S-格上的同余關(guān)系

齊彩霞, 陽 城, 郭蘭坤*, 劉 麗,

(1. 湖南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 湖南 長沙 410006; 2. 湖南大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院, 湖南 長沙 410012)

格是一類兼有序和代數(shù)的重要結(jié)構(gòu),最早由德國數(shù)學(xué)家Dedekind和Schr?der分別從數(shù)論和邏輯代數(shù)2個(gè)角度提出,后來在美國數(shù)學(xué)家Birkhoff和挪威數(shù)學(xué)家Ore等的共同努力下,發(fā)展成為一門獨(dú)立的數(shù)學(xué)學(xué)科.隨著格論的發(fā)展,格與其它數(shù)學(xué)分支的聯(lián)系及應(yīng)用越來越緊密.例如著名的Stone對(duì)偶理論告訴我們,特殊的格結(jié)構(gòu)與特殊的拓?fù)淇臻g是對(duì)偶存在的[1];在Domain理論中,特殊的Domain結(jié)構(gòu)可以借助一些內(nèi)蘊(yùn)拓?fù)?如Scott拓?fù)浜蚅awson拓?fù)?得到等價(jià)刻畫[2];在形式概念分析理論中,一些特殊的格結(jié)構(gòu)[3-4],如代數(shù)格,與特殊的關(guān)系結(jié)構(gòu)之間存在范疇等價(jià)的關(guān)系[5].

同余關(guān)系是一類特殊的等價(jià)關(guān)系,有著非常廣泛的應(yīng)用,例如任意分配的雙代數(shù)格序同構(gòu)于同余格[6].另外,在抽象代數(shù)及數(shù)論當(dāng)中同余關(guān)系的應(yīng)用更加廣泛[7].在一般格中,格上同余有許多良好的性質(zhì)[8-10]，例如同余格在包含序下是分配的完備格.本文借鑒S-偏序集[11-15]的相關(guān)結(jié)果,在格上引入幺半群結(jié)構(gòu),提出S-格.注意到S-格可以看作格的一種推廣方式,本文的主要目的是將格上的同余理論推廣到S-格上.

1 幺半群與格上同余

定義1.1[16]設(shè)S是1個(gè)集合,·是S上的1個(gè)二元運(yùn)算.若滿足:

1)S是1個(gè)半群,即·運(yùn)算是封閉和可結(jié)合的;

2) 存在e∈S,使得e·s=s且s·e=s對(duì)任意的s∈S都成立,則稱(S,·)為1個(gè)幺半群.

為了方便,對(duì)任意s,t∈S,經(jīng)常將s·t簡記為st.

設(shè)(A,≤)是1個(gè)偏序集,若A的任意2個(gè)元的上下確界都存在,則稱(A,≤)是1個(gè)格.此時(shí),對(duì)任意a,a′∈A,用a∨a′(分別地,a∧a′)表示a和a′的上確界(分別地，a和a′的下確界).設(shè)(A,≤A)和(A′,≤A′)是2個(gè)格,f:A→A′是1個(gè)映射.若對(duì)任意的a1,a2∈A,f(a1∨a2)=f(a1)∨f(a2)且f(a1∧a2)=f(a1)∧f(a2),則稱f為1個(gè)格同態(tài).涉及到多個(gè)偏序集時(shí),在不產(chǎn)生混淆的前提下,經(jīng)常省略≤A中的底標(biāo)A.

設(shè)(A,≤)是1個(gè)格,θ?A×A是A上的1個(gè)等價(jià)關(guān)系,若θ滿足:對(duì)任意的a,b,c∈A,(a,b)∈θ可推得(a∨c,b∨c)∈θ且(a∧c,b∧c)∈θ,則稱θ為(A,≤)上的1個(gè)格同余.為了論述方便,經(jīng)常將(a,b)∈θ簡記為aθb.

2 S-格同余與偽同余

定義2.1設(shè)(S,·)是1個(gè)幺半群,(A，≤)是1個(gè)格.若存在1個(gè)映射λ:A×S→A滿足:

1) 對(duì)任意a∈A,λ(a,e)=a;

2) 對(duì)任意的a∈A以及s,t∈S,λ(a,st)=λ(λ(as),t),

下文稱A(省略λ)是1個(gè)S-格,而且,為了表述上的方便，將λ(a,s)簡記為as.對(duì)于a∈A以及s,t∈S，讀者可以通過上下文區(qū)別as與st.

