基于交疊組稀疏廣義全變分的地震信號(hào)隨機(jī)噪聲衰減

陳穎頻 彭真明 李美惠 喻 飛

(①電子科技大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，四川成都 610054；②閩南師范大學(xué)物理與信息工程學(xué)院，福建漳州 363000；③電子科技大學(xué)信息地學(xué)研究中心，四川成都 610054)

0 引言

實(shí)際地震信號(hào)中存在大量隨機(jī)噪聲，這給地震資料的處理和解釋帶來(lái)較大的干擾。目前，去除地震信號(hào)隨機(jī)噪聲的方法主要有基于全變分模型的正則化去噪方法[1-4]、基于稀疏表示和字典學(xué)習(xí)的隨機(jī)噪聲去除方法[5-7]和基于變換域的濾波去噪方法[8-9]等。其中，基于稀疏表示和字典學(xué)習(xí)的去噪方法需觀察數(shù)據(jù)進(jìn)行字典訓(xùn)練，在獲得較好去噪效果的同時(shí)，要耗費(fèi)大量時(shí)間在字典學(xué)習(xí)上，只要數(shù)據(jù)量稍大就會(huì)引起較大計(jì)算量?；谧儞Q域的濾波去噪方法通常需將地震信號(hào)從空域映射到變換域中進(jìn)行截?cái)酁V波，易產(chǎn)生吉布斯效應(yīng)。

全變分(Total variation，TV)模型被證明是一種可有效去除隨機(jī)噪聲的模型，自從它被Rudin等[1]提出之后，就引起學(xué)者們的廣泛關(guān)注[10-16]。TV模型充分挖掘了二維圖像的橫向縱向梯度信息，較好地契合了自然圖像的局部光滑和梯度稀疏等先驗(yàn)知識(shí)。該模型被廣泛應(yīng)用于地震圖像去噪[10-11]、地震波阻抗反演[12-13]、地震波全波形反演[14]、弱小目標(biāo)檢測(cè)[15]和超分辨率分析[16]等眾多領(lǐng)域。

由于TV模型假設(shè)圖像是分片光滑常數(shù)，導(dǎo)致TV去噪模型存在較為嚴(yán)重的階梯效應(yīng)。為抑制階梯效應(yīng)和提高TV模型的去噪效果，Bredies等[17]提出廣義全變分(Total generalized variation，TGV)模型。該模型是全變分模型的推廣，具有凸性、下半連續(xù)性、旋轉(zhuǎn)不變性等眾多優(yōu)秀的數(shù)學(xué)性質(zhì)，并能逼近任意多項(xiàng)式[18]。TGV模型同時(shí)約束了圖像的一階梯度與二階梯度，因此有效緩解了全變分模型的階梯效應(yīng)。Knoll等[18]將廣義全變分模型用于核磁共振成像，取得較好的應(yīng)用效果。隨后，Guo等[19]提出一種基于TGV和剪切波變換的細(xì)節(jié)保留方法，用于MRI圖像重構(gòu)中。Qin等[20]將這種多約束正則項(xiàng)用于圖像解卷積。Kong等[11]則將Shearlet和TGV正則項(xiàng)用于地震信號(hào)去噪。

近年來(lái)，Liu等[21]和Chen等[22-23]提出了交疊組稀疏正則項(xiàng)。該正則項(xiàng)是一種非分離正則項(xiàng)[24]。它不僅考慮了圖像差分域的稀疏性，還挖掘了每個(gè)點(diǎn)鄰域差分信息，因此可利用圖像梯度的結(jié)構(gòu)化稀疏特性。通過(guò)交疊組合梯度可提高平滑區(qū)域與邊界區(qū)域的差異，從而抑制TV模型的階梯效應(yīng)。Liu等[25]借鑒Chen等[22-23]的成果，將一維交疊組稀疏正則項(xiàng)推廣到二維領(lǐng)域，并將其引入各向異性全變分模型，用于椒鹽噪聲的去噪和解卷積問(wèn)題。Liu等[26]將交疊組稀疏正則項(xiàng)用于Speckle噪聲的去除。

