一類半線性橢圓型方程組正解的存在性

郭偉香，楊燕君，張亞靜

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 山西 太原 030006)

0 引言

我們研究以下半線性橢圓型方程組

(1)

近年來，很多人研究與問題(1)相關(guān)的方程和方程組[1-3].Alves等[4]考慮了以下方程組

(2)

其中Ω∈RN(N≥3)是帶有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域,而且a,b,c∈R,α,β>1,當(dāng)α+β=2*時(shí)，他們通過變分法證明了(2)正解的存在性.

Brown和Wu[5]考慮了如下有界區(qū)域上的非線性邊值問題

(3)

表明在參數(shù)(λ,μ)屬于R2的某個(gè)子集，f,g,h滿足某些條件時(shí),方程組(3)存在2個(gè)非負(fù)解.

張亞靜[6]研究了非齊次Neumann邊界問題

(4)

其中Ω∈RN(N≥5)是有界光滑區(qū)域,λ>0,μ>0為參數(shù)，α+β=2*.他證明了當(dāng)f,g滿足一定條件時(shí)，方程組(4)至少有2個(gè)解.

在全空間RN中Liu[7]研究了

(5)

其中α>1,β>1,α+β<2*.當(dāng)a(x)，b(x)滿足某些條件時(shí)，方程組(5)有無窮多個(gè)解.

在方程組(1)中當(dāng)u=v，h1=h2時(shí)，為單個(gè)方程情形，Cao和Zhou[8]已經(jīng)研究了

(6)

H1)

hi∈H-1(RN),hi>0,i=1,2;

定理1 設(shè)h1,h2滿足H1),H2),則問題(1)存在一個(gè)正解.

進(jìn)一步考慮如下方程組:

(7)

其中F∈C1(RN)滿足：

結(jié)合定理1以及上下解方法[16]證明了如下定理：

定理2 設(shè)F滿足H3)，h1,h2滿足H1),H2)時(shí)， 問題(7)存在一個(gè)正解.

1 Nehari流形

因J在H上無下界，故在Nehari流形Ν=((u,v)∈H(0,0)|〈J′(u,v),(u,v)〉=0)上考慮.

定義1Φ(u,v)=〈J′(u,v),(u,v)〉，則

則當(dāng)(u,v)∈N時(shí)，Φ′(u,v),(u,v)

(8)

現(xiàn)在，類似Tarantello[17]將N分成如下3個(gè)部分:

Ν+={(u,v)∈Ν|〈Φ′(u,v),(u,v)〉>0}，

Ν0={(u,v)∈Ν|〈Φ′(u,v),(u,v)〉=0}，

Ν-={(u,v)∈Ν|〈Φ′(u,v),(u,v)〉<0}.

為了證明定理1和定理2，先給出以下基本結(jié)論.

引理1 設(shè)h1,h2滿足H1),H2)，則對于每一個(gè)(u,v)∈X，有

(9)

引理2 設(shè)h1,h2滿足H1),H2)，有Ν0=0/.

證明用反證法.設(shè)Ν0≠0/，即存在(u,v)∈Ν0.下面分2種情況討論：

與假設(shè)H2)矛盾.綜上所述，可得Ν0=0/.

(10)

證明定義F:R×H→R，

因?yàn)镕(1,(0,0))=0，F(xiàn)t(1,(0,0))≠0，在點(diǎn)(1,(0,0))處應(yīng)用隱函數(shù)定理即證.

2 定理證明

證明首先，我們證明J在N上有下界.事實(shí)上，對于(u,v)∈Ν，有

則

由Ekeland變分原理[19],J(u,v)在N中存在極小化序列{(un,vn)}滿足

(11)

(12)

則當(dāng)n充分大時(shí),由(11)式可得

(13)

則有

(14)

因此,對n充分大時(shí),有un≠0或vn≠0.

由(13)和(14)式,可得

(15)

(16)

則從(12)式可得

由εn的選擇，以及(15)式, 可得

(17)

若證明了

(18)

其中C>0與ε和n無關(guān).取ε→0，則可得(16)式.

現(xiàn)在證明(18)式.事實(shí)上,由(10)式

由(15)式可知,要證明(18)式,只需證明對某個(gè)δ>0,對n充分大時(shí)，有

用反證法:設(shè)存在{(un,vn)}的一個(gè)子序列(仍記為{(un,vn)}),有

(19)

由(un,vn)∈Ν，對n充分大時(shí),可得

(20)

由H1),H2)可知，存在ε0>0，使得對n充分大時(shí)，

這與(20)式矛盾.因此,證明了(18)式.

由t(ω1,ω2)的連續(xù)性,以及t(0,0)=1，可以假設(shè)

證明定理1 由命題1,立即可以得到定理1的證明.