導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)函數(shù)中的應(yīng)用

孫玘玥

摘 要：導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，在我們學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，也需要利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)問(wèn)題。本文將結(jié)合個(gè)人的學(xué)習(xí)經(jīng)歷及認(rèn)識(shí)，探討導(dǎo)數(shù)知識(shí)在高中數(shù)學(xué)函數(shù)中的重要性，在此基礎(chǔ)上，研究導(dǎo)數(shù)知識(shí)在高中數(shù)學(xué)函數(shù)中的具體應(yīng)用，包括應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)判斷函數(shù)單調(diào)性、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求解函數(shù)值域或最值問(wèn)題、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求解函數(shù)極值等。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；高中數(shù)學(xué)；函數(shù)；應(yīng)用方法

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)局部性質(zhì)的重要方法，代表函數(shù)曲線上某一點(diǎn)的變化率，在研究函數(shù)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常需要使用導(dǎo)數(shù)知識(shí)。因此，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們需要充分認(rèn)識(shí)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，在扎實(shí)掌握導(dǎo)數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)上，善于對(duì)其進(jìn)行靈活應(yīng)用，從而使許多函數(shù)問(wèn)題能夠迎刃而解。在平時(shí)的學(xué)習(xí)和做題過(guò)程中，也需要不斷積累經(jīng)驗(yàn)，從而掌握導(dǎo)數(shù)知識(shí)在函數(shù)中的應(yīng)用方法。

一、導(dǎo)數(shù)知識(shí)在高中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)中的重要性

導(dǎo)數(shù)又稱導(dǎo)函數(shù)，是一種特殊的函數(shù)類型，從其定義和引出過(guò)程中，都可以看到函數(shù)思想。在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段，導(dǎo)數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)為我們解決不等式、切線、數(shù)列等問(wèn)題提供了新的方法和途徑。近幾年來(lái)，導(dǎo)數(shù)知識(shí)在函數(shù)中的應(yīng)用，也是高考試題的重點(diǎn)考察對(duì)象。無(wú)論從哪個(gè)角度來(lái)看，導(dǎo)數(shù)知識(shí)都在高中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)中占有重要地位。首先，導(dǎo)數(shù)是判斷函數(shù)單調(diào)性的重要方法，適用性較高，可以反映出函數(shù)某點(diǎn)附近的變化規(guī)律，將函數(shù)問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)。其次，導(dǎo)數(shù)定義中引入了變化比值極限的概念，是函數(shù)解題的重要思想，對(duì)其進(jìn)行深刻理解，可以幫助我們打破思維局限性。再次，導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法則可應(yīng)用在兩函數(shù)乘積導(dǎo)函數(shù)、商的導(dǎo)函數(shù)和復(fù)合函數(shù)導(dǎo)函數(shù)等各個(gè)方面，能夠化簡(jiǎn)大多數(shù)函數(shù)問(wèn)題，是我們必須要掌握的解題方法。因此，必須提高對(duì)導(dǎo)數(shù)知識(shí)學(xué)習(xí)的重視，并掌握導(dǎo)數(shù)在函數(shù)解題中的應(yīng)用方法。

二、導(dǎo)數(shù)知識(shí)在高中函數(shù)中的具體應(yīng)用策略

（一）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)判斷函數(shù)單調(diào)性

如上所述，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，是導(dǎo)數(shù)知識(shí)在函數(shù)中的一個(gè)重要應(yīng)用方向。以例1為例：求函數(shù)f（x）=x3+3/x的單調(diào)區(qū)間?？衫脤?dǎo)數(shù)概念，確定函數(shù)的定義域，即（-∞，0）∪（0，+∞）。然后對(duì)題目中的函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，即f（x）=3x2-3/x2=3（x2+1）（x+1）（x-1）/x2，若導(dǎo)數(shù)大于零，則x的取值范圍為大于1或小于-1。如果導(dǎo)數(shù)小于零，則x取值范圍為大于-1小于0或大于0小于1。那么函數(shù)的遞增區(qū)間為（-∞，1）∪（1，+∞），遞減區(qū)間為（-1，0）∪（0，1）。從例1的解題過(guò)程中可以看出，采用導(dǎo)數(shù)解題方法，不需要進(jìn)行傳統(tǒng)方法下的f（x1）-f（x2）的正負(fù)性判斷，而是直接對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，確定遞增和遞減區(qū)間，確定函數(shù)定義域，再進(jìn)行求導(dǎo)。

