?jī)申?duì)之間都要比賽一場(chǎng),根據(jù)場(chǎng)地和時(shí)間等條件,賽程計(jì)劃安排7天,每天安排4場(chǎng)比賽,比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)多少個(gè)隊(duì)伍參加比賽?設(shè)邀請(qǐng)x個(gè)隊(duì)伍參賽,可列方程__________.

      教學(xué)組織:上課時(shí)教師先組織學(xué)生訂正、講評(píng)“課前練習(xí)”,并安排學(xué)生把所列方程寫(xiě)在黑板上,在歸納出概念之前,先安排學(xué)生復(fù)習(xí)已學(xué)過(guò)哪些類型的方程,并追問(wèn)學(xué)生這些方程的定義,然后觀察黑板上所列方程,填寫(xiě)“學(xué)案”上的空白.

      (1)一元二次方程:只含有_____個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是_____的____方程叫一元二次方程.

      (2)一元二次方程的一般形式是_______________,其中_____是二次項(xiàng),______是二次項(xiàng)系數(shù);_______是一次項(xiàng),______是一次項(xiàng)系數(shù);______是常數(shù)項(xiàng).

      簡(jiǎn)評(píng):這種學(xué)案留白并不是“留白式學(xué)案”,而是限制學(xué)生思維的劣質(zhì)學(xué)案,把學(xué)生的思路限制在這些所謂的標(biāo)準(zhǔn)框架之內(nèi),不利于學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造性思維的培養(yǎng),是應(yīng)該拋棄的學(xué)案設(shè)計(jì)方式.

      接下來(lái)該課選配了不少訓(xùn)練題,鞏固一元二次方程的概念及相關(guān)概念,多數(shù)都是常規(guī)的,其中有一道例題以題組形式呈現(xiàn),摘記如下:

      例(1)若(a-1)x2+ax-1=0是關(guān)于x的一元二次方程,那么a的取值范圍為_(kāi)_____.

      (2)已知關(guān)于x的方程(|a|-1)x2+(a-1)x-1=0.

      ①若是關(guān)于x的一元二次方程,求a的取值范圍.

      ②若是關(guān)于x的一元一次方程,求a的值.

      (3)已知關(guān)于x的方程(a-1)x|a|+1+ax-1=0,當(dāng)a為何值時(shí),該方程是一元二次方程?

      簡(jiǎn)評(píng):這是一道劣質(zhì)題,人為制造麻煩,把一元二次方程的定義歪曲為了解這種無(wú)趣的習(xí)題,讓學(xué)生感受到處處是解題陷阱,不符合數(shù)學(xué)追求簡(jiǎn)潔的文化價(jià)值.即使從解題角度來(lái)看,深刻理解一元二次方程的定義可以發(fā)現(xiàn),之所以定義“一般形式”,是為了后續(xù)研究解法,研究公式法,研究根的判別式,研究根與系數(shù)的關(guān)系,而不是為了讓學(xué)生練習(xí)上述劣質(zhì)題.作為一節(jié)公開(kāi)課,教師及打磨團(tuán)隊(duì)對(duì)這類習(xí)題處理集體“無(wú)知無(wú)畏”的認(rèn)知狀態(tài),讓人遺憾.

      課例3:(片段)一元二次方程的定義生成與跟進(jìn)訓(xùn)練

      課件出示問(wèn)題:如何用一張長(zhǎng)16cm、寬12cm的硬紙片做成一個(gè)底面積為96cm2的無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子?

      教學(xué)組織:學(xué)生很快設(shè)出未知數(shù),列出一元二次方程.教師繼續(xù)給出一個(gè)方程3x-2=15,問(wèn):這個(gè)方程同學(xué)們認(rèn)識(shí)嗎?這是什么方程?一元一次方程是如何定義的?我們?cè)谄吣昙?jí)是如何研究一元一次方程的?比較一下這兩個(gè)方程的異同點(diǎn),能不能根據(jù)你以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)給這種新的方程取個(gè)名字?學(xué)生很快就說(shuō)出“一元二次方程”,并且順利歸納出定義和一般形式,再跟進(jìn)如下一些訓(xùn)練問(wèn)題.

      (1)關(guān)于x的方程mx2+m=nx2-nx是不是一元二次方程?說(shuō)明你判斷的依據(jù).