上述工作全部是基于各向異性全變分模型做的推廣，然而各向異性全變分模型沒(méi)有二階差分的約束，交疊組稀疏梯度的引入對(duì)階梯效應(yīng)的抑制能力有限。需指出的是，TGV和交疊組稀疏收斂算子對(duì)階梯效應(yīng)的抑制機(jī)理并不一樣，前者利用圖像一階、二階差分約束緩解階梯效應(yīng)，后者則通過(guò)圖像梯度的結(jié)構(gòu)特性抑制階梯效應(yīng)。目前，TGV模型與交疊組稀疏收斂算子的交叉研究仍處于起步階段。

由于經(jīng)典的TGV模型未考慮圖像梯度的鄰域結(jié)構(gòu)特性，受Liu等[25]的啟發(fā)，本文提出一種基于交疊組稀疏收斂算子的改進(jìn)廣義全變分模型(簡(jiǎn)稱為TGV-OGS)，并將其應(yīng)用于地震信號(hào)去噪中。鑒于該模型的復(fù)雜性，采用交替乘子迭代法(Alternating direction method of multipliers，ADMM)[27-28]對(duì)其求解。為提高算法效率，假定處理圖像滿足周期性邊界條件，并采用快速解卷積方法[29-31]，巧妙地避免了大型差分矩陣的相乘運(yùn)算，將差分操作理解為卷積，再利用卷積定理，從頻域恢復(fù)圖像。

在后續(xù)實(shí)驗(yàn)中，將對(duì)比常規(guī)各向異性全變分方法(Anisotropic total variation，ATV)[32]、各向異性組稀疏方法(Anisotropic total variation based on overlapping group sparsity，ATV-OGS)[25]、TGV去噪方法及本文去噪方法，并從峰值信噪比(Peak signal to noise ratio，PSNR)、結(jié)構(gòu)相似性(Structural similarity，SSIM)[33]、信噪比(Signal to noise ratio，SNR)[7]及運(yùn)算時(shí)間等指標(biāo)客觀地對(duì)比這幾種算法。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可見(jiàn)，本文提出的算法及所構(gòu)建的模型能進(jìn)一步改進(jìn)TGV的去噪性能。

1 預(yù)備知識(shí)

經(jīng)典的二階TGV模型[34]定義為

‖Dv*S-Vv‖1)+α1(‖Dh*Vh‖1+

‖Dv*Vv‖1+‖Dv*Vh+Dh*Vv‖1)]}

(1)

1.2 二維矩陣交疊組稀疏鄰近算子與MM算法

假定V0為待收斂矩陣，則其交疊組稀疏鄰近算子記為

P(V) =proxγφ(V0)

(2)

(3)

圖1 二維交疊組稀疏示意圖

利用優(yōu)化—最小化方法(Majorization-minimization，MM)[36]可有效計(jì)算式(2)。根據(jù)MM算法，最小化P(V)需首先找到一個(gè)函數(shù)Q(V,U)(U為輔助變量)，該函數(shù)對(duì)所有V,U，都有Q(V,U)≥P(V)，并且當(dāng)且僅當(dāng)U=V時(shí)等號(hào)成立。據(jù)此，每次計(jì)算的Q(V,U)最小值為P(V)的優(yōu)化值，式(2)的計(jì)算可轉(zhuǎn)化為如下迭代運(yùn)算

(4)

考慮到組稀疏正則項(xiàng)的特殊性，并注意到下列不等式的存在

(5)

式中，當(dāng)且僅當(dāng)U=V時(shí)，等號(hào)成立。

(6)

將S(V,U)重寫為

(7)

式中：v是矩陣V的向量形式；C(U)與V無(wú)關(guān)，可視為關(guān)于V的常數(shù)項(xiàng)；D(U)∈RN2×N2，是一個(gè)對(duì)角矩陣，其對(duì)角元素定義為

