楊氏模量和泊松比反射系數(shù)近似方程及地震疊前反演

張 瑞 文曉濤 楊吉鑫 李雷豪 劉松鳴

(①成都理工大學(xué)油氣藏地質(zhì)及開(kāi)發(fā)工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,四川成都 610059；②成都理工大學(xué)地球物理學(xué)院,四川成都 610059；③云南建投第一勘察設(shè)計(jì)有限公司，云南昆明 650000)

0 引言

隨著淺層、常規(guī)油氣資源獲取難度的增大，針對(duì)深層、超深層與非常規(guī)油氣儲(chǔ)層的地震勘探技術(shù)越來(lái)越成為人們關(guān)注的熱點(diǎn)[1-2]。非常規(guī)油氣資源之一的頁(yè)巖油氣的開(kāi)采通常需要壓裂，因此巖石的易壓裂程度成為頁(yè)巖油氣儲(chǔ)層評(píng)價(jià)中非常重要的指標(biāo)[3]。巖石物理研究表明[4]，楊氏模量和泊松比能夠較好地表征巖石壓裂的難易程度，為尋找儲(chǔ)層脆性區(qū)提供了基礎(chǔ)。

疊前AVO反演可以充分利用疊前地震資料包含的地質(zhì)、巖性和流體信息，獲取豐富的地下介質(zhì)彈性參數(shù)。疊前反演的核心是地震波傳播的物理基礎(chǔ)和描述地震波傳播過(guò)程的數(shù)理方程。Koefoed[5]通過(guò)詳細(xì)對(duì)比泊松比在17組不同參數(shù)的橫向各向同性介質(zhì)模型中對(duì)反射系數(shù)的影響，首次給出了將泊松比與反射系數(shù)直接聯(lián)系起來(lái)的Zoeppritz近似方程。Shuey[6]整理了另一種版本的Zoeppritz近似方程，指出泊松比的變化對(duì)反射系數(shù)的決定性影響。Smith等[7]通過(guò)PP波數(shù)據(jù)的加權(quán)疊加計(jì)算縱、橫波波阻抗及其他彈性參數(shù)。Vestrum等[8]利用Gardner經(jīng)驗(yàn)公式，用縱波速度的變換式替換Aki-Richards公式里的密度項(xiàng)，形成了加權(quán)聯(lián)合反演公式。Fatti[9]消除了多波反射系數(shù)公式中的密度項(xiàng)，得到縱、橫波阻抗兩參數(shù)疊前聯(lián)合反演方法。鄭曉東[10]以冪級(jí)數(shù)形式表示Zoeppritz公式，消除了橫波角度在方程中的影響，促進(jìn)了線性AVO反演的發(fā)展。Ursenbach[11]基于Gardner公式，推導(dǎo)出針對(duì)砂泥巖地層的兩項(xiàng)反射系數(shù)近似式。蔡涵鵬等[12]總結(jié)前人兩參數(shù)AVO反演公式之間的關(guān)系，優(yōu)化了適用于較大角度的兩項(xiàng)AVO分析方法。高剛等[13]引入Tikhonov正則化方法，推導(dǎo)了以縱、橫波阻抗表示的兩項(xiàng)彈性波阻抗公式。宗兆云等[14-15]分別建立了楊氏模量、泊松比與縱、橫波模量的疊前反演方法，在識(shí)別頁(yè)巖氣“甜點(diǎn)”方面進(jìn)行了非常有價(jià)值的探索。張廣智等[16]推導(dǎo)了基于楊氏模量、泊松比和密度的反射系數(shù)近似方程，為頁(yè)巖氣儲(chǔ)層含流體性識(shí)別提供了可靠方法。蘇建龍等[17]探討了針對(duì)頁(yè)巖氣層段的疊前彈性參數(shù)反演技術(shù)。李超等[18]推導(dǎo)了包含Gassmann流體項(xiàng)和剪切模量項(xiàng)的兩項(xiàng)地震反射系數(shù)近似方程，發(fā)展了針對(duì)深部?jī)?chǔ)層的流體識(shí)別反演方法。

本文在疊前反演理論的基礎(chǔ)上，通過(guò)討論巖石彈性參數(shù)關(guān)系與擬合條件，推導(dǎo)新的AVO反演兩項(xiàng)式近似方程，建立了可直接獲取描述超深儲(chǔ)層巖體脆性特征的兩項(xiàng)式疊前反演方法。利用數(shù)值模型分析新方法與Aki-Richards正演結(jié)果的精度差異，并且完成實(shí)際地震資料的疊前AVO反演，檢驗(yàn)了方法的合理性。