（二）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求解函數(shù)值域或最值

在高中函數(shù)問(wèn)題中，經(jīng)常會(huì)遇到函數(shù)值域或最值求解問(wèn)題，這也是高考中常出現(xiàn)的一類題型。在此方面，也可以利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)進(jìn)行求解，而且解題過(guò)程較為簡(jiǎn)單。同樣以一道例題進(jìn)行說(shuō)明，例2：試求函數(shù)y=（4x+3）/（x2+1）的值域。在此類問(wèn)題中，通常采用判別式方法進(jìn)行求解，首先將其轉(zhuǎn)為為yx2-4x+y-3=0，然后分為兩種情況進(jìn)行討論，即y=0和y≠0的情況，如果未進(jìn)行分類討論，則會(huì)得出錯(cuò)誤答案。利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)進(jìn)行求解，首先確定原函數(shù)的定義域，由于x2+1恒大于0，因此函數(shù)定義域?yàn)椋?∞，+∞）。進(jìn)而可以對(duì)函數(shù)進(jìn)行直接求導(dǎo)，得到y(tǒng)=[-2（x+2）（2x-1）]/（x2+1）2，令y=0，可以得出x=-2，或x=1/2。當(dāng)x=-2時(shí)，y取得極小值，為-1，當(dāng)x=1/2時(shí)，y取得最大值，為4.然后根據(jù)[limx→∞f（x）=limx→∞4x+3x2+1=0]，確定函數(shù)值域?yàn)閇-1，4]。

上述題目解析過(guò)程中可以看出，由于導(dǎo)數(shù)知識(shí)的應(yīng)用，使原題目中函數(shù)的值域求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)計(jì)算問(wèn)題，并通過(guò)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，確定其值域范圍。這是由于函數(shù)在閉區(qū)間可導(dǎo)，可以方便的求取其在閉區(qū)間內(nèi)的最值。合理運(yùn)用這一性質(zhì)，可以有效簡(jiǎn)化函數(shù)值域問(wèn)題的求解范圍，利用其解決更多函數(shù)問(wèn)題。

（三）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求解函數(shù)極值

利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求解函數(shù)極值，是導(dǎo)數(shù)概念以及極限值思想應(yīng)用的集中體現(xiàn)，對(duì)我們的函數(shù)思想有重要的提升作用。應(yīng)注重導(dǎo)數(shù)思想在函數(shù)極值求解問(wèn)題的應(yīng)用，明確其應(yīng)用步驟，并對(duì)可能出現(xiàn)錯(cuò)誤的地方加以注意。利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)極值的關(guān)鍵步驟包括求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f（x），然后求解f（x）=0的根，再根據(jù)方程根的左右值符號(hào)，確定函數(shù)的極大值或極小值。下面以例3為例進(jìn)行說(shuō)明：求解函數(shù)f（x）=1/3x3-4x+4的極值。在對(duì)這道題目進(jìn)行求解時(shí)，根據(jù)上述流程，可對(duì)題目中的函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)f（x）=x2-4=（x-2）（x+2），然后令f（x）=0，可以較為容易的求出根值為2和-2。再通過(guò)對(duì)x變化時(shí)的導(dǎo)數(shù)變化及函數(shù)變化進(jìn)行分析，確定x=-2時(shí)函數(shù)f（x）取得最大值，為28/3，x=2時(shí)函數(shù)f（x）取得最小值，為-4/3。與傳統(tǒng)方法下的函數(shù)極值求解過(guò)程相比，這種方法步驟較少，而且過(guò)程計(jì)算簡(jiǎn)單，不容易出錯(cuò)。因此，積極利用導(dǎo)數(shù)方法對(duì)函數(shù)問(wèn)題進(jìn)行求解，不僅可以提高我們的函數(shù)解題速度，還有利于提升函數(shù)解題準(zhǔn)確率。在我們平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，應(yīng)關(guān)注于導(dǎo)數(shù)在函數(shù)解題過(guò)程中的應(yīng)用，并熟練掌握其應(yīng)用方法。

三、結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，導(dǎo)數(shù)知識(shí)在高中數(shù)學(xué)函數(shù)求解過(guò)程中的應(yīng)用，不僅可以使函數(shù)問(wèn)題得到解決，而且過(guò)程簡(jiǎn)單，可以縮短解題時(shí)間，從而讓我們?cè)诳荚囍泄?jié)省更多時(shí)間去做其他題目或進(jìn)行檢查。通過(guò)對(duì)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用方法進(jìn)行總結(jié)和分析，可以更加明確導(dǎo)數(shù)知識(shí)在函數(shù)中的應(yīng)用思路，同時(shí)找到容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的地方，在實(shí)際應(yīng)用中提高警惕，提升函數(shù)問(wèn)題的解題準(zhǔn)確率。

參考文獻(xiàn)

[1]蔡瑩.淺談導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)函數(shù)中的解題應(yīng)用[J].考試周刊，2018（77）：94.

[2]韓紅梅.高中數(shù)學(xué)課程價(jià)值取向及導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用[J].考試周刊，2013（84）：57.