《等差數(shù)列的前n項(xiàng)和》教學(xué)設(shè)計(jì)

廣西藤縣第四中學(xué) 黃潔云

一、教材分析

本節(jié)內(nèi)容是北師大版必修5第一章第二節(jié)“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”的第一課時(shí)，主要內(nèi)容是等差數(shù)列前n項(xiàng)和的推導(dǎo)過程和簡單應(yīng)用。本節(jié)對“等差數(shù)列前n 項(xiàng)和”的推導(dǎo)，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究等差數(shù)列，其學(xué)習(xí)平臺(tái)是學(xué)生已掌握等差數(shù)列的性質(zhì)以及高斯求和法等相關(guān)知識(shí)。對本節(jié)的研究，為以后學(xué)習(xí)數(shù)列求和提供了一種重要的思想方法——倒序相加求和法，具有承上啟下的重要作用。

二、學(xué)情分析

學(xué)生基本掌握了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及性質(zhì)，初步具備解決問題的能力，但是數(shù)形結(jié)合的意識(shí)和思維的深刻性還需進(jìn)一步地培養(yǎng)和加強(qiáng)。

三、教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)上，掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，能夠簡單運(yùn)用公式解決問題；通過公式的推導(dǎo)，體會(huì)從特殊到一般的研究方法，認(rèn)識(shí)倒序相加法。

2.過程與方法上，經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法，學(xué)會(huì)觀察、歸納、反思。

3.情感上，獲得發(fā)現(xiàn)的成就感，逐步養(yǎng)成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，提高代數(shù)推理的能力。

重點(diǎn)是掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，能夠簡單運(yùn)用公式解決問題；

難點(diǎn)是等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)過程中滲透倒序相加的思想方法。

四、教法學(xué)法

本課采用“問題——探究”的教學(xué)模式，以問題驅(qū)動(dòng)，層層鋪墊。

五、教學(xué)過程

教學(xué)環(huán)節(jié) 教 師 活 動(dòng)學(xué) 生 活 動(dòng) 活 動(dòng) 說明探索公式首先認(rèn)識(shí)一位偉大的數(shù)學(xué)家——高斯，然后提出問題：高斯是如何快速計(jì)算1+2+3+4+…..+100？設(shè)等差數(shù)列{an }前n項(xiàng)和為Sn,則學(xué)生：1+1 0 0=1 0 1，2+99=101，…..50+51=101，所以原式=50×（1+101）=5050 S a a a a n = + + + +1 2 1...n n?問題1老師：利用高斯算法如何求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式？老師：但是否剛好配對成功呢？（1）n為偶數(shù)時(shí)：學(xué)生：將首末兩項(xiàng)配對，第二項(xiàng)與倒數(shù)第二項(xiàng)配對，以此類推，每一對的和都相等，并且都等于a+a 1 n 。學(xué)生：不一定，需要對n取值的奇偶進(jìn)行討論。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)剛好配對成功。高斯求和眾所周知，學(xué)生能快速解答。這里用到了等差數(shù)列腳標(biāo)和性質(zhì)從高斯算法出發(fā)，對n進(jìn)行討論尋找求和公式思路自然，學(xué)生容易想到。對中間項(xiàng)a+1n 2當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng) 落單了。a+1n 2（2）n為奇數(shù)時(shí)：的解決辦法的過程中，進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)研究數(shù)列就是對腳標(biāo)數(shù)學(xué)的研究。老師：那么該如何解決落單的a+1n2呢S a a a+1 n?= + +n 1()21n n（可能部分學(xué)生在此會(huì)遇到困難，老師做適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)。）學(xué)生：觀察a+1n 的腳標(biāo)與a+a 1 n 2 2腳標(biāo)的關(guān)系，即：n n n 1 1 2 2 1?1()2= + +a a n a a++ +2 2 1 2+ +==2 a a a a a n n 1 1+ ++1n na a= +n()2 2 2 1n同過對n取值的討論，得到了前n項(xiàng)和求和公式：S a a= +n n ()21n

但是對n討論麻煩了，能否有更好的方法求前n項(xiàng)和公式呢？接下來給出實(shí)際問題：伐木工人是如何快速計(jì)算堆放在木場的木頭根數(shù)呢？問題2：如何用倒置的思想求等差數(shù)列前n項(xiàng)和呢？方法一：學(xué)生觀察動(dòng)畫演示，不難發(fā)現(xiàn)用倒置的思想來解決此問題。（由上一問題的解決，學(xué)生容易想到倒序相加求和法。）學(xué)生：利用倒序相加求和法。倒序相加求和法是重要的數(shù)學(xué)思想，為以后數(shù)列求和的學(xué)習(xí)做好了鋪墊。方法二同樣利用倒序相加求和法，教材做了如下處理：將Sn中的每一項(xiàng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行巧妙的改寫，在倒序相加求和時(shí)，每一組中的d都被正負(fù)抵消了。學(xué)生類比方法一與方法二的聯(lián)系與區(qū)別。在等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程中，通過問題獲得知識(shí)，讓學(xué)生經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問題——提出問題——解決問題”的過程議練 活動(dòng)例1：計(jì)算（1）1+2+3+…+n（2）1+3+5+…+(2n-1)（3）2+4+6+…+2n（4）1-2+3-4+5-6+…+(2n-1)-2n教師通過動(dòng)畫演示給(1),(2)問一個(gè)直觀的解釋。學(xué)生自己閱讀教材，體會(huì)教材的解法是如何運(yùn)用求和公式。觀察多媒體課件演示認(rèn)識(shí)公式問題3：能否給求和公式一個(gè)幾何解釋呢？教師提示將求和公式與梯形建立聯(lián)系。學(xué)生：將求和公式與梯形面積公式建立聯(lián)系，而梯形面積公式的推導(dǎo)也正是利用了倒置的思想。利用數(shù)形結(jié)合的思想，使學(xué)生對兩個(gè)公式有直觀的認(rèn)識(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)的圖形語言。學(xué)生：同樣將公式2與梯形面積公式建立聯(lián)系。用“割”的思想將梯形分做一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形，而梯形面積就是這兩部分面積之和。學(xué)生討論：公式中一共含有五個(gè)量，根據(jù)三個(gè)公式之間的聯(lián)系，由方程的思想，知三可求二。