定義2.2設(shè)A是1個(gè)S-格,ρ是對(duì)應(yīng)的格(A,≤)上的1個(gè)格同余.如果ρ和S作用是兼容的,即對(duì)于任意a,b∈A以及s∈S,(a,b)∈ρ可推出(as,bs)∈ρ,則稱ρ是A上的1個(gè)S-格同余.

定義2.3設(shè)A和B是2個(gè)S-格,f:A→B是1個(gè)映射.若f是1個(gè)格同態(tài),且f保S作用,即對(duì)任意的a∈A,f(as)=f(a)s,則稱f是1個(gè)S-格同態(tài).

定義2.4設(shè)A是1個(gè)S-格,σ是集合A上的1個(gè)二元關(guān)系.如果滿足：

1) ≤?σ,

2)σ°σ?σ,

3)σ和S作用是兼容的,

4)σ和A上的“∨”、“∧”運(yùn)算兼容，

則稱σ為S-格A上的1個(gè)偽同余關(guān)系.

性質(zhì)2.1設(shè)ρ是S-格A上的1個(gè)S-格同余,則A/ρ也是1個(gè)S-格,稱之為ρ誘導(dǎo)的S-商格,其中，A/ρ上的S作用為

[x]ρs:=[xs]ρ,

定理2.1設(shè)A是1個(gè)S-格,σ?A×A.如果σ是A上的1個(gè)偽同余,則有ρ=σ∩σ-1是A上的1個(gè)S-格同余,且ρ誘導(dǎo)的S-商格上的偏序(記為≤ρ)可完全由σ按如下方式?jīng)Q定:

≤ρ={([a]ρ,[a′]ρ)|(a,a′)∈σ}.

證明不難驗(yàn)證ρ是A上的1個(gè)等價(jià)關(guān)系.

設(shè)a,a′,b∈A且(a,a′)∈ρ,則有(a,a′)∈σ且(a′,a)∈σ.因?yàn)棣液虯上的“∨”、“∧”運(yùn)算兼容,所以,(a∧b,a′∧b)∈σ且(a′∧b,a∧b)∈σ.于是,(a∨b,a′∨b)∈ρ且(a∧b,a′∧b)∈ρ,因此,ρ是A上的1個(gè)格同余關(guān)系.另一方面,設(shè)(a,a′)∈ρ.由ρ的構(gòu)造得(a,a′)∈σ且(a′,a)∈σ.因?yàn)棣液蚐-作用兼容,所以,對(duì)任意的s∈S,有(as,a′s)∈σ且(a′s,as)∈σ,即(as,a′s)∈ρ,于是ρ是A上的1個(gè)S-格同余.

定理2.2設(shè)A是1個(gè)S-格,σ?A×A,則σ是A上的1個(gè)偽同余,當(dāng)且僅當(dāng)存在S-格C和S-格同態(tài)φ:A→C使得

? 按定義2.4的條件逐條驗(yàn)證即可.

定理2.3設(shè)A是1個(gè)S-格,ρ是格(A,≤)上的1個(gè)格同余,則以下命題等價(jià):1)ρ是1個(gè)S-格同余;2) 存在A上的1個(gè)偽同余σ,使得ρ=σ∩σ-1;3) 存在S-格C和S-格同態(tài)φ:A→C,使得ρ=kerφ.

3 S-格上的同態(tài)定理

定理3.1設(shè)A和C是S-格,φ:A→C是1個(gè)S-格同態(tài).

圖 1

對(duì)任意的a∈A以及s∈S,有f([a]ρs)=f([as]ρ)=φ(as)=φ(a)s=f([a]ρ)s,說明f是保S-作用的,是1個(gè)S-格同態(tài),而等式φ=f°ρ#是很容易驗(yàn)證的.另外,設(shè)g是1個(gè)從A/ρ到C的S-格同態(tài),且滿足g°ρ#=φ,則對(duì)任意的a∈A,g([a]ρ)=g°ρ#(a)=φ(a)=f°ρ#(a)=f([a]ρ),因此,f=g,證明了f的唯一性.