1 反射系數(shù)近似公式推導(dǎo)過(guò)程

完整的Zoeppritz方程精確描述了反射系數(shù)隨入射角變化的函數(shù)關(guān)系與反射、透射縱橫波能量隨入射角變化的分配機(jī)制，因此成為反射波地震勘探AVO分析的理論基礎(chǔ)。但由于其數(shù)學(xué)形式太過(guò)復(fù)雜而不易用，故Akis等[19]于1980年對(duì)Zoeppritz公式進(jìn)行近似推導(dǎo)，提出了目前廣泛使用的Aki-Richards反射系數(shù)近似方程。該方程易被用于地震反演問(wèn)題的求解，第一次給出了能夠滿足實(shí)際解釋需要的近似反射系數(shù)的計(jì)算途徑，為AVO方法應(yīng)用提供了數(shù)理基礎(chǔ)。

Aki-Richards近似方程為

(1)

密度項(xiàng)是一個(gè)與泊松比等信息相關(guān)的非獨(dú)立參數(shù)[20]，且相對(duì)于其他參數(shù)，變化范圍不大，因此可以與縱波速度建立關(guān)系。Gardner等[21]針對(duì)碎屑巖建立了密度與縱波速度的數(shù)學(xué)聯(lián)系，給出冪指數(shù)的經(jīng)驗(yàn)參數(shù)為0.25，Gardner公式為由巖石密度擬合縱波速度的經(jīng)典公式。朱廣生等[22]通過(guò)實(shí)測(cè)資料證明了Gardner經(jīng)驗(yàn)公式對(duì)不同巖性的適用性較差，故本文采用冪指數(shù)擬合的方式，引入?yún)?shù)可變的關(guān)系式消除密度項(xiàng)，以此保證對(duì)實(shí)際資料擬合的準(zhǔn)確性。推導(dǎo)過(guò)程如下

(2)

式中系數(shù)F、冪指數(shù)L均為常數(shù)，可根據(jù)工區(qū)縱波速度與密度數(shù)據(jù)擬合求出。由密度與縱波速度的微商關(guān)系

(3)

可得

(4)

縱橫波模量反射系數(shù)與縱橫波速度、密度反射系數(shù)的關(guān)系為

(5)

(6)

式中：M為縱波模量；μ為橫波模量。將式(4)代入式(5)、式(6)得

(7)

(8)

令

(9)

整理?xiàng)钍夏Ａ縀、泊松比σ關(guān)于縱橫波速度VP、VS的關(guān)系，并融合以上各式，得

(10)

(11)

(12)

將式(10)～式(12)代入式(1)，得到新的兩項(xiàng)式近似方程

(13)

在此筆者沿用宗兆云等[14]對(duì)三項(xiàng)近似式的命名方法，將上式稱為YP近似方程，該式建立了楊氏模量反射率、泊松比反射率與反射系數(shù)的直接、線性關(guān)系。

2 精度分析

四川元壩氣田是一個(gè)埋藏很深的海相氣田，選擇元壩氣田實(shí)際測(cè)井資料及構(gòu)造地質(zhì)模型對(duì)精確Zoeppritz方程、 Aki-Richards近似方程與YP近似方程的計(jì)算精度進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)比、分析。YP方程中的參數(shù)k=0.2599，L=0.5339，模型參數(shù)如表1所示。

地震波速度與密度的乘積被稱為波阻抗，正波阻抗界面的入射介質(zhì)的波阻抗小于透射介質(zhì)，負(fù)波阻抗界面則相反。在本模型中，上覆地層與氣層的分界面為負(fù)波阻抗界面，氣層與下伏地層的分界面為正波阻抗界面。分別用精確的Zoeppritz方程、Aki-Richard近似方程、YP近似方程計(jì)算上述模型不同界面處的反射系數(shù)及近似方程與精確方程的殘差(圖1、圖2)，可見(jiàn)基于YP近似方程計(jì)算的反射系數(shù)與精確Zoeppritz方程有一定誤差，其精度優(yōu)于Aki-Richard近似方程的計(jì)算結(jié)果。Aki-Richard近似方程對(duì)Zoeppritz方程的殘差在入射角為50°時(shí)開(kāi)始急劇增大。相對(duì)而言，YP近似方程的誤差較小，說(shuō)明在一定情況下，YP近似方程具有與Aki-Richard近似方程相似、甚至更小的誤差。根據(jù)選用的地震模型不同，其計(jì)算誤差會(huì)在小范圍內(nèi)變動(dòng)。

表1 元壩地區(qū)實(shí)測(cè)地震模型參數(shù)(據(jù)文獻(xiàn)[23])