      (2)將下列方程化成一元二次方程的一般式,并說(shuō)出各項(xiàng)及二次項(xiàng)、一次項(xiàng)的系數(shù):

      (x+1)2-2(x-1)2=6x-5;3x(x-1)=2(x+2)-4;(x+2)(x-4)=7.

      簡(jiǎn)要評(píng)析之后,教師快速推進(jìn),引導(dǎo)學(xué)生探究一元二次方程的解法.

      教學(xué)組織:接下來(lái)我們就從x2-4=0來(lái)研究一元二次方程的解法,根據(jù)你的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),會(huì)解這個(gè)方程嗎?在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上,教師介紹直接開(kāi)平方法,并跟進(jìn)追問(wèn):以上這題,你還有其他的解法嗎?學(xué)生想到了“平方差公式”,根據(jù)因式分解的知識(shí)和“如果兩個(gè)因式的積等于0,那么這兩個(gè)因式中至少有一個(gè)等于0;反之,如果兩個(gè)因式中有一個(gè)等于0,它們的積就等于0”,我們將方程化成兩個(gè)因式的乘積等于0,這種解法我們稱之為“因式分解法”.

      教師適時(shí)出示練習(xí):解方程②3x2-5x=0和③x2-2x-15=0.

      學(xué)生很快用因式分解的方法完成了求解,教師組織學(xué)生歸納概括解一元二次方程的基本思想——降次.

      簡(jiǎn)評(píng):這節(jié)課有較好的章節(jié)起始課的味道,開(kāi)課階段簡(jiǎn)單明了,直奔主題,師生共同定義并歸納了一元二次方程的概念、相關(guān)概念,用一組練習(xí)初步辨析之后進(jìn)入解法探究,并且讓學(xué)生從不同方法感受到解一元二次方程的基本思想——降次,為后續(xù)深入、系統(tǒng)學(xué)習(xí)配方法提供了思想上的準(zhǔn)備.

      二、關(guān)于單元起始課教學(xué)的進(jìn)一步思考

      1.從理解數(shù)學(xué)出發(fā)構(gòu)思單元起始課的教學(xué)立意

      近年來(lái),章建躍博士提出的“四個(gè)理解”(理解數(shù)學(xué)、理解教學(xué)、理解學(xué)生、理解技術(shù))得到一線教師廣泛響應(yīng),在很多課例設(shè)計(jì)中可以看出體現(xiàn)“四個(gè)理解”的元素,在這“四個(gè)理解”中,章博士多次強(qiáng)調(diào)離開(kāi)“理解數(shù)學(xué)”則后續(xù)無(wú)意義,所以單元起始課的教學(xué)研究也要加強(qiáng)在理解數(shù)學(xué)上的鉆研功夫.以一元二次方程為例,學(xué)生已學(xué)習(xí)了一元一次方程、一次函數(shù)、不等式組等知識(shí),再到一元二次方程的學(xué)習(xí),教師需要明辨這個(gè)新內(nèi)容與此前所學(xué)內(nèi)容的“同與不同”,在相同、相通之處可以快速推進(jìn),而在不同之處,慢下來(lái)、停下來(lái),讓學(xué)生充分辨析,這樣就能明辨新知的重點(diǎn)與難點(diǎn),找準(zhǔn)教學(xué)用力點(diǎn).

      2.教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)要精選數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)或生活現(xiàn)實(shí)

      《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》對(duì)之前過(guò)分重視生活現(xiàn)實(shí)引入新課進(jìn)行了一定的糾偏,要求教師在新知引入環(huán)節(jié)注意平衡好生活現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)與其他學(xué)科現(xiàn)實(shí).比如,基于理解數(shù)學(xué)的角度看一元二次方程,作為單元起始課,上面幾個(gè)課例中,課例3的處理相對(duì)比較合理,以一個(gè)簡(jiǎn)明的生活情境引出一元二次方程,然后基于學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)快速推進(jìn)學(xué)程,在歸納生成一元二次方程的定義及相關(guān)概念之后,引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)的開(kāi)方”角度研究一元二次方程的解法,并讓學(xué)生初步感知了“降次”思想.這樣的單元起始課教學(xué)設(shè)計(jì),自然、合理,重點(diǎn)突出,有的放矢,可操作性強(qiáng),值得我們借鑒和實(shí)踐.

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