☉內江師范學院數(shù)學與信息科學學院 賀鋅菠
☉內江師范學院數(shù)學與信息科學學院 劉成龍
☉內江師范學院數(shù)學與信息科學學院 蔣紅珠
2019年高考全國卷Ⅲ理科23題是一個具有數(shù)學探究價值的多元函數(shù)最值問題:從試題背景、解法和推廣進行多角度思考可引發(fā)如下探究.
試題(2019年高考全國卷Ⅲ理科23題,下文簡稱23題)設x,y,z∈R,且x+y+z=1.
(Ⅰ)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;
(Ⅱ)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥成立,證明:a≤-3或a≥-1.
評注:試題形式優(yōu)美、構思巧妙、富含美感、不偏不怪、解法多樣、可一般化,具有一定的難度、深度和廣度,是一個值得研究的好素材.
高考試題背景源于教材又高于教材,是對教材的進一步提煉.本題的原型來源于人教A版《普通高中數(shù)學課程標準實驗教科書》[1]選修4-5第10頁課后習題第11題:
已知a,b,c∈R+,a+b+c=1,求證:a2+b2+c2≥
該習題學生可以運用基本不等式或借助作差法進行解答.23題更改了參數(shù)的限制條件,由正實數(shù)擴充為實數(shù),在教材習題基礎上進行了改編,設置了一些重要不等式背景.命題者立足教材,使得試題背景公平,體現(xiàn)了“源于教材,高于教材”的命題理念,對引導高中數(shù)學教學回歸教材、研究教材、抑制“題海戰(zhàn)術”有益[2].
為了大量生產殼聚糖酶以滿足其商業(yè)化需求,培養(yǎng)基配方以及發(fā)酵工藝條件的優(yōu)化非常重要。為優(yōu)化發(fā)酵條件,Zhou 等對碳源、氮源、金屬離子、pH值、溫度等因素進行了經典的單因素研究。這些多重生長參數(shù)間的交互作用使我們很難控制發(fā)酵結果。響應面方法學(RSM)是一種非常有用的統(tǒng)計學技術,可用于優(yōu)化復雜的化學、生物和食品的加工過程,在微生物酶生產的研究中也得到了廣泛關注,2012年,Zhang等人報道了利用統(tǒng)計學方法優(yōu)化殼聚糖酶的生產,結果顯示采用Aspergillus sp. QD-2發(fā)酵生產殼聚糖酶,經響應面法優(yōu)化,殼聚糖酶活性從26.5 U/mL提高到了85.8 U/mL 。
該題含有多個重要不等式背景,分析如下:
(2)|m|2·|n|2≥(m·n)2背景.構造向量,運用|m|2·|n|2≥(m·n)2可以快速推導柯西不等式及變式,并且借助|m|2·|n|2≥(m·n)2可以將23題推廣到更一般的情形,比如:推廣到n維向量空間、歐式空間.
(3)權方和不等式背景.權方和不等式是柯西不等式的推廣形式,對認識、解答和推廣23題有指導作用.
(4)排序不等式背景.待求目標(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2中x-1,y+1,z+1的地位平等,剛好為x-1,y+1,z+1排序提供了依據(jù),而(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2視為順序和.
(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2可視為空間兩點(x,y,z),(1,-1,-1)間距離的平方,而點(x,y,z)位于平面x+y+z=1上,(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值為點(1,-1,-1)到平面x+y+z=1距離的平方.
美國數(shù)學家哈爾莫斯(P.R.Halmos)認為:“數(shù)學家存在的主要理由是解問題,數(shù)學的真正組成部分是問題和解”.試題的解法包括一題多解、多題一解、錯解分析等.其中,從一題多解入手,一題多解是指對一道試題進行多種不同角度地分析與探究,進而得到多種解法,這既能培養(yǎng)學生的學習興趣,又能培養(yǎng)思維的發(fā)散性、選擇性、靈活性、深刻性.下文主要研究(Ⅰ)的解法.
解法1:(距離模型法)x+y+z=1表示平面,故d=為平面內的點A(x,y,z)與點B(1,-1,-1)之間的距離.又點B到平面x+y+z=1的距離,所以dmin=d′=.故,即(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值為.
評注:解法1充分利用幾何意義,將問題轉化為空間中點到平面的距離.
解法2:(判別式法)因為x+y+z=1,消去x得(y+z)2+(y+1)2+(z+1)2=2(y2+z2+yz+y+z+1),設y2+z2+yz+y+z+1=t,化簡得y2+(z+1)y+z2+z+1-t=0,此方程有解.故Δ1=(z+1)2-4(z2+z+1-t)≥0,即3z2+2z+3-4t≤0,易得Δ2=4-12(3-4t)≥0,解得t≥,故(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2=2t≥.
評注:解法2將問題轉化為一元二次方程問題,利用判別式進行求解.
解法3:(利用均值不等式)[(x-1)+(y+1)+(z+1)]2=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2[(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)]≤(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+[(x-1)2+(y+1)2+(y+1)2+(z+1)2+(z+1)2+(x-1)2]=3[(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2].由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2≥,當且僅當x=時“=”成立.(下文不再敘述取等條件)
評注:通過配湊,運用均值不等式巧妙地完成求解,簡潔巧妙.
解法4:(利用柯西不等式)由柯西不等式:[(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2](12+12+12)≥[(x-1)+(y+1)+(z+1)]2,因為x+y+z=1,故(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2≥
評注:配湊出柯西不等式的結構是完成求解的關鍵.
解法5:(構造向量)設m=(x-1,y+1,z+1),n=(1,1,1),則|m|=由|m|2·|n|2≥(m·n)2,得[(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2]·3≥(x+y+z+1)2,因為x+y+z=1,所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2≥
評注:解法5的關鍵在于構造向量,再運用|m|2·|n|2≥(m·n)2進行求解.
數(shù)學推廣是指在一定范圍內或一定層次上對數(shù)學概念、定理、法則進行拓展,使之在更大范圍或更高層次上成立.[3]把一個數(shù)學命題的某些特殊條件或結論一般化,從而得到更為普遍的結論(命題),這個過程就稱為數(shù)學問題(命題)的推廣.在推廣命題時,可將命題的條件加強、削弱或減少;將條件或結論中的數(shù)量、形式或關系普遍化;將命題中的某些結論加強或削弱等.對問題進行推廣可以培養(yǎng)學生探究意識、創(chuàng)新意識.下文對23題進行推廣.
分析1:問題條件“x+y+z=1”呈現(xiàn)的是高度對稱的3元關系,很自然想到4,5,6,…,n元關系下,會有相應的結論嗎?
推廣1:設xi∈R,i=1,2,…,n,其中n>1,n∈N+,且
評注:推廣1可利用柯西不等式、構造向量等方法加以證明.
分析2:待證目標“(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2”呈現(xiàn)的是2次關系,很自然想到3,4,5,6,…,n次關系下,會有相應的結論嗎?
推廣2:設x,y,z∈R,k,p∈N+,且xk+yk+zk=1,則xpk+ypk+zpk≥
評注:從指數(shù)上進行了推廣,可利用權方和不等式證明.
分析3:推廣1與推廣2分別從“元”和“次數(shù)”的角度進行了推廣.下面從“元”和“次數(shù)”上同時進行推廣.
推廣3:設xi∈R,i=1,2,…,n,其中n>1,k,n,p∈N+,且
評注:可利用權方和不等式證明.