[D(U)]m,m

(8)

結(jié)合式(4)、式(7)和式(8)，可將式(2)轉(zhuǎn)化為如下迭代優(yōu)化問(wèn)題

(9)

該式為二次規(guī)劃問(wèn)題，其迭代最優(yōu)解為

V(k+1)=mat{[I+γD2(V(k))]-1v0}

(10)

式中：I∈RN2×N2，表示單位矩陣；v0是V0的向量形式； mat表示向量矩陣化運(yùn)算。

2 模型構(gòu)建及其求解方法

2.1 基于交疊組稀疏的改進(jìn)TGV模型

將TGV中的L1約束項(xiàng)改進(jìn)為交疊組稀疏約束項(xiàng)，從而更好地挖掘圖像一階梯度與二階梯度的差分信息，建模如下

φ(Dv*S-Vv)]+α1[φ(Dh*Vh)+

φ(Dv*Vv)+φ(Dv*Vh+Dh*Vv)]}}

(11)

對(duì)比經(jīng)典的TGV模型，本文構(gòu)建的模型將一階梯度與二階梯度矩陣的每個(gè)像素點(diǎn)鄰域K2個(gè)信息點(diǎn)交疊組合，從而更充分挖掘一階梯度矩陣和二階梯度矩陣結(jié)構(gòu)特性。顯然，每個(gè)像素點(diǎn)的鄰域梯度與二階鄰域梯度存在一定相似性，該結(jié)構(gòu)稀疏先驗(yàn)知識(shí)被交疊組稀疏模型較好地刻畫。

2.2 構(gòu)建模型的ADMM求解

為求解式(11)定義的改進(jìn)TGV模型，利用ADMM框架求解模型。令

則根據(jù)ADMM原理，可將式(11)的增廣拉格朗日函數(shù)表達(dá)為

μ0[φ(Z1)+φ(Z2)]+μ1[φ(Z3)+

φ(Z4)+φ(Z5)]-

〈β0Λ1,Z1-(Dh*S-Vh)〉-

〈β0Λ2,Z2-(Dv*S-Vv)〉-

〈β1Λ3,Z3-(Dh*Vh〉-〈β1Λ4,Z4-Dv*Vv〉-

〈β1Λ5,Z5-(Dv*Vh+Dh*Vv)〉+

(12)

式中：μ0=μα0；μ1=μα1；Λi(i=1,2,…,5)是拉格朗日乘子； 〈X,Y〉表示兩個(gè)矩陣X與Y的內(nèi)積。

在ADMM框架下，分離變量及其對(duì)偶變量之間與三元組S、Vh、Vv是去耦合的。而三元組中三個(gè)變量是相互耦合的，因此需要建立關(guān)于三個(gè)變量的三元一次方程組。對(duì)于S子問(wèn)題，其子目標(biāo)函數(shù)為

(13)

本文假定處理數(shù)據(jù)滿足周期性邊界條件，因此可以利用快速傅里葉變換進(jìn)行卷積計(jì)算。

根據(jù)卷積定律，兩個(gè)矩陣在空域卷積，對(duì)應(yīng)到頻域，卷積結(jié)果的頻譜為兩個(gè)矩陣頻譜的點(diǎn)乘。將式(13)做傅里葉變換

(14)

(15)

整理可得

(16)

其中

式中：1是元素全為1的矩陣；上角“*”表示共軛運(yùn)算。

同理，對(duì)Vh子目標(biāo)函數(shù)關(guān)于Vh求導(dǎo)為零，可得Vh子問(wèn)題的約束方程為

(17)

其中

詳細(xì)推導(dǎo)過(guò)程不再贅述。

同理，對(duì)Vv的子目標(biāo)函數(shù)關(guān)于Vv求導(dǎo)為零，可得Vv子問(wèn)題的約束方程為

(18)

其中

(19)

該式可用克萊姆法則和快速反傅里葉變換求解

(20)

