“一元一次方程的應用（第3課時）”教學及其分析

筅浙江省寧波市海曙區(qū)古林鎮(zhèn)中學 鄔云德

一、背景介紹

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“課標”）倡導過程教育，以促進學生發(fā)展數學學科核心素養(yǎng).在以浙教版《數學》七年級上冊第五章第4節(jié)“一元一次方程的應用（第3課時）”為載體的“多人同課異構”的研修活動中發(fā)現，課堂教學普遍存在過程教育不到位的問題，究其原因，主要是教師對問題解決的認知過程的理解存在偏差.鑒于此，筆者在重復觀摩與反思的基礎上，對該課的教學進行重建，改進后的教學過程取得了較好的教學效果.現將其整理出來，以饗讀者.

二、教學實錄

環(huán)節(jié)1：經歷回顧與提出問題的過程——明確研究的問題

師：上幾節(jié)課我們探索了一元一次方程的實際應用，分析并解決了有關“營銷問題”“行程問題”“幾何問題”等，對用一元一次方程解決有關問題的過程和一元一次方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型有了初步的感悟.用一元一次方程還能解決哪些實際問題？本節(jié)課我們繼續(xù)探索一元一次方程的實際應用.（揭示課題）

環(huán)節(jié)2：探索一元一次方程的實際應用——分析并解決有關“調配問題”

例1學校組織植樹活動，已知在甲處植樹的有23人，在乙處植樹的有17人.現調20人去支援，使在甲處植樹的人數是在乙處植樹人數的2倍，問：應調往甲、乙兩處各多少人？

師：問題中含有哪些數量？哪些是已知的？哪些是未知的？哪些是所求的？（提示：必要時，可用表格來整理）

生1：問題中含有的數量有甲處原有人數、甲處增加人數、甲處增加后人數、乙處原有人數、乙處增加人數、乙處增加后人數、去支援人數，其中已知量是甲處原有人數（23人）、乙處原有人數（17人）、去支援人數（共20人），未知量是甲處增加人數、乙處增加人數、甲處增加后人數、乙處增加后人數，所求量是甲處增加人數、乙處增加人數.

師：很好！用分類方法來提取問題中的數量信息.問題中有哪些含有未知量的等量關系？

生2：甲處增加人數+乙處增加人數=20；甲處增加后人數=乙處增加后人數×2.

師：不錯！選用哪個含有未知量的等量關系來列方程？哪個未知數用字母表示有哪些可行的方案？哪個方案比較合適？

生3：可用“甲處增加后人數=乙處增加后人數×2”來列方程，甲處增加人數用字母表示（或乙處增加人數用字母表示）；也可用“甲處增加人數+乙處增加人數=20”來列方程，乙處增加后人數用字母表示（或甲處增加后人數用字母表示）.第一種方案比較合適.

師：有道理.根據你確定的方案，可列出怎樣的方程？

生3：設甲處增加人數為x，則可列出方程23+x=2（17+20-x）.

師：好的.請大家解這個方程，并通過檢驗回答實際問題.

……

師：這樣我們用一元一次方程解決了這個問題.若選其他方案，則可列出怎樣的方程？

生4：設乙處增加人數為x，則可列出方程23+20-x=2（17+x）.

生5：設乙處增加后人數為x，則可列出方程2x-23+x-17=20.

師：若改為“甲處植樹的有a人，乙處植樹的有b人.現調c人去支援，使在甲處植樹的人數是在乙處植樹人數的m倍，問：應調往甲、乙兩處各多少人”，則可列出怎樣的方程？

生7：設甲處增加人數為x，則可列出方程a+x=m（b+c-x）.

……

師：由此可知，每一個含有未知量的等量關系都可以用來列方程，設未知數也有多種方法，但要使所列方程比較合適，需要經歷分析與決策的過程.請大家課后再提出幾個具體的有意義的“調配問題”.

環(huán)節(jié)3：探索一元一次方程的實際應用——分析并解決有關“工程問題”

例2甲每天生產某種零件80個，甲生產3天后，乙也加入生產同一種零件，再經過5天，兩人共生產這種零件940個.問：乙每天生產這種零件多少個？

師：請大家依次思考并回答下列問題（允許小組合作）：

（2）選用哪個含有未知量的等量關系來列方程？哪個未知數用字母表示比較合適？

（3）根據你確定的方案，可列出怎樣的方程？

師：（待學生思考完畢）誰來回答問題（1）？

生8：問題中含有的數量有甲每天生產零件數、甲生產天數、甲生產零件總數、乙每天生產零件數、乙生產天數、乙生產零件總數、兩人共生產零件總數，其中已知量是甲每天生產零件80個、甲生產了8天、甲生產零件總數8×80=640（個）、乙生產了5天、兩人共生產零件940個，未知量是乙每天生產零件數、乙生產零件總數，所求量是乙每天生產零件數.等量關系有640+乙生產零件總數=940，乙每天生產零件數×5=乙生產零件總數.

