基于三次多項(xiàng)式的蔡氏電路設(shè)計(jì)與硬件實(shí)現(xiàn)

呂恩勝

(河南應(yīng)用技術(shù)職業(yè)學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，河南 鄭州 450042)

從混沌科學(xué)與技術(shù)的發(fā)展歷史來看，自1963年洛倫茲首次提出混沌[1]觀念，到1980年林森第一次在電子電路中觀察到混沌現(xiàn)象[2]，歷時(shí)17年。三年后的1983年蔡少棠發(fā)明蔡氏混沌電路[3,4]，再到1992年Oppenheim、Kocarev提出混沌遮掩保密通信[5]，歷時(shí)9年，但是至今再無(wú)重大突破。受這樣的形勢(shì)局限，混沌電路科技工作者的研究重點(diǎn)之一是尋找更多的混沌電路系統(tǒng)，結(jié)果是發(fā)現(xiàn)了很多新系統(tǒng)，雖然數(shù)量較多但是沒有較大突破。因此，對(duì)于現(xiàn)有經(jīng)典混沌電路成果的系統(tǒng)深入研究尤為重要，是有意義的工作。

近年來一些學(xué)者對(duì)經(jīng)典蔡氏電路進(jìn)行研究，采用正弦函數(shù)[6]和分段線性函數(shù)[7]來代替蔡氏電路中的蔡氏二極管從中獲得雙渦卷和多渦卷電路，還有學(xué)者用諸如指數(shù)函數(shù)等一類更光滑的連續(xù)函數(shù)來產(chǎn)生蔡氏混沌電路，都取得了一些進(jìn)展。本文設(shè)計(jì)一種用三次多項(xiàng)式產(chǎn)生雙渦卷蔡氏混沌電路，是對(duì)蔡氏電路的有益豐富，也有助于研究蔡氏電路混沌動(dòng)力學(xué)特性。

1.典型蔡氏電路狀態(tài)方程

歸一化蔡氏電路方程[3,4]

其中f(x)是非線性部分，為

f(x)是典型蔡氏電路方程的非線性部分，物理實(shí)質(zhì)是非線性負(fù)電阻。通常，式(1)系數(shù)取如下值[3,4]：α=9，β=14+2/7，GA=-8/7，GB=-5/7。圖 1 所示為f(x)的五折段蔡氏二極管曲線，其中：-Eb、-Ea、Ea、Eb為轉(zhuǎn)折點(diǎn)。

2.三次多項(xiàng)式蔡氏電路設(shè)計(jì)及其混沌機(jī)理分析

2.1 三次多項(xiàng)式蔡氏電路設(shè)計(jì)

非線性部分f(x)即式(2)或(3)，用三次多項(xiàng)式代替，非線性項(xiàng)即為變量x的三次方，非線性項(xiàng)為

將式(4)帶入式(1)，合并同類項(xiàng)，除 x3為三次方非線性項(xiàng)，其余均為線性項(xiàng)，新的三次多項(xiàng)式蔡氏電路方程為

設(shè)式(4)中常數(shù) a，b取如下值：a=-1.25，b=0.1，圖2為三次多項(xiàng)式h(x)曲線圖。此外，取典型蔡氏電路方程參數(shù)α=9、β=14.3，系統(tǒng)可以產(chǎn)生混沌特性，式(5)方程可寫為

圖2 三次多項(xiàng)式h(x)曲線圖

2.2 三次多項(xiàng)式形式蔡氏電路平衡點(diǎn)及其特征指數(shù)

當(dāng) a=-1.25，b=0.1時(shí)，式(5)有三個(gè)平衡點(diǎn)，分別為 P0、P+、P-，由式(5)代數(shù)方程的解得，并將平衡點(diǎn)的坐標(biāo)有效值取到6位有效數(shù)字，即x=sqr(2.5)=1.58114，得

三個(gè)平衡點(diǎn)是與參數(shù)α、β無(wú)關(guān)的常量。

當(dāng) a=-1.25，b=0.1，式(5)的 Jacobi矩陣的特征值為

當(dāng) α=9，β=14.3，J 在 P0、P+、P-三個(gè)子空間中的Jacobi矩陣分別是：

計(jì)算時(shí)取 α=9，β=14.3，x=0 及 x=1.58114，得到上面3個(gè)平衡點(diǎn)中第1個(gè)平衡點(diǎn)J0的Jacobi矩陣特征值為：λ1=3.2922，λ2、3=-1.0211±2.9548i，第 2、3個(gè)平衡點(diǎn) J+、J-的 Jacobi矩陣特征值為：λ1=-5.7442,λ2、3=0.1221±3.3448i，根據(jù)混沌特性[8]可知在平衡點(diǎn)J0形成指標(biāo)1鞍焦點(diǎn)，該處演變成鍵帶，在平衡點(diǎn)J+、J-處形成指標(biāo) 2鞍焦點(diǎn)，該處演變成渦卷。

