基于背景值及數(shù)字圖像相關(guān)方法的土樣剪切帶寬度測量

王學濱,董 偉,侯文騰,杜亞志

(1 遼寧工程技術(shù)大學 a計算力學研究所，b力學與工程學院，遼寧 阜新123000;2 中原工學院 建筑工程學院，河南 鄭州 450007)

剪切帶是材料變形、破壞過程中塑性應(yīng)變高度集中的狹窄區(qū)域。剪切帶的出現(xiàn)會降低材料的承載力，甚至會影響結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。因此，剪切帶的研究對于理解材料的漸進破壞過程具有重要意義[1-7]。剪切帶寬度是剪切帶的重要特征之一，其準確測量有利于正確揭示材料的漸進破壞過程。

數(shù)字圖像相關(guān)(digital image correlation,DIC)方法是20世紀80年代發(fā)展起來的一種光測力學方法，其通過處理變形過程中物體表面的散斑圖來獲得物體表面的位移場和應(yīng)變場。DIC方法具有計算精度高、非接觸、可測量全場變形等優(yōu)勢，在剪切帶研究中發(fā)揮了重要的作用[3-7]。

王學濱等[1]利用粒子群優(yōu)化與Newton-Raphson迭代的DIC方法獲得應(yīng)變場，并通過測量應(yīng)變梯度帶傾角及其在垂直方向上的長度，得到土在宏觀裂紋出現(xiàn)之前應(yīng)變局部化帶寬度為3～5 mm。Viggiani等[8]使用數(shù)字照相技術(shù)測得飽和松砂剪切帶寬度為平均粒徑的10～25倍，并指出剪切帶內(nèi)存在剪脹現(xiàn)象。Alshibli等[9]采用兩種技術(shù)測量了剪切帶寬度，一種為利用數(shù)字照相技術(shù)根據(jù)包裹在試樣表面的膜上扭曲的網(wǎng)格來計算剪切帶寬度，根據(jù)這種方法測得的剪切帶寬度為3.01 mm；另一種是對試樣進行切片，利用電子顯微鏡獲得孔隙比的分布規(guī)律，進而確定剪切帶寬度，測得在試樣軸向方向不同位置的剪切帶寬度為3.19和3.29 mm。Nübel[10]利用高斯擬合方法測量了剪切帶寬度，認為剪切帶內(nèi)應(yīng)變呈正態(tài)分布或高斯分布，剪切帶寬度為分布函數(shù)標準偏差的2倍。R?chter等[11]采用DIC方法，根據(jù)Nübel[10]提出的剪切帶寬度測量方法，測得平面應(yīng)變拉伸條件下干砂、高嶺土及水的不同組合材料的剪切帶寬度為平均粒徑的5～11倍。張東明等[12]采用激光散斑方法，根據(jù)局部化帶內(nèi)外條紋間距測得的砂巖和泥砂巖的剪切帶寬度分別為5和4 mm。Rechenmacher等[13]提出了考慮子區(qū)尺寸影響的剪切帶寬度計算公式，采用DIC方法測得的平面應(yīng)變壓縮條件下4種砂的剪切帶寬度為平均粒徑的6～9倍。

縱觀現(xiàn)有研究結(jié)果，有的研究人員采用的剪切帶寬度測量方法較為繁瑣，需要昂貴的設(shè)備，例如切片電鏡掃描法[9]；有的精度較低，例如數(shù)字照相技術(shù)[6,9]；有的對于1個試樣僅給出剪切帶寬度的1個值[1,12]。目前，對于剪切帶寬度的演變規(guī)律尚缺乏認識，亟需簡單、高效的測量方法。本研究根據(jù)仿射變換和梯度塑性理論[14-15]制作了水平虛擬剪切帶，檢驗了高斯擬合方法的剪切帶寬度測量精度，提出了測量剪切帶寬度的背景值方法，并測量了單軸壓縮條件下土的剪切帶寬度，旨在為剪切帶寬度的精確測量提供參考。

1 基于高斯擬合方法的虛擬剪切帶寬度測量

1.1 方法簡介

Nübel[10]提出的基于高斯擬合方法的剪切帶寬度測量方法的主要思想如下：首先，獲得剪切帶法向測線上的應(yīng)變；然后，對測線上的應(yīng)變進行高斯擬合；最后，根據(jù)擬合后得到的高斯函數(shù)的方差σ確定剪切寬度w，w=2σ。這種方法的核心是對剪切帶法向測線上的應(yīng)變進行高斯擬合，因此該方法被稱之為高斯擬合方法。

1.2 方法檢驗

為了了解高斯擬合方法的剪切帶寬度測量精度，以圖1-a為源圖像，根據(jù)仿射變換和梯度塑性理論[14-15]制作了水平虛擬剪切帶，即水平常應(yīng)變剪切帶(圖1-b)和水平含應(yīng)變梯度的剪切帶(圖1-c)。圖1-a圖像的尺寸為384像素×128像素，水平常應(yīng)變剪切帶的剪切應(yīng)變和水平含應(yīng)變梯度的剪切帶的平均剪切應(yīng)變均為0.2，剪切帶寬度均為30像素。

圖1 源圖像及變形后的圖像Fig.1 Original images and deformed images

采用二階DIC方法[15]分別計算圖1-a變形至圖1-b及圖1-c時測線(圖1-a)上的剪切應(yīng)變。子區(qū)尺寸為31像素×31像素，測點間距為2像素。獲得剪切帶法向測線上的剪切應(yīng)變并進行高斯擬合，得到的結(jié)果如圖2所示，圖2還給出了測線上的剪切應(yīng)變的理論值。應(yīng)當指出，本研究采用互相關(guān)函數(shù)作為相關(guān)系數(shù)的計算公式，該公式受散斑亮度、噪聲以及子區(qū)尺寸的影響較小，總體性能較好，相關(guān)系數(shù)越大代表相關(guān)性越好，當取最大值1時代表完全相關(guān)。

對于水平常應(yīng)變剪切帶，測得的寬度為31.84像素；對于水平含應(yīng)變梯度的剪切帶，測得的寬度為19.56像素。對于常應(yīng)變剪切帶，利用高斯擬合方法測得的剪切帶寬度接近于真實值，而對于含應(yīng)變梯度的剪切帶，測量值小于真實值，相對誤差高達35%。眾所周知，真實剪切帶是含有應(yīng)變梯度的。因此，對于真實剪切帶寬度測量，高斯擬合方法適用性很差。

圖2 利用高斯擬合方法測得的剪切帶寬度Fig.2 Measured shear band widths by the Gaussian fitting method

2 基于背景值方法的剪切帶寬度測量

眾所周知，在變形過程中，剪切帶內(nèi)是應(yīng)變較集中區(qū)域，應(yīng)變增加較快，而剪切帶外是應(yīng)變較均勻區(qū)域。因此，若能獲得帶外區(qū)域的應(yīng)變水平，則凡是應(yīng)變水平高于該水平的區(qū)域，即可定義為剪切帶。

3 土的剪切帶寬度測量及剪切帶寬度演變分析

3.1 試驗過程及土的剪切帶選擇

利用固結(jié)法[16]制作若干長方體土樣，在土樣的一個最大表面噴制散斑。在試驗機上進行土樣單軸壓縮試驗，同時采用數(shù)碼相機對包含散斑的土樣表面進行拍攝。表1給出了10個土樣的基本信息。圖3給出了各土樣的縱向應(yīng)力-縱向應(yīng)變(εa)曲線。

表1 土樣的基本信息Table 1 Basic information of clay specimens

圖3 土樣的縱向應(yīng)力-縱向應(yīng)變曲線Fig.3 Longitudinal stress-longitudinal strain curves of clay specimens

采用二階DIC方法[15]獲得土樣的應(yīng)變場，子區(qū)尺寸為31像素×31像素，測點間距為10像素。根據(jù)土樣出現(xiàn)微裂紋時γmax的分布選擇的剪切帶如圖4所示。此時，每個土樣中存在多條清晰的剪切帶，根據(jù)清晰剪切帶位置確定測量區(qū)域。每條剪切帶以土樣名、下劃線加數(shù)字的方式命名，例如，“2-1”代表#2土樣中的第1條剪切帶。圖4中各子圖左方和下方的數(shù)字是測點的行數(shù)和列數(shù)。

3.2 土的剪切帶寬度的測量

在選擇的清晰剪切帶兩側(cè)布置2個矩形框，利用這2個矩形框內(nèi)的γmax計算背景值，在這2個矩形框及二者之間的區(qū)域布置剪切帶的法向測線。以#8土樣為例，利用背景值方法來測量剪切帶寬度，矩形框的布置如圖5-(a)所示，從點o至點p的方向為測線方向，測線op上的點的位置用坐標s表示。圖5-(b)給出了縱向應(yīng)變εa=0.174時利用高斯擬合方法和背景值方法測得的剪切帶寬度。由圖5-(b)可以發(fā)現(xiàn)，利用高斯擬合方法測得的剪切帶寬度w1為19.5像素，而利用背景值方法測得的剪切帶寬度w2為42.3像素(1像素約為0.09 mm)，后者約為前者的2倍。利用高斯擬合方法確定的剪切帶邊界處的γmax為剪切帶內(nèi)γmax峰值的一半。顯然，利用高斯擬合方法會低估剪切帶寬度，而利用背景值方法測得的剪切帶寬度較為可信。

圖4 根據(jù)γmax分布選擇的10個土樣的剪切帶Fig.4 Selected shear bands according to distribution of maximum shear strains of 10 clay specimens

考慮到真實剪切帶寬度會隨著位置及εa的變化而變化，僅通過布置1條測線難以準確測得剪切帶寬度。仍以#8土樣為例，如圖6所示，通過布置3條測線來測量剪切帶寬度。其中，3條測線的切向坐標用s′表示，法向坐標用s″表示，測線2的1個端點o′為s′軸和s″軸的交點，測線1和2、2和3的距離均為40像素。

圖5 基于高斯擬合和背景值方法的#8土樣中的剪切帶寬度的測量Fig.5 Measured widths of shear bands in #8 clay specimen by Gaussian fitting method and background value method

圖6 #8土樣不同測線上的剪切帶寬度Fig.6 Measured widths of shear bands on different monitored lines in #8 clay specimen for different longitudinal strains

圖6給出了利用背景值方法測得的3條測線上的剪切帶寬度。由圖6可以發(fā)現(xiàn)，對于不同測線，剪切帶寬度隨著εa的演變規(guī)律有所不同。對于測線1(即①)，當εa=0.045～0.116時，測線上的γmax均有所增加，且剪切帶中心附近(測線中部)γmax增加較快，剪切帶寬度逐漸增加；當εa=0.140時，測線上的γmax出現(xiàn)了雙峰，剪切帶寬度較εa=0.116時?。划敠臿=0.162時，測線上的γmax雙峰變?yōu)閱畏澹羟袔挾容^εa=0.140時大。對于測線2(即②)，隨著εa的增加，剪切帶中心附近的γmax增加得較快，剪切帶寬度有減小趨勢。對于測線3，當εa=0.069～0.162 時，測線上的γmax增加得均較快，剪切帶寬度基本不變。

上述結(jié)果表明，當測線位置不同時，測得的剪切帶寬度有一定差異。因此，為了準確獲得剪切帶寬度，應(yīng)布置多條法向測線，并對測得的不同位置的剪切帶寬度取平均值。

3.3 不同縱向應(yīng)變時的剪切帶寬度

圖7給出了圖4中27條剪切帶寬度隨εa的演變規(guī)律。由圖7可以發(fā)現(xiàn)，剪切帶寬度與εa之間的關(guān)系可分為4種：第1種，隨著εa的增加，剪切帶寬度基本不變(圖7-a)；第2種，隨著εa的增加，剪切帶寬度呈減小趨勢(圖7-b)；第3種，隨著εa的增加，剪切帶寬度呈增加趨勢(圖7-c)；第4種，隨著εa的增加，剪切帶寬度變化不確定(圖7-d)。相比之下，第3、4種所占的比例較大。

圖7 基于背景值方法的單軸壓縮條件下土剪切帶寬度變化Fig.7 Evolution of measured widths of shear bands in clay in uniaxial compression by the background value method

由圖7還可以發(fā)現(xiàn)，27條剪切帶寬度為15～38像素(1.35～3.42 mm)，寬度變化量最大的剪切帶為2-1，變化量為13像素(1.17 mm)；寬度變化量最小的剪切帶為24-2，變化量為1像素(0.09 mm)。

一直以來，人們認為剪切帶寬度僅依賴于材料的內(nèi)部長度[17-18]，是一個定值，這是基于梯度塑性理論的認識。大量試驗結(jié)果表明，剪切帶寬度與平均粒徑有關(guān)[19-23]，但受諸多因素影響。有關(guān)的理論分析表明，剪脹會引起剪切帶寬度的增加[24]。除了剪切帶之間的相互影響之外，剪切帶寬度的變化主要取決于剪脹與剪縮的博弈。目前研究表明，剪脹的機理主要包括以下幾個方面[6,25-26]：裂隙的擴張效應(yīng)超過閉合效應(yīng)；在應(yīng)力作用下顆粒間相互位置發(fā)生變化，增加了顆粒間的空隙；滑動塊體在凹凸表面上抬升。對于本研究中土的剪切帶而言，前兩個方面是主要的，尤其是第二方面。第二方面可以解釋圖7-c中的現(xiàn)象；當顆粒間的空隙減小時，則可以解釋7-b中的現(xiàn)象。若剪脹與剪縮達到了某種平衡，則可以解釋圖7-a中的現(xiàn)象；若剪脹間歇性占優(yōu)，則將出現(xiàn)圖7-d中的現(xiàn)象。

4 結(jié) 論

根據(jù)仿射變換和梯度塑性理論制作了水平虛擬剪切帶，檢驗了高斯擬合方法的剪切帶寬度測量精度，提出了測量剪切帶寬度的背景值方法，并測量了單軸壓縮條件下土的剪切帶寬度。主要得到如下結(jié)論：

(1)利用高斯擬合方法能準確測量常應(yīng)變剪切帶寬度，而不能準確測量含應(yīng)變梯度的剪切帶和真實剪切帶寬度。

(2)利用背景值方法測得的剪切帶寬度較為可信。

(3)隨著縱向應(yīng)變的增加，剪切帶寬度的演變主要有增加、減小、基本不變及不確定4種變化趨勢，剪切帶寬度為15～38像素(1.35～3.42 mm)。