培養(yǎng)高中學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力的案例與思考

☉江蘇省通州高級中學(xué) 姚振飛

集算理、算法、計算、推理、轉(zhuǎn)化等多種數(shù)學(xué)思想方法于一體的運算能力對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及相關(guān)學(xué)科的學(xué)習(xí)來說都是極為關(guān)鍵的，但很多高中生對運算能力的忽視導(dǎo)致其運算能力低下并最終影響到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整體效果.教師應(yīng)該能夠注意到運算能力對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要影響，并在實際教學(xué)中關(guān)注學(xué)生運算能力的訓(xùn)練.

一、運算能力的涵義和層次

運算能力這一綜合性能力是不可能獨立于其他能力而獨立存在與發(fā)展的，和記憶能力、理解能力、表達能力、邏輯推理能力、解題能力相互滲透與支持的運算能力在發(fā)展上應(yīng)與其他能力同步進行，教師應(yīng)充分關(guān)注到這一點，并在教學(xué)中恰當(dāng)滲透培養(yǎng)學(xué)生運算能力的教學(xué)以促進學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進步.

運算能力其實包含著很多方面的內(nèi)容，學(xué)生對算理、公式、法則的記憶、理解和正確運用是運算能力的最基本的內(nèi)容，對數(shù)、式、方程、映射、向量等進行運算與變形屬于更高層次的運算，除此以外，尋求并設(shè)計合理而簡捷的運算途徑、估算或近似計算及數(shù)據(jù)處理、思維能力與思想方法在運算中的滲透、運算品質(zhì)與心理素質(zhì)、運算速度等都是包含在運算能力范疇內(nèi)的內(nèi)容.

運算能力具有一定的層次性，理解、記憶及運用算理、公式和法則是屬于最低層次；掌握數(shù)、式、方程、映射、向量的運算、變形的基本技能屬于運算能力三個層次中的第二層次；計算中發(fā)揮思維作用并尋求、設(shè)計合理而簡捷的運算途徑，具備較高的運算速度、準(zhǔn)確率及穩(wěn)定的心理素質(zhì)則屬于最高層次.

由此可見，運算能力是從低層次向高層次發(fā)展的，教師在學(xué)生的運算能力訓(xùn)練中應(yīng)著眼于基礎(chǔ)，縱觀全局并結(jié)合知識水平與其他能力的發(fā)展進行有針對性的訓(xùn)練，使學(xué)生能夠在循序漸進的反復(fù)訓(xùn)練中獲得各層次的運算能力的發(fā)展.

二、培養(yǎng)途徑

對運算能力的發(fā)展過程進行分析可以發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生運算能力的途徑主要有以下三個方面：

1.在算理、公式、法則的理解、記憶和運用上進行針對性的教學(xué)和訓(xùn)練

充分認(rèn)識、理解算理和法則是提升學(xué)生運算能力中最基本的一個步驟，因此，教師在培養(yǎng)學(xué)生的運算能力上首先應(yīng)關(guān)注到以下兩點：

第一，提出公式、例示運用的教學(xué)模式在算理、公式、法則的理解與記憶教學(xué)中并不具備特別的價值，重視算理、公式、法則的形成過程并引導(dǎo)學(xué)生深刻認(rèn)識其本質(zhì)能使學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上產(chǎn)生牢固的記憶.

例1試求（1-2x+3x2）6展開式中x5項的系數(shù).

分析：如果運用二項式定理和通項公式對此題進行直接求解將會產(chǎn)生相當(dāng)煩瑣的運算過程，但如果能夠領(lǐng)會并運用組合原理來求解x5項的系數(shù)則會簡捷許多.

解：展開式中含x5的項有（-2x）5，（-2x）3·（3x2），（-2x）·（3x2）2這三種類型.根據(jù)組合原理，展開式中含x5的項為因此（1-2x+3x2）6展開式中x5項的系數(shù)為-2712.

第二，引導(dǎo)學(xué)生在靈活運用算理、公式、法則中加深理解與記憶.比如：

教師在實際教學(xué)中重視此類運算的訓(xùn)練才能令學(xué)生對兩角和與差的公式產(chǎn)生更好的理解與記憶.

2.關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用

運算能力發(fā)展成為運算基本方法與技能意味著運算能力已經(jīng)發(fā)展到了中級水平，這一過程隱含著數(shù)學(xué)思想方法所起到的積極意義與作用，等價轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合就是這一過程中經(jīng)常用到的數(shù)學(xué)思想方法.

教師應(yīng)該能夠關(guān)注到轉(zhuǎn)化思想在運算中的具體體現(xiàn)形式并幫助學(xué)生獲得切實的掌握，一般來講，其中重要的技能有下述幾種.

（1）配湊（配方）變形.

例2求tan20°+tan40°+tan20°tan40°的值.

解析：將原式變形為：

從此題的求解過程可以看出，配湊（配方）變形在解題中起到了特別重要的作用.

（2）適當(dāng)換元.

例3求函數(shù)的值域.

解析：令，則x-1=t2（t≥0），故y=t2-2t+4=（t-1）2+3，因此函數(shù)的值域為［3，+∞）.

（3）整體代換.

例4已知等比數(shù)列{an}，若公比q≠±1，S10=8.試求的值.

運用數(shù)形結(jié)合解決一些運算問題的關(guān)鍵在于對運算式中的幾何意義進行充分的挖掘.

例5若實數(shù)x，y 滿足x2+y2-2x-4=0，則u=2x+y 的最大值為多少？

解析：對此題的幾何意義進行充分挖掘，可知x2+y2-2x-4=0 表示圓心為（1，0）、半徑為的圓，u=2x+y 即2x+y-u=0 表示斜率是-2 的直線，而且圓與直線存在公共點，則圓心至直線的距離應(yīng)滿足，即|u-2|≤5，解得-3≤u≤7.故umax=7.

3.突出“思維”的作用

為了培養(yǎng)出學(xué)生又快又準(zhǔn)的運算能力，教師還應(yīng)在運算途徑上進行設(shè)計，運算途徑的探尋是建立在思維活動的基礎(chǔ)上的，因此，教師首先應(yīng)突出思維活動在運算中的價值與意義并引導(dǎo)學(xué)生在運算過程中養(yǎng)成探求合理、簡捷的運算途徑的意識和習(xí)慣.

例6試求函數(shù)的值域.

分析：常用的求值域的方法在此題的求解中顯然都是不可行的，因此，教師在此題的教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生開動腦筋，對有效的解題途徑進行思考與探求.

思路1：聯(lián)想斜率，則可看成點（2，-1）和圓x2+y2=1 上的點（cosx，sinx）連線的斜率，然后在數(shù)形結(jié)合思想的運用下進行解題，此題得以求解，雖令人欣喜，但以下方法卻在解題思路上表現(xiàn)得更加簡捷.

思路2：由的形式聯(lián)想asinx+bcosx=sin（x+θ），則有ycosx-sinx=2y+1，可得·sin（x+θ）=2y+1，即，則有即（2y+1）2≤y2+1，解得因此函數(shù)的值域為

例7直線l：3x-y+4=0 和圓D：x2+y2+2x=0 相交于點A 和點B，O 為坐標(biāo)原點，試求△ABO 的面積.

分析：如圖1，若根據(jù)常規(guī)思路來解決此題，一般都會先求|AB|的長，再求點O 到AB 的距離，最后再求出△ABO 的面積.常規(guī)思路雖然一樣能令此題得解，但運算對于學(xué)生來說卻存在不小的難度.我們不妨換一種解題思路，設(shè)l 與y 軸相交于C點，則S△ABO=S△ACO-S△BCO，如此求解顯然簡便很多.

解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線l和y軸相交于點C（0，4）.

圖1

總之，學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力的培養(yǎng)離不開運算的效率、合理、靈活、簡捷、正確等多方面的支撐.因此，教師首先應(yīng)在思想上重視學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力的培養(yǎng)，并在教學(xué)中進行針對性的引導(dǎo)，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的運算習(xí)慣及驗算習(xí)慣，使學(xué)生能夠在充分理解記憶公式、法則的基礎(chǔ)上獲得有意義的訓(xùn)練.同時，教師還應(yīng)關(guān)注到運算能力與數(shù)學(xué)其他能力之間的聯(lián)系與滲透關(guān)系，并引導(dǎo)學(xué)生在運算面前開展積極的思維，靈活運用數(shù)學(xué)思想方法尋求更加合理、簡捷的運算方法，只有這樣，學(xué)生才能在針對性的訓(xùn)練中獲得數(shù)學(xué)運算能力及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平的不斷提升.