師：好的.誰來回答問題（2）？

生9：用“640+乙生產零件總數=940”列方程，乙每天生產零件數用字母表示比較合適.

每次出遠門，除了全家人的生活用品，光藥品和器械就有百兒八十種。小孫女剛滿兩歲，也加入了自駕游的隊伍，所以除了照顧兩位老人，還有一個小寶貝需要照顧。而這一大家子人都有各自明確的分工，無論出去多少天，一家人都能有條不紊，事無巨細安排得妥妥當當：楊麗敏老伴兒李慧仁負責記賬和看管物品；楊麗敏管吃喝拉撒、安排物資等生活上的事；兒子是總指揮，除了開車，還要負責全體人員的身心健康；媳婦負責財務支出和照顧老人孩子；大孫女負責看地圖指路、哄妹妹玩、組織大家路上的游戲、找旅館以及景點的解說。

師：有道理.請你繼續(xù)回答問題（3）.

生9：設乙每天生產零件x個，則可列出方程640+5x=940.

師：好的.請大家完整地把解題過程寫出來.

……

師：（待學生完成任務）還有其他列方程的方案嗎？若有，請根據該方案列出方程.

生10：用“640+乙生產零件總數=940”列方程，乙生產零件總數用字母表示.設乙生產零件總數為y，則可列出方程640+y=940.

生11：用“乙每天生產零件個數×5=乙生產零件總數”列方程，乙每天生產零件數用字母表示.設乙每天生產零件x個，則可列出方程5x=940-640.

師：若問題改為“甲、乙兩人同時生產某種零件，6天可以完成任務，如果甲單獨生產，10天可以完成任務，問：乙單獨生產幾天可以完成任務”，則可列出怎樣的方程？

師：這進一步說明列方程往往有多種方案，要使所列的方程比較合適，就要經歷在分析基礎上選擇性決策的過程.工程問題中的工作總量可以看作1份，其基本數量關系為“工作效率×工作時間=工作總量”.能給方程×6=1”賦予不同的意義嗎？請大家課后思考.提出一個問題為合格，提出兩個問題為良好，能至少提出三個問題為優(yōu)秀.

環(huán)節(jié)4：探索一元一次方程的實際應用——分析并解決有關“利潤問題”

例3某商店有甲、乙兩種不同型號的計算器，售價都是64元，賣出甲種計算器商店盈利為進貨價的60%，賣出乙種計算器商店虧損為進貨價的20%.若賣出這兩種計算器各1臺，這家商店的盈虧情況如何？

師：問題中有哪些已知量？有哪些未知量？哪些量是所求的？

生14：已知量有甲種計算器的售價、盈利率、賣出臺數及乙種計算器的售價、虧損率、賣出臺數，未知量有甲種計算器的進價、賣出1臺甲種計算器的盈利數量、乙種計算器的進價、賣出1臺乙種計算器的虧損數量及賣出甲和乙兩種計算器各1臺的盈或虧的數量，所求量是賣出甲和乙兩種計算器各1臺的盈或虧的數量.

師：好的.問題中有哪些含有未知量的等量關系？

生15：64-甲種計算器的進價=甲種計算器的進價×60%；64-乙種計算器的進價=-乙種計算器的進價×20%.

師：根據等量關系可列出怎樣的方程？

生16：設甲種計算器的進價為x元，則可列出方程64-x=60%x；設乙種計算器的進價為y元，則可列出方程64-y=-20%y.

師：這兩個方程的解分別是什么？實際問題的答案是什么？

生17：由64-x=60%x，解得x=40；由64-y=-20%y，解得y=80.因為64+64-40-80=8，所以商店賣出這兩種計算器各1臺可盈利8元.

師：好的.商品利潤問題的數量關系為“商品利潤=商品售價-商品進價”和“商品的利潤率=”.若問題改為“某市國內生產總值每年以10%的速度增長，如果第1年該市國內生產總值為a，那么第2年該市國內生產總值是多少”，則可列出怎樣的方程？

生18：設第二年該市國內生產總值為y，則a（1+10%）=y.

師：不錯.能給方程“64-x=60%x”賦予不同的意義嗎？請大家課后思考.提出一個問題為合格，提出兩個問題為良好，能至少提出三個問題為優(yōu)秀.

