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    “定積分存在的條件”問題情境教學(xué)設(shè)計
    ——從Riemann函數(shù)看Riemann積分

    2019-01-18 05:41:36
    關(guān)鍵詞:原函數(shù)有界區(qū)間

    (湖南城市學(xué)院理學(xué)院 湖南益陽 413000)

    一、內(nèi)容分析

    定積分是理解《數(shù)學(xué)分析》積分理論的基石,教材[1]先闡述了達布和的定義和性質(zhì),在此基礎(chǔ)上證明了定積分存在的第一和第二充要條件。我在教學(xué)中利用定積分存在的兩個充要條件歸納總結(jié)了Riemann函數(shù)的一些性質(zhì),在此基礎(chǔ)上精心創(chuàng)設(shè)具有探究性、開放性的問題情境,讓學(xué)生產(chǎn)生必要的認知沖突,有效調(diào)動學(xué)生積極思維,主動參與認知的發(fā)現(xiàn)過程,引導(dǎo)學(xué)生不斷提出問題,澄清了一些錯誤理解,證明了R可積函數(shù)類的一些深刻性質(zhì),為學(xué)生學(xué)習(xí)廣義積分、重積分、復(fù)積分和實分析打下了基礎(chǔ)。

    二、教學(xué)設(shè)計

    1.利用復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)作好鋪墊。

    從宏觀上分析定積分存在的第一和第二充要條件的內(nèi)在聯(lián)系,闡述第一充要條件與第二充要條件的應(yīng)用方法,為Riemann函數(shù)R可積的證明作準備。

    復(fù)習(xí):

    幾個記號:

    分劃:

    (1)復(fù)述定積分存在的兩個充要條件。

    推論1 有界函數(shù)f(x)在[a,b]上R可積的充分必要條件是:對?ε>0,存在分劃Δ,

    定理2(定積分存在的第二充分必要條件)有界函數(shù)f(x)在[a,b]上R可積的充分必要條件是:對任意給定的兩個正數(shù)ε>0及σ>0,可找到δ>0,使得當任一分法滿足λ(Δ)<δ時,對應(yīng)于振幅ωi'≥ε的那些區(qū)間Δxi'的長度之和∑Δxi'<σ。

    推論2 有界函數(shù)f(x)在[a,b]上R可積i'的充分必要條件是:對任意給定的兩個正數(shù)ε>0及σ>0,存在一分法Δ,對應(yīng)于振幅ωi'≥ε的那些區(qū)間Δxi'的長度之和Δxi'<σ。

    (2)這兩個充要條件之間有何內(nèi)在聯(lián)系?

    (3)如何應(yīng)用這兩個充要條件討論函數(shù)的可積性?

    證明所有ωi一致小于ε,如連續(xù)函數(shù)可積性的證明;

    推論3:若f(x)在[a,b]上連續(xù),則對?ε>0,總可在[a,b]上插入若干分點,使得f(x)在每個小區(qū)間上的幅度ωi<ε。

    證明n所有Δxi一致小于ε,如單調(diào)有界函數(shù)的可積性的證明;

    將∑i=1ωiΔxi分成兩部分,一部分ωi能一致小于ε,另一部分雖然ωi不能一致小于ε,但其區(qū)間長度的和能一致地小于σ,如只有有限個不連續(xù)點的有界函數(shù)的可積性的證明。

    推論4:若f(x)在[a,b]上R可積,且積分值為I,又f?(x)是f(x)在有限個點改變函數(shù)值后得到的函數(shù),則f?(x)在[a,b]上也R可積,且積分值仍為I。

    2.改變教材的呈現(xiàn)方式,將命題分解為若干個前后呼應(yīng),環(huán)環(huán)相扣的小問題,把教材冰冷的美麗變?yōu)閷W(xué)生火熱的思考。

    例。定義Riemann函數(shù)

    證明:

    (1)對ε>0,在任意有限區(qū)間[a,b]上使f(x)≥ε的點x只有有限多個。

    (2)f(x)在任意一點的極限都為0。

    (3)f(x)在所有無理點處連續(xù),有理點處不連續(xù)。

    (4)f(x)在任意有限區(qū)間[a,b]上都R可積,且積分值為0。

    (5)f(x)沒有原函數(shù),從而R可積函數(shù)不一定有原函數(shù)。

    3.巧妙設(shè)問,層層深化,引導(dǎo)學(xué)生深入思考,領(lǐng)略積分世界的新天地。

    接上文,問:什么樣的函數(shù)會沒有原函數(shù)呢?