圖1 正波阻抗界面不同方程反射系數(shù)(a)和反射系數(shù)差值(b)對(duì)比

圖2 負(fù)波阻抗界面界面不同方程反射系數(shù)(a)和反射系數(shù)差值(b)對(duì)比

影響誤差的主要因素是密度與縱波速度的擬合方程是否得當(dāng)，即參數(shù)L、k的取值是否合適。當(dāng)L、k取值得當(dāng)，通過(guò)縱、橫波速度擬合得到的密度就較為準(zhǔn)確，由方程計(jì)算得到的反射系數(shù)精度高；當(dāng)參數(shù)L、k取值不當(dāng)，實(shí)際效果相當(dāng)于三參數(shù)反演中密度項(xiàng)的取值不準(zhǔn)確，可見(jiàn)L、k的取值較為關(guān)鍵。因此，在實(shí)際反演中，應(yīng)盡量使用目標(biāo)層段的測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)進(jìn)行冪指數(shù)擬合計(jì)算，求取準(zhǔn)確的參數(shù)L、k。

3 反演流程

基于YP近似方程的兩項(xiàng)AVO反演流程包含疊前地震資料預(yù)處理、測(cè)井資料預(yù)處理、地質(zhì)層位解釋、多角度子波提取等主要環(huán)節(jié)，最終通過(guò)反演獲得楊氏模量和泊松比數(shù)據(jù)體。主要反演流程如圖3。

在進(jìn)行楊氏模量與泊松比反演計(jì)算之前，需從先驗(yàn)信息中求得參數(shù)L、k。為確保參數(shù)擬合結(jié)果準(zhǔn)確、可靠，針對(duì)目的層段可采用測(cè)井資料的縱、橫波速度與密度確定L、k，其中k為測(cè)井資料中橫、縱波速度比的平方，L則通過(guò)密度與縱波速度的冪指數(shù)擬合計(jì)算得到。

圖3 YP近似方程地震疊前反演流程圖

待反演參數(shù)的計(jì)算可簡(jiǎn)化為求解

(14)

式中：RPP是反射縱波的反射系數(shù)；CE和Cσ與角度有關(guān)；RE和Rσ分別是楊氏模量、泊松比的反射系數(shù)時(shí)間序列。

(15)

(16)

(17)

(18)

反射系數(shù)與某一角度子波卷積形成一個(gè)固定角度的地震合成記錄。將式(14)等號(hào)兩邊同時(shí)與子波卷積

(19)

(20)

式中：Wt,i為不同角度的子波；SPP(t，θi)是入射角為θi的角道集；W(t，θi)是一個(gè)子波核矩陣。

卷積運(yùn)算之后可得

(21)

若設(shè)D=Gm，D表示包含向量SPP的疊前角度道集，WE和Wσ構(gòu)成核矩陣G，m是包含RE和Rσ的反射率項(xiàng)。

反演的目標(biāo)函數(shù)為

f(V)=‖S-D‖→min

(22)

式中：V為待反演彈性參數(shù)構(gòu)成的參數(shù)向量；S(t)=W*R為初始低頻模型在各角度下的合成地震記錄，其中W為一組不同角度地震子波，R為計(jì)算得到的低頻地震模型的反射系數(shù)。

構(gòu)造f(V)的Jacobian矩陣J，通過(guò)對(duì)J進(jìn)行求解得到對(duì)V的修正量ΔV0[24]，將V0=V+ΔV0作為新的反演參數(shù)向量代入式(22)，反復(fù)迭代求解f(V)的極小值，直至求得使f(V)達(dá)到允許誤差的ΔVn，此時(shí)認(rèn)為Vn=Vn-1+ΔVn為最優(yōu)解。

4 模型試算

為驗(yàn)證YP近似方程兩項(xiàng)AVO反演的可行性與穩(wěn)定性，本文采用層狀模型進(jìn)行反演信噪比試驗(yàn)與模型依賴性試驗(yàn)。

設(shè)置一個(gè)共16層、每層具有一定厚度、水平層狀介質(zhì)模型，賦予其縱、橫波速度與密度(圖4)。子波采用主頻為40Hz的雷克子波，采用精確Zoeppritz方程進(jìn)行正演得到角度域疊前角道集，并對(duì)角道集分別添加信噪比10dB、5dB、2dB、1dB、0.5dB的高斯白噪聲，采用本文所述YP近似方程進(jìn)行楊氏模量、泊松比反演，結(jié)果如圖5所示。

圖4 多層水平層狀介質(zhì)角道集

圖5 信噪比試驗(yàn)反演結(jié)果

由反演結(jié)果可見(jiàn)，反演曲線受信噪比影響較大。模型信噪比降低，反演結(jié)果的波動(dòng)也相應(yīng)加大，且使反演精確度降低，但反演曲線的變化趨勢(shì)與模型吻合，能夠反映真實(shí)楊氏模量與泊松比的相對(duì)大小。