推論3.1設(shè)A和C是S-格,φ:A→C是1個(gè)S-格同態(tài).則有ran(φ)={φ(a)|a∈A}繼承S-格C上的偏序結(jié)構(gòu)和S-作用,仍然是1個(gè)S-格,而且,在S-格同態(tài)的意義下,A/kerφ與ran(φ)是同構(gòu)的.

4 S-分配格上的S-格同余

定理4.1定義A上的二元關(guān)系θ如下:對(duì)任意a,a′∈A,有

則θ是A上包含α的最小S-格同余.

證明不難驗(yàn)證θ是A上的S-格同余.下證θ是A上包含α最小的S-格同余.

由于α?η,因此

于是,[a′]η≤[a]η且[a]η≤[a′]η,由此可得[a]η=[a′]η,即aηa′,因此,θ?η.

定義4.2設(shè)A是S-分配格,H是A上的二元關(guān)系.定義A上的二元關(guān)系α(H):對(duì)任意a,a′∈A,aα(H)a′當(dāng)且僅當(dāng)a=a′或者

a=(x1s1∨b1)∧c1,(y1s1∨b1)∧c1=

(x2s2∨b2)∧c2,…,(ynsn∨bn)∧cn=a′,

其中,(xi,yi)∈H,bi,ci∈A,si∈S.

定義4.3設(shè)A是S-分配格,H是A上的二元關(guān)系.定義A上的二元關(guān)系ν(H)如下:對(duì)任意a,a′∈A,有

不難驗(yàn)證α(H)是自反的、可傳遞的和保S-作用的,且與A上的“∨”和“∧”兼容.由定理4.1可得ν(H)是A上的S-格同余.

定理4.2設(shè)A是S-分配格,H是A上的二元關(guān)系,則S-商格A/ν(H)是分配的,并且對(duì)任意的a,a′∈A,有

[a]ν(H)≤ν(H)[a′]ν(H)?a≤α(H)a′.

又由a∧a′≤a′,有

由于α(H)對(duì)A上的“∨”、“∧”運(yùn)算兼容,所以

[a]ν(H)∧[a′]ν(H)=[a]ν(H),

意味著

[a]ν(H)≤ν(H)[a′]ν(H).

對(duì)任意的a,b,c∈A,

([a]ν(H)∧[b]ν(H))∨[c]ν(H)=

[a∧b]ν(H)∨[c]ν(H)=

[(a∧b)∨c]ν(H)=

[(a∨c)∧(b∨c)]ν(H)=

([a]ν(H)∨[c]ν(H))∧([b]ν(H)∨[c]ν(H)),

因此,A/ν(H)也是1個(gè)S-分配格.

定理4.3設(shè)A是S-分配格,H是A上的二元關(guān)系,則ν(H∪H-1)是A上包含H最小的S-格同余.

證明記θ(H)=ν(H∪H-1),設(shè)(a,a′)∈H,那么(a,a′)∈H∪H-1.由于a=(ae∨0)∧1,(a′e∨0)∧1=a′,因此

aα(H∪H-1)a′,a≤α(H∪H-1)a′.

設(shè)η是A上1個(gè)包含H的S-格同余.對(duì)任意a,a′∈A,aθ(H)a′,有

其中,aα(H∪H-1)a′當(dāng)且僅當(dāng)

a=(x1s1∨b1)∧c1,(y1s1∨b1)∧c1=

(x2s2∨b2)∧c2,…,(ynsn∨bn)∧cn=

a′,(xi,yi)∈H∪H-1,bi,ci∈A,si∈S.

由于H?η,并且η是A上S-格同余,因此H∪H-1?η,所以[a]η=[a′]η,即aηa′.于是θ(H)?η.由此可得θ(H)是A上包含H最小的S-格同余.

例4.1設(shè)集合S={e,a},S上的運(yùn)算“·”如圖2.

圖 2

不難驗(yàn)證(S,·)是1個(gè)幺半群.

偏序集(A,≤)的序?yàn)閳D3.不難驗(yàn)證(A,≤)是1個(gè)分配格.定義映射λ:A×S→A有圖4.

圖 3

圖 4

不難驗(yàn)證A是1個(gè)S-分配格.令H={(0,0)}?A×A,那么H∪H-1=H,α(H∪H-1)={(0,0),(2,2),(3,3),(1,1)},θ(H)={(0,0),(2,2),(3,3),(1,1)}.