    (6)含有第一類間斷點的函數(shù)一定沒有原函數(shù)。問:知道了f(x)的原函數(shù)是F(x)之后,

    引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn):上式左邊積分不一定存在。這是因為

    (7)有原函數(shù)的函數(shù)不一定R可積。

    從而f(x)在含有0的區(qū)間[a,b]上無界,從而在[a,b]上不R可積。

    問:我們知道含有第一類間斷點的函數(shù)一定沒有原函數(shù),那么含有第二類間斷點的函數(shù)是不是也一定沒有原函數(shù)呢?

    引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn),由上例可知:

    (8)含有第二類間斷點的函數(shù)可以有原函數(shù)。

    引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn),此時不能套用牛頓-萊布尼茲公式,因為牛頓-萊布尼茲公式的條件是f(x)連續(xù),但是牛頓-萊布尼茲公式可以推廣為:

    (9)若f(x)有原函數(shù)F(x),且在[a,b]上R可積,

    問:什么樣的函數(shù)既有原函數(shù)又R可積呢?

    問:只有有限個間斷點的有界函數(shù)是R可積的,那么有無限個間斷點的有界函數(shù)R可積嗎?

    引導(dǎo)學(xué)生由Riemann函數(shù)和Dirichlet函數(shù)不難發(fā)現(xiàn):

    (11)在[a,b]上有無限個間斷點的有界函數(shù)可能R可積,也可能不R可積。

    問:在[a,b]上有無限個間斷點的有界函數(shù)在什么條件下會一定R可積呢?

    (12)若在[a,b]上的有界函數(shù)有無窮多個間斷點,但這無窮多個間斷點只有唯一的聚點,則該函數(shù)在[a,b]上R可積。

    問:若在[a,b]上的有界函數(shù)有無窮多個間斷點,但這無窮多個間斷點有有限個聚點,則該函數(shù)在[a,b]上R可積嗎?

    引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn),由積分的區(qū)間可加性可知:

    (13)若在[a,b]上的有界函數(shù)有無窮多個間斷點,但這無窮多個間斷點只有有限個聚點,則該函數(shù)在[a,b]上R可積。

    問:若在[a,b]上的有界函數(shù)有無窮多個間斷點,但這無窮多個間斷點有無窮個聚點,則該函數(shù)在[a,b]上R可積嗎?

    引導(dǎo)學(xué)生由Riemann函數(shù)和Dirichlet函數(shù)可知

    (14)若在[a,b]上的有界函數(shù)有無窮多個間斷點,但這無窮多個間斷點有無窮個聚點,則該函數(shù)在[a,b]上未必R可積。

    4.引導(dǎo)學(xué)生對以上有關(guān)結(jié)論給出嚴格證明。證明追求嚴謹,但不拒絕形象直觀。結(jié)合圖形闡述有關(guān)證明思路,從而使推理深入淺出。

    5.構(gòu)造具體實例,幫助學(xué)生理解上述相關(guān)結(jié)論。

    例 判斷下列函數(shù)在[0,1]上是否R可積。

    在引導(dǎo)學(xué)生思考“從間斷點的多少的角度看,在[a,b]上的有界函數(shù)R可積有何充要條件?”的問題時,可告訴學(xué)生:實變函數(shù)理論告訴我們

    6.適當拓展,激發(fā)學(xué)生的求知欲。

    設(shè)f(x)在[a,b]有界,則f(x)在[a,b]上R可積的充要條件是f(x)在[a,b]幾乎處處連續(xù),即f(x)在[a,b]的間斷點構(gòu)成零測度集,形象地說,其間斷點不“很多”。

    又如:Dirichlet函數(shù)在[a,b]上不R可積,但改變積分的定義方式,如在勒貝格積分的意義下它又是可積的,此時稱L可積。

    結(jié)語

    從Riemann函數(shù)的幾個常用結(jié)論出發(fā),精心設(shè)計了一系列環(huán)環(huán)相扣的問題情境,引導(dǎo)學(xué)生始終處于問題的探索與求真的過程中,證明與反例相結(jié)合,幫助學(xué)生厘清了一此似是而非的錯誤理解,將對定積分的理解上升到一個新的高度。更重要的是,學(xué)生在積極參與知識的探索過程中培養(yǎng)了發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的可貴的科學(xué)品質(zhì)和創(chuàng)新精神。

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