☉山東省鄄城縣第二中學(xué) 吳 昊
羅增儒教授在寫給解題研究的同行們的共勉中提到:“誰也無法教會我們解所有的數(shù)學(xué)題,重要的是,通過有限道題的學(xué)習(xí)去領(lǐng)悟那種能解無限道題的數(shù)學(xué)素養(yǎng).”通過一題多解,在呈現(xiàn)不同解法的同時,重在暴露思維過程:為什么會想到這樣解,每一個解法的“念頭”是什么,不同的解法都用到了哪些知識.多樣的思維過程與解法,引人多思,是鍛煉學(xué)生思維能力、提高綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識能力的絕佳載體.2019 年高考全國卷Ⅲ文、理的第15 題是有關(guān)橢圓問題,是能夠提供很好的鍛煉思維、融合知識、提升能力的好場所.
【高考真題】(2019 年全國卷Ⅲ文,理15)設(shè)F1,F(xiàn)2為橢圓的兩個焦點(diǎn),M 為C 上一點(diǎn)且在第一象限.若△MF1F2為等腰三角形,則M 的坐標(biāo)為______.
本題給出已知橢圓的方程,以橢圓上的點(diǎn)與兩個焦點(diǎn)所構(gòu)造的三角形為等腰三角形為問題背景,利用求解橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)來達(dá)到目的.由于涉及解析幾何問題,又有三角形背景,可以利用條件,通過三角函數(shù)、解析幾何、平面幾何等思維角度加以切入與破解.
方法1:(三角函數(shù)定義法)由橢圓,可知,則有
由于M 為C 上一點(diǎn)且在第一象限,所以在等腰△MF1F2中,|MF1|=|F1F2|=2c=8.
根據(jù)橢圓的定義可得|MF2|=2a-|MF1|=4.
方法2:(余弦定理法)由橢圓,可知a=,則有
由于M 為C 上一點(diǎn)且在第一象限,所以在等腰△MF1F2中,|MF1|=|F1F2|=2c=8.
根據(jù)橢圓的定義可得|MF2|=2a-|MF1|=4.
將xM=3 代入橢圓,可得(由于M 在第一象限內(nèi),負(fù)值舍去).
方法3:(兩點(diǎn)間距離轉(zhuǎn)化法)由橢圓可知,則有
由于M 為C 上一點(diǎn)且在第一象限,所以在等腰△MF1F2中,|MF1|=|F1F2|=2c=8.
設(shè)點(diǎn)M 的坐標(biāo)為M(x0,y0)(x0>0,y0>0),則有=1,即
由于F1(-4,0),所以有,解得x0=3.
將x0=3 代入橢圓,可得(由于y0>0,負(fù)值舍去).
方法4:(直線垂直關(guān)系法)由橢圓,可知,則有
設(shè)點(diǎn)M 的坐標(biāo)為M(x0,y0)(x0>0,y0>0),則有=1,即,MF2的中點(diǎn)N 的坐標(biāo)為
由于F1(-4,0),F(xiàn)2(4,0),由三角形性質(zhì)知F1N⊥MF2,則有kF1N·kMF2=-1,即=-1,整理可得y02=48-x02-8x0,則有,解得x0=3(由于x0>0,負(fù)值舍去).
將x0=3 代入橢圓,可得(由于y0>0,負(fù)值舍去).
方法5:(橢圓與圓的位置關(guān)系法)由橢圓=1,可知,則有
由于M 為C 上一點(diǎn)且在第一象限,所以在等腰△MF1F2中,|MF1|=|F1F2|=2c=8.
由于F1(-4,0),所以點(diǎn)M 在圓(x+4)2+y2=64 上.
將y2=64-(x+4)2代入橢圓,整理可得x2+18x-63=0,解得x=3(由于x>0,負(fù)值舍去).
方法6:(面積轉(zhuǎn)化法)由橢圓,可知a=6,b=,則有
由于M 為C 上一點(diǎn)且在第一象限,所以在等腰△MF1F2中,|MF1|=|F1F2|=2c=8.
根據(jù)橢圓的定義可得|MF2|=2a-|MF1|=4.
設(shè)點(diǎn)M 的坐標(biāo)為M(x0,y0)(x0>0,y0>0),則有S△MF1F2=·|F1F2|·y0=4y0.
方法7:(相似三角形轉(zhuǎn)化法)由橢圓,可知,則有
由于M 為C 上一點(diǎn)且在第一象限,所以在等腰△MF1F2中,|MF1|=|F1F2|=2c=8.
根據(jù)橢圓的定義可得|MF2|=2a-|MF1|=4.
設(shè)點(diǎn)M 的坐標(biāo)為M(x0,y0)(x0>0,y0>0),過點(diǎn)M 作ME⊥x 軸交x 軸于點(diǎn)E,取線段MF2的中點(diǎn)N,則知Rt△MEF2∽Rt△F1NF2,所以,解得
將y0=代入橢圓,可得x0=3(由于x0>0,負(fù)值舍去).
美國著名的數(shù)學(xué)家哈爾莫斯曾說過:“問題是數(shù)學(xué)的心臟.”對學(xué)生來說,各類考試題無疑是最熟悉的一個“問題”,特別是高考真題.經(jīng)過理論和教學(xué)實(shí)踐,充分得以證明一題多解是提高數(shù)學(xué)解題能力的有效途徑.通過典型問題呈現(xiàn)不同解法的同時,靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識,充分暴露思維過程,真正提升能力,培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng).