高考數(shù)學(xué)試題研究的幾種視角

（江蘇省漣水中學(xué) 江蘇淮安 223400）

一、研究試題的重要性

古人認(rèn)為“書讀百遍，其義自見”，才有今人的“題海戰(zhàn)術(shù)”，這樣造成我們一些同學(xué)在做一些比較新穎的題型時，感覺特別生疏，無從下手，這樣的弊端正好暴露了我們學(xué)習(xí)的短板。我們經(jīng)常會羨慕一些同學(xué)，他平時學(xué)習(xí)跟大家一樣，該玩的時候玩，該學(xué)習(xí)的時候?qū)W習(xí)，但是一到考試時就考得特別好，有些下了很大功夫的學(xué)生反而成績不怎么樣，我就是這樣的學(xué)生，有時我就在想，要是我也有跟他們一樣的腦子，該多好！后來發(fā)現(xiàn)自己錯了，大家都是“上帝咬過一口的蘋果”，只要不是天生的愚笨，大家都是一樣的，只是人家在學(xué)習(xí)的過程中是用心在學(xué)習(xí)，而我只是在完成一種任務(wù)，給自己強(qiáng)加了冗余的“砝碼”，導(dǎo)致付出與收獲不平衡。我開始去向?qū)W習(xí)好的同學(xué)取經(jīng)，發(fā)現(xiàn)他們題做得不多，但是他們做得精，經(jīng)常反思，不斷研究試題，不光有了深度，還有了廣度。從中領(lǐng)會了出題人的意圖，直切試題實質(zhì)，從而發(fā)揮試題功能的最大化，對于學(xué)習(xí)有了事半功倍的效果。[1]

二、研究試題的視角

針對不同的題型，我們都要有應(yīng)對的“法門”，平時我們就要養(yǎng)成勤思勤問的學(xué)習(xí)態(tài)度，學(xué)會用“火眼金睛”去觀察，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，以“變”對“萬變”，把知識運(yùn)用“活”了，才能受益終生。我根據(jù)自己平時關(guān)于學(xué)習(xí)數(shù)列總結(jié)下來的經(jīng)驗，以此為例，談?wù)勱P(guān)于我們在解這類試題時該養(yǎng)成怎樣的視角去研究。[2]

題目1：已知等比數(shù)列{an}的公比為q，記bn＝am（n－1）＋1＋am（n－1）＋2＋…＋am（n－1）＋m，cn＝am（n－1）＋1·am（n－1）＋2·…·am（n－1）＋m（m，n∈N*），則以下結(jié)論一定正確的是（ ）

A．?dāng)?shù)列{bn}為等差數(shù)列，公差為qm

B．?dāng)?shù)列{bn}為等比數(shù)列，公比為q2m

C．?dāng)?shù)列{cn}為等比數(shù)列，公比為qm2

D．?dāng)?shù)列{cn}為等比數(shù)列，公比為qmm

視角1 研究試題的立意

立意就是要知道出題人考查這道題需要涉及哪些知識點，哪些思想方法，要運(yùn)用到哪些解題技能，來考察同學(xué)們的解題能力，以達(dá)到檢測學(xué)生學(xué)習(xí)情況的目的。而針對本題，設(shè)計的考點是：①等比關(guān)系的確定；②等差關(guān)系的確定。只有熟練掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、通項公式及其前n項和公式才是解題的關(guān)鍵。

視角2研究試題的解法

“條條大路通羅馬”，只要我們的思路對，高考試題基本都可以一題多解，這樣寬口徑地考察同學(xué)，就需要我們在平時做題的時候，多積累解題方法，遇到這類題型腦海中就需要有一定的方式方法。既會有樸實自然的通法，又會有簡捷的巧法，這既能培養(yǎng)我們的學(xué)習(xí)興趣，又能培養(yǎng)我們思維的發(fā)散性、靈活性和深刻性，還能培養(yǎng)我們的數(shù)學(xué)探究意識，為我們的終身學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

n＋1nn公比為q，利用等比數(shù)列的通項公式可得

得出即可判斷出C，D兩個選項．

視角3 研究解題的思想方法

每種題型都需要研究它的解題思想方法，這樣我們在做題時才能廣開思路，比如我們在解決三角函數(shù)這類題型，經(jīng)常會用到數(shù)形集合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想，三角函數(shù)是根據(jù)圖像而建立的數(shù)學(xué)語言，所以我們在對任意角的三角函數(shù)研究都可以借助單位圓來進(jìn)行轉(zhuǎn)換。而對有關(guān)等比數(shù)列問題時，可用到下列的幾種常見思想方法：

（1）方程的思想。等比數(shù)列中有五個量a1、n、q、an、Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程（組）求關(guān)鍵量a1和q，問題迎刃而解。

單調(diào)性：當(dāng)或時，{an}是遞增數(shù)列；

當(dāng)或時，{an}是遞減數(shù)列；

當(dāng)q＝1時，{an}為常數(shù)列；

當(dāng)q＜0時，{an}為擺動數(shù)列．

（3） 分類思想。當(dāng)q＝1時，{an}的前n項和Sn＝na1；當(dāng)q≠1時，{an}的前n項和Sn＝＝.等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論，此處是常考易錯點。

視角4 研究試題的變式

對于教學(xué)大綱中的知識點，出題中都會涉及到，而數(shù)學(xué)進(jìn)行了這么多年的考試，為什么我們在刷題的過程中，難做到一模一樣的原題呢？就在于它的多變性，所以研究試題的變式，可以發(fā)散我們的思維，不管試題怎樣進(jìn)行重組、引申、拓展，我們都可以找到它們發(fā)展的規(guī)律，讓我們在不變中應(yīng)萬變。數(shù)學(xué)的魅力在于“變”，有“變”才有“用”，有“變”才能“活”。

通過對本題拓展研究，我們可以找到許多變式，下面給出一種常見的變式：

數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝（n＋1）an＋n（n＋1），n∈N*.

（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；

（2）設(shè)bn＝3n·，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.

本題考查利用等差數(shù)列的定義證明數(shù)列是等差數(shù)列；考查數(shù)列求和的方法：錯位相減法。數(shù)列求和的關(guān)鍵是求出通項并選擇合適方法，（1）將nan＋1＝（n＋1）an＋n（n＋1）的兩邊同時除以n（n＋1）得＝＋1，由等差數(shù)列的定義得證。（2）由（1）求出bn＝3n· ＝n·3n，利用錯位相減求出數(shù)列{bn}的前n項和Sn.

在高考中，經(jīng)常以解答題形式綜合考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本知識和基本方法，不管它怎樣變化，我們只要把通用公式和數(shù)學(xué)方法記住，遇到此類題目我們都可以根據(jù)母題的發(fā)散思維去解題。