固定 β=14.3，改變?chǔ)林?，研究三次多?xiàng)式蔡氏電路的混沌演變過程，用matlab仿真式(5)，仿真時(shí)（x，y，z）初始值為（1，0，-1），時(shí)間設(shè)為 500步。觀察相圖時(shí)拋去前面的400步，改變?chǔ)林担^察到穩(wěn)定焦點(diǎn)、周期 1、周期 2、周期 4等，并進(jìn)入單渦卷混沌、雙渦卷混沌至單葉極限環(huán)。對(duì)應(yīng)的α值為表1所示，可以觀察三次多項(xiàng)式蔡氏電路的混沌演化經(jīng)歷：穩(wěn)定-周期-混沌-極限環(huán)，過程如圖3所示。

圖3 蔡氏電路通往混沌的道路

2.3 三次多項(xiàng)式形式蔡氏電路仿真

用simulink軟件仿真三次多項(xiàng)式蔡氏電路方程非線性部分的h(x)表達(dá)式，而不是非線性部分的f(x)表達(dá)式。圖4是用simulink建模的三次多項(xiàng)式蔡氏電路，圖中product為三次多項(xiàng)x3項(xiàng)，圖5是三次多項(xiàng)式蔡氏電路采用式(6)的參數(shù)，（x，y，z）初始值為（1，0，-1），仿真得到的 xy、x-z、y-z相圖。

圖4 三次方形式蔡氏電路系統(tǒng)仿真圖

圖5 三次方形式蔡氏電路系統(tǒng)仿真相圖

3.三次多項(xiàng)式蔡氏電路設(shè)計(jì)與試驗(yàn)結(jié)果

采用文獻(xiàn)[8、9]提出的模塊電路設(shè)計(jì)混沌電路原理，式(6)中除x3為非線性項(xiàng)，在圖6中利用兩個(gè)乘法器級(jí)聯(lián)實(shí)現(xiàn)，即虛線框的三次方項(xiàng)，其余個(gè)項(xiàng)為線性項(xiàng)，利用反相積分器、反相加法器和反相器模塊電路，對(duì)照式(6)各狀態(tài)各變量的關(guān)系，將各模塊電路聯(lián)結(jié)起來即構(gòu)成圖6所示的三次多項(xiàng)式蔡氏混沌電路。

圖6 三次方形式蔡氏電路原理相圖

電路分析：集成運(yùn)放A1輸出端是x，則集成運(yùn)放A2輸出端是y，集成運(yùn)放A3輸出端是z，電阻R9左端是x3，集成運(yùn)放A4輸出端是-9y，集成運(yùn)放A5輸出端是-x，而集成運(yùn)放A6輸出端是-x-z，對(duì)照式(6)系數(shù)，調(diào)整 A1、A2、A3輸入端各電阻阻值與式(6)系數(shù)對(duì)應(yīng)，得知已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了三次多項(xiàng)式蔡氏電路的功能，示波器觀察的相圖如圖7所示。

圖7 三次方形式蔡氏電路硬件電路相圖

4.結(jié)論

本文針對(duì)蔡氏電路系統(tǒng)方程非線性項(xiàng)的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種三次方多項(xiàng)式代替非線性項(xiàng)。通過對(duì)三次方多項(xiàng)式蔡氏電路系統(tǒng)方程的特征分析，利用數(shù)學(xué)軟件simulink對(duì)系統(tǒng)模型進(jìn)行數(shù)值計(jì)算仿真，觀察到系統(tǒng)經(jīng)過 “穩(wěn)定-周期-混沌-極限環(huán)”的演變道路。通過觀察和分析上述混沌特性，并結(jié)合硬件電路實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證結(jié)果，證實(shí)本文提出三次多項(xiàng)式的蔡氏電路設(shè)計(jì)是有效的，是對(duì)蔡氏電路的有益豐富。