對(duì)真實(shí)模型進(jìn)行不同程度的平滑處理，以各組平滑曲線作為初始模型進(jìn)行模型依賴性實(shí)驗(yàn)(圖6)，可見(jiàn)初始模型中高頻成分的缺失，將使反演結(jié)果在地層分界處出現(xiàn)異常值；初始模型越準(zhǔn)確，反演效果越好。

圖6 不同初始模型試驗(yàn)結(jié)果

總體而言，通過(guò)YP反演可以將反演值歸位到真實(shí)值附近，獲得體現(xiàn)楊氏模量、泊松比有效信息的反演結(jié)果。

5 實(shí)際資料試處理

使用A區(qū)實(shí)測(cè)地震數(shù)據(jù)與測(cè)井資料進(jìn)行分析。A區(qū)地層相對(duì)平緩，發(fā)育NW向展布的裂縫帶，構(gòu)造規(guī)模普遍較小。目的層為須四上亞段(頂界面為TT3-4頂)，發(fā)育辮狀河三角洲前緣水下分流河道，巖性主要為細(xì)粒、中粒碎屑砂巖?？紫抖葹?.2～4.6%，滲透率為0.005～0.050mD，屬典型的致密砂巖儲(chǔ)層。目的層埋藏深度約4550m，地震時(shí)間深度約2400ms，屬深層—超深層。研究區(qū)氣層受巖性與裂縫聯(lián)合控制，儲(chǔ)層類型為裂縫—孔隙型，伽馬測(cè)井曲線可用于區(qū)分巖性。W173井獲高產(chǎn)工業(yè)氣流。本文所用地震資料橫向CDP共603道，道間距為25m；縱向時(shí)間為0～4000ms，采樣間隔為1ms。

記錄地震波振幅數(shù)據(jù)的角道集有效角度范圍為0°～26°，缺失26°以上大角度地震數(shù)據(jù)(圖7)，因此不具備開(kāi)展三參數(shù)疊前反演的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。本區(qū)采用YP近似反演方法進(jìn)行楊氏模量、泊松比反演。

圖7 疊前角道集地震數(shù)據(jù)

根據(jù)測(cè)井資料中縱波速度與密度曲線進(jìn)行冪指數(shù)擬合，得到擬合曲線圖(圖8)，參數(shù)L=0.1202，修正了Gardner公式對(duì)砂泥巖的經(jīng)驗(yàn)參數(shù)。

充分考慮地層沉積模式和接觸關(guān)系，使用目標(biāo)層段的測(cè)井資料，構(gòu)建目標(biāo)層段的地質(zhì)模型，之后對(duì)模型層位進(jìn)行平滑，得到滿足反演需要的初始模型(圖9)。利用YP近似反演得到楊氏模量、泊松比反演數(shù)據(jù)。

過(guò)W173井的楊氏模量、泊松比反演剖面如圖10所示。含氣層為楊氏模量局域高值、泊松比局部低值，表征天然氣儲(chǔ)集巖層脆性較高，易于產(chǎn)生作為頁(yè)巖氣運(yùn)移通道的隨機(jī)裂縫，因此具有改造成為商業(yè)頁(yè)巖氣優(yōu)質(zhì)產(chǎn)區(qū)的有利條件。反演結(jié)果與實(shí)際勘探情況相吻合。

圖8 W173井縱波速度與密度擬合曲線圖

圖9 疊前反演低頻模型剖面

圖10 過(guò)井反演剖面

6 結(jié)論

本文針對(duì)優(yōu)質(zhì)頁(yè)巖氣儲(chǔ)層具有高楊氏模量、低泊松比的特點(diǎn)，以巖石物理分析為基礎(chǔ)，由Aki-Richard近似方程出發(fā)，推導(dǎo)了直接反演楊氏模量、泊松比的兩參數(shù)反射系數(shù)近似方程，進(jìn)而總結(jié)了一套適用于超深儲(chǔ)層、能夠直接反演巖石脆性參數(shù)的疊前反演方法。該方法考慮到Gardner經(jīng)驗(yàn)公式的不完備性，在替換密度項(xiàng)時(shí)引入?yún)?shù)可變公式，使密度的近似更加合理。模型反演結(jié)果能夠較好反映真實(shí)楊氏模量、泊松比的相對(duì)大小，為刻畫頁(yè)巖氣儲(chǔ)層甜點(diǎn)區(qū)提供了較為有效的途徑。需要指出的是，超深層儲(chǔ)層地震資料的品質(zhì)通常較低，對(duì)于反演結(jié)果的穩(wěn)定性與準(zhǔn)確度影響較大。未來(lái)在提高地震資料品質(zhì)的同時(shí)，應(yīng)嘗試引入多種數(shù)理方法改進(jìn)反演計(jì)算的穩(wěn)定性，以期獲得更好的反演效果。