式中：除法都為按元素點(diǎn)除運(yùn)算；F-1表示二維逆快速傅里葉變換算子；定義矩陣行列式算子為

K12。K23。K31+K13。K21。K32-K13。K22。K31-

K12。K21。K33-K11。K32。K23

對(duì)于Z1子問(wèn)題，其目標(biāo)子函數(shù)為

(21)

根據(jù)式(10)，可得Z1的更新公式為

(22)

同理，Z2、Z3、Z4和Z5的更新公式為

(23)

且有

式中vec(·)表示將矩陣列向量化。

Λ1的目標(biāo)子函數(shù)為

(24)

利用梯度上升法可得其更新公式

(25)

其中γ為學(xué)習(xí)率。

類似地，拉格朗日乘子變量Λ2、Λ3、Λ4和Λ5的更新公式對(duì)應(yīng)為

(26)

至此，本文構(gòu)建模型的所有子問(wèn)題都得以解決。將該算法總結(jié)為表1。

表1 TGV-OGS算法偽代碼

其中： tol=10-4表示算法停止迭代的閾值；Max=30

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

將本文算法應(yīng)用于地震信號(hào)，并通過(guò)峰值信噪比、結(jié)構(gòu)相似性指示系數(shù)、信噪比及運(yùn)行時(shí)間客觀評(píng)價(jià)該算法的去噪性能，并與ATV、ATV-OGS方法以及TGV去噪方法做全面對(duì)比。

3.1 評(píng)價(jià)指標(biāo)

去噪領(lǐng)域最常用評(píng)價(jià)指標(biāo)有：峰值信噪比、結(jié)構(gòu)相似性指標(biāo)、信噪比和運(yùn)行時(shí)間。其中峰值信噪比、結(jié)構(gòu)相似性指標(biāo)[33]為

(27)

SSIM(X,Y)

(28)

為更好地表征去噪效果，還選用了信噪比參數(shù)，定義[7]如下

(29)

3.2 合成地震信號(hào)去噪性能對(duì)比測(cè)試

本節(jié)給出合成地震記錄，該記錄由20 Hz雷克子波與人工合成反射系數(shù)卷積獲得。圖2為截取的前50道合成記錄，可清晰觀察到去噪效果。

圖2 合成地震信號(hào)

3.2.1 交疊組稀疏正則項(xiàng)效果測(cè)試

為驗(yàn)證交疊組稀疏正則項(xiàng)的有效性，在合成記錄中加入0均值、標(biāo)準(zhǔn)差為σ的高斯白噪聲，且設(shè)定K=3。ATV、ATV-OGS、TGV以及本文方法的測(cè)試結(jié)果如表2所示，最優(yōu)指標(biāo)用粗體標(biāo)出。

表2 合成地震信號(hào)算法性能測(cè)試表

從表2中可看到，交疊組稀疏正則項(xiàng)不僅對(duì)經(jīng)典的各向異性TV模型算法性能有所改進(jìn)，而且對(duì)TGV去噪方法有較好的改進(jìn)。為直觀反映其效果，以偽彩色形式(圖3)展示σ=30時(shí)上述四種算法的去噪效果。

觀察圖3中由矩形紅色框圈定區(qū)域(圖3d)，顯然是平滑區(qū)域，在放大區(qū)域中可以看到若干個(gè)被重噪聲污染的像素；ATV去噪方法在該區(qū)域有較明顯的塊效應(yīng)。從放大圖(圖3f)中可見(jiàn)，仍然有兩個(gè)像素被重噪聲干擾。從圖3h可見(jiàn)，利用交疊組稀疏正則項(xiàng)則非常好地抑制了塊效應(yīng)，且兩個(gè)重噪聲點(diǎn)被去除得較為干凈。值得指出的是，各向異性交疊組稀疏方法并未完全抑制ATV的塊效應(yīng)。再觀察TGV的去噪結(jié)果(圖3i、圖3j)，可見(jiàn)TGV去噪方法也對(duì)ATV的塊效應(yīng)有較好的抑制作用，在平滑區(qū)域獲得更加光滑的重構(gòu)信號(hào)。但從圖3j可見(jiàn)，TGV去噪方法對(duì)于重噪聲污染點(diǎn)也是無(wú)能為力的。而本文提出的方法則將交疊組稀疏和TGV的優(yōu)點(diǎn)結(jié)合起來(lái)，獲得比ATV-OGS和TGV更好的去噪效果。觀察圖3l可以看到，本文算法獲得的去噪結(jié)果在該區(qū)域更接近原圖。值得注意的是，設(shè)定K=3時(shí)，算法性能尚未達(dá)到最優(yōu)。

為進(jìn)一步觀察去噪效果，將圖3中六個(gè)子圖的第40道抽出進(jìn)行觀察(圖4)。從圖4可見(jiàn)ATV存在明顯的階梯效應(yīng)，而ATV-OGS去噪方法(圖4d)較好地緩解了ATV的階梯效應(yīng)，但是去噪結(jié)果仍然不夠光滑。傳統(tǒng)TGV方法也存在類似問(wèn)題。本文提出的方法在TGV理論框架上結(jié)合了組稀疏收斂方法，從而挖掘了數(shù)據(jù)鄰域梯度的結(jié)構(gòu)信息，將兩者的優(yōu)點(diǎn)充分結(jié)合，大幅提高了信號(hào)的重構(gòu)質(zhì)量。在圖4b中50～100ms區(qū)間，地震信號(hào)被一強(qiáng)幅度噪聲嚴(yán)重干擾。該強(qiáng)噪聲污染在圖4c和圖4e中依然存在，這反映傳統(tǒng)ATV和TGV方法的重大缺陷，即兩種算法都是以單一像素點(diǎn)為處理對(duì)象，孤立地迭代，這樣就無(wú)法充分考慮到信號(hào)鄰域的梯度相似信息。而ATV-OGS方法和本文提出方法則不存在這種問(wèn)題，觀察圖4d和圖4f可知，基于交疊組稀疏收斂方法的ATV-OGS和TGV-OGS都能有效去除50～100ms存在的尖峰干擾。顯然，本文提出方法充分利用了地震信號(hào)的鄰域相似性，這對(duì)去除大幅度的噪聲污染尤其有效。通過(guò)上述實(shí)驗(yàn)，得出如下結(jié)論，各向異性交疊組稀疏去噪方法能有效利用圖像一階梯度的結(jié)構(gòu)特性，而廣義全變分模型中存在一階和二階圖像梯度，這些梯度同樣含有鄰似性，將交疊組稀疏正則項(xiàng)與TGV模型充分結(jié)合，進(jìn)一步提升了TGV模型的去噪能力。

圖3 四種算法去噪效果對(duì)比

(a)原圖；(b)圖a的局部放大；(c)帶噪聲圖；(d)圖c的局部放大；(e)ATV去噪結(jié)果；(f)圖e的局部放大；(g)ATV-OGS去噪

結(jié)果；(h)圖g的局部放大圖；(i)TGV去噪結(jié)果；(j)圖i的局部放大圖；(k)TGV-OGV(K=3)去噪結(jié)果；(l)圖k的局部放大

3.2.2 參數(shù)敏感性分析

對(duì)本文算法的交疊組合數(shù)K進(jìn)行測(cè)試對(duì)比，以評(píng)價(jià)其對(duì)算法的整體效果。采用PSNR和SSIM兩個(gè)指標(biāo)對(duì)算法進(jìn)行客觀評(píng)價(jià)，針對(duì)不同高斯噪聲水平，將K從1到13連續(xù)變化，并記錄PSNR和SSIM值，詳見(jiàn)圖5。從圖5可以看到，隨著K的增大，在不同噪聲下，K對(duì)PSNR和SSIM起到的作用是不一樣，顯然，在低噪聲的時(shí)候(例如σ=10)，K取11時(shí)，PSNR和SSIM都達(dá)到峰值，若K繼續(xù)加大，PSNR則下降。當(dāng)σ=10時(shí)，本文算法的PSNR達(dá)到最高值37.7846 dB，高出TGV算法1.905 dB。從圖5可見(jiàn)，當(dāng)噪聲較低的時(shí)候，圖像的鄰域信息對(duì)算法性能起到了正面作用。然而，K也不宜取得過(guò)大，否則可能會(huì)取到鄰域中圖像變化劇烈的區(qū)域，這種情況下，PSNR和SSIM就要下降。而當(dāng)噪聲較大時(shí)，鄰域梯度的結(jié)構(gòu)特性被破壞得比較嚴(yán)重，這種情況下，K稍大就會(huì)導(dǎo)致算法性能下降，例如當(dāng)σ=40時(shí)，K=7時(shí)獲得了PSNR和SSIM的最高值。從圖5a中可見(jiàn)，當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差為30時(shí)，設(shè)定K=9可以令PSNR值達(dá)到最高。圖6展示了在標(biāo)準(zhǔn)差為30時(shí)，

圖4 四種算法單道去噪效果對(duì)比

圖5 不同σ值的PSNR(a)和SSIM(b)隨K值變化曲線的對(duì)比

圖6 TGV-OGV(K=9)去噪效果圖

算法參數(shù)K=9的去噪效果，其PSNR為30.4824dB，SSIM為0.9789，SNR為15.8382dB，均遠(yuǎn)超過(guò)經(jīng)典TGV去噪模型。對(duì)比圖6b與圖4l可見(jiàn)，當(dāng)K設(shè)置得足夠合理，恢復(fù)出來(lái)的地震信號(hào)將更加符合梯度的稀疏先驗(yàn)知識(shí)。再對(duì)比圖6c與圖4f可知，當(dāng)K取值合適時(shí)，本文算法的保護(hù)邊緣能力及對(duì)重噪聲的抗噪能力更強(qiáng)。

3.3 實(shí)際地震信號(hào)去噪性能測(cè)試

以二維地震信號(hào)作為測(cè)試信號(hào)(圖7a)。該地震信號(hào)為疊后地震信號(hào)，已經(jīng)去除了噪聲。為客觀評(píng)價(jià)算法性能，在地震信號(hào)中加入σ=10，20，30，40的高斯白噪聲，對(duì)比ATV、ATV-OGS、TGV以及TGV-OGS等算法的去噪性能指標(biāo)，各項(xiàng)指標(biāo)被記錄在表3中。表3顯示，對(duì)于實(shí)際地震信號(hào)，本文提出算法的去噪效果最好。

圖7展示了σ=30時(shí)各種算法的二維地震信號(hào)去噪效果，可見(jiàn)本文算法有效去除了人為增加的高斯噪聲。對(duì)比原地震信號(hào)可以發(fā)現(xiàn)，本文方法將地震信號(hào)中的高頻干擾去除得較徹底，不存在ATV方法的塊效應(yīng)問(wèn)題，且同相軸具有較好的橫向連續(xù)性。

圖8展示了圖7中各個(gè)子圖中道號(hào)為70的單道地震信號(hào)。從圖8b可以觀察到，在1850～1900ms區(qū)間內(nèi)，地震信號(hào)被一個(gè)大幅度噪聲污染，顯然，基于逐點(diǎn)迭代的ATV和TGV方法都無(wú)法有效去除

該位置的噪聲(圖8c和圖8e)。而基于交疊組稀疏收斂方法的ATV-OGS和TGV-OGS方法則非常好地去除了該位置的噪聲(圖8d和圖8f)。對(duì)比圖8d與圖8f可見(jiàn)，本文提出方法恢復(fù)的地震信號(hào)更接近原地震信號(hào)。從圖8還可知，交疊組稀疏正則項(xiàng)對(duì)于平滑區(qū)域的高噪聲污染有較為顯著的效果。