接下來，要求學生完成課本中的練習題，并待學生完成任務后進行交互反饋與評價.

環(huán)節(jié)5：參與回顧與思考的活動——合作進行反思與總結

師：本節(jié)課研究了哪些內容？

生19：本節(jié)課研究了用一元一次方程解決有關“調配問題”“工程問題”“利潤問題”.

師：大家在學習過程中有何感觸？

生20：用一元一次方程解決有關問題要抓住其基本數量.

生21：每一個含有未知量的等量關系都可以用來列方程.

生22：要使所列的方程比較合適，需要經歷分析與決策的過程.

師：好的.上述問題中的一些基本事實和列方程的經驗對后繼學習有指導作用.

三、教學分析

“一元一次方程的應用（第3課時）”是學生體會用方程解決實際問題的過程和方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型的繼續(xù).“調配問題”“工程問題”“利潤問題”是方程實際應用中的典型問題，問題中含有的基本數量關系是需要學生掌握的基礎知識，根據數量關系設未知數、列方程是需要學生掌握的基本技能，從具體到抽象和從特殊到一般的研究方法具有普適性.用一元一次方程解決實際問題的教學性質是問題解決教學，它要遵循用方程（組）解決實際問題教學的基本規(guī)范：“提出問題（有代表性的實際問題）→審題→分析→設未知數、列方程→解方程→檢驗→作答→反思（解決問題之后的回顧與思考）.”［1］實踐告訴我們，用一元一次方程解決有關問題的過程，能發(fā)展學生分析問題與解決問題的能力，其所蘊含的基本數量關系、抽象思想、模型化思想及列方程經驗等，對發(fā)展學生的智力有積極影響.

“課標”（內容標準）對一元一次方程的實際應用提出的教學要求可以概括為“會用一元一次方程解決簡單的實際問題，體會一元一次方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型”.［2］在教師適度引導下，估計的學生會根據實際問題的條件列出方程.但估計的學生不會根據數量關系列出多種形式的方程，對方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型也達不到體會的程度.目前在用方程解決實際問題的教學中，教師普遍采用浙教版教材提供的認知過程觀：“審題（分析題意，找出題中的數量及其關系）→設元（選擇一個適當的未知數用字母來表示）→列方程（根據等量關系列出方程）→解方程（求出未知數的值）→檢驗（檢查求得的值是否正確和符合實際情況，并寫出答案）”.［3］事實上，這樣的教學隱去了列方程之前的分析與決策的過程和解決問題之后的反思過程，并且選哪個未知數用字母表示帶有盲目性，這樣所列的方程不一定合適，如果審題時未知量有遺漏，也得不到相應的方程，這樣的教學失去了發(fā)展學生能力和個性及體會方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型的機會，這種嘗試性列方程的方法也不利于學生積淀經驗，這可能是導致學生列方程困難的根本原因.

本課例改變了傳統(tǒng)的用方程解決實際問題的教學過程，設計了“審題（審已知量、未知量、所求量，審含有未知量的等量關系）→分析（選用哪個含有未知量的等量關系來列方程和哪個未知數用字母表示比較合適）→設未知數、列方程（根據確定的方案用字母來表示未知數并列出方程）→解方程（用適當的方法解所列的方程，求出未知數的值）→檢驗（檢查求得的值是否正確、是否符合實際情況）→作答（用方程的解或提供的方案回答實際問題）→反思（能否列出其他形式的方程？問題能否進一步引申、拓展？所列方程能否賦予不同的意義）”的教學過程.這里有列方程之前分析與決策的過程和解決問題之后的反思過程，并且選哪個未知數用字母表示有指向性，它依賴于選用的含有未知量的等量關系，使得列方程有規(guī)律可循，從而有助于學生積淀經驗、發(fā)展數學學科核心素養(yǎng).

參與研修的教師普遍認為，本課例遵循了問題解決教學的基本規(guī)范，體現了過程教育和以學為中心的思想，能實現“會用列表法、圖示法等找出‘調配問題’‘工程問題’‘利潤問題’中的數量關系，會根據數量關系列出合適的一元一次方程，會解所列的一元一次方程，能積淀列方程的經驗，能體會用方程解決實際問題的思想方法和一元一次方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型”的教學目標，特別是列方程之前的分析與決策及解決問題之后的反思，能使學生對有關問題及解決方法的認識達到一定的“深度”.

因此，列方程的教學要改變傳統(tǒng)的思維方式，以使學生列方程有規(guī)律可循.初步的理論求證與實踐驗證表明，本課例提供的列方程經驗對剖解列方程難點有積極影響.