表3 實(shí)際地震信號(hào)算法性能測(cè)試表

圖7 四種算法去噪效果對(duì)比(a)二維地震信號(hào)；(b)帶噪數(shù)據(jù)；(c)ATV去噪結(jié)果；(d)ATV-OGS去噪結(jié)果；(e)TGV去噪結(jié)果；(f)TGV-OGV去噪結(jié)果

圖9給出圖8各個(gè)子圖的頻譜，可見(jiàn)加噪地震信號(hào)存在大量高頻干擾，而經(jīng)過(guò)各種去噪方法去噪后的地震信號(hào)頻譜則一定程度壓制了高頻干擾。從圖9f可見(jiàn)，在大于100Hz范圍，本文方法壓制噪聲的效果明顯好于ATV、ATV-OGS、TGV方法。

圖10顯示圖7b中加入的噪聲(σ=30)和各種方法去除的噪聲剖面的對(duì)比。觀察圖10a的色標(biāo)可發(fā)現(xiàn)，實(shí)際加入噪聲的幅度范圍是[-120,120]；而從圖10b可知，ATV方法估計(jì)的噪聲范圍是[-60,60]，顯然低估了噪聲幅度；從圖10c可見(jiàn)，ATV-OGS方法估計(jì)的噪聲范圍是[-70,70]，結(jié)果更準(zhǔn)確些；觀察圖10d可知，TGV方法估計(jì)的噪聲范圍是[-50,50]；而本文提出方法(圖10e)估計(jì)的噪聲范圍是[-100,100]，最接近實(shí)際加入噪聲的幅度。因此，從噪聲分布來(lái)看，本文方法估計(jì)的噪聲范圍是最接近實(shí)際添加噪聲的。

圖8 四種算法單道去噪效果對(duì)比

圖9 圖8數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的頻譜

圖10 四種算法去除噪聲的對(duì)比

4 結(jié)論

本文從交疊組稀疏正則項(xiàng)出發(fā)，結(jié)合廣義全變分定義，在ADMM框架下提出一種改進(jìn)廣義全變分去噪算法，并將其應(yīng)用于地震信號(hào)去噪。該算法充分利用圖像一階、二階梯度的鄰域相似性，提高平滑區(qū)域與邊界區(qū)域的差異性，從而提高去噪的魯棒性，獲得相比于經(jīng)典TGV更好的去噪性能。

將本文方法與ATV、ATV-OGS、TGV算法進(jìn)行比較，從實(shí)驗(yàn)結(jié)果得出如下結(jié)論和認(rèn)識(shí)：

(1)將差分算子視為卷積算子，并結(jié)合ADMM能將復(fù)雜的模型轉(zhuǎn)換為一系列簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題，并估計(jì)出較為準(zhǔn)確的地震信號(hào)。

(2)本文算法去噪能力高于其他各類全變分去噪算法，尤其對(duì)平滑區(qū)域的大幅度噪聲污染有顯著的去噪效果，因此，提出算法對(duì)噪聲更加魯棒。

(3)取適當(dāng)?shù)腒值可以有效提升整體去噪性能，在實(shí)際應(yīng)用中需要調(diào)節(jié)參數(shù)取值，若K值取得過(guò)小，則鄰域信息利用不夠充分；反之，若取值過(guò)大，則會(huì)引入過(guò)多不相似的圖像塊，導(dǎo)致去噪性能下降。

值得注意的是，本文方法提出的通用正則項(xiàng)同樣適用于其他各類圖像重構(gòu)問(wèn)題，如地震波阻抗反演、自然圖像去噪、椒鹽噪聲去除、圖像解卷積，核磁共振圖像重構(gòu)等反問(wèn)題的求解中，針對(duì)此于問(wèn)題有待于深入研究。另外，由于引入MM算法，導(dǎo)致涉及兩重循環(huán)，運(yùn)算效率較低，因此算法的效率優(yōu)化無(wú)疑是未來(lái)研究熱點(diǎn)。