數(shù)學(xué)抽象重在探究發(fā)現(xiàn)
——以“兩平面垂直”為例

吳 彤

(江蘇省鹽城市教育局教科院 224000)

1 現(xiàn)象分析

在高三一輪復(fù)習(xí)中，經(jīng)常遇到這樣一類現(xiàn)象：在復(fù)習(xí)到某章某節(jié)內(nèi)容時(shí)，教師讓學(xué)生回顧思考一些重要的定義、定理，很多學(xué)生都不知所措，即使教師再啟發(fā)其成因或提醒相關(guān)關(guān)鍵詞，也無(wú)濟(jì)于事，必須要教師道出其詳細(xì)內(nèi)容，再分析講解才行.如復(fù)習(xí)到“面面垂直的判定定理”時(shí)，學(xué)生無(wú)法表述定理內(nèi)容，這時(shí)教師啟發(fā)學(xué)生，門不管旋轉(zhuǎn)到什么位置，它總與地面垂直，可以從這個(gè)現(xiàn)象中反饋定理，還是沒有效果.非要教師繼續(xù)幫助分析，不管門怎么旋轉(zhuǎn)，它總是繞門軸旋轉(zhuǎn)，而門軸始終與地面垂直，即使如此，還是有學(xué)生不能說(shuō)出定理內(nèi)容.

為什么會(huì)出現(xiàn)如此現(xiàn)象呢？?jī)H僅歸咎于從新授課到一輪復(fù)習(xí)之間的時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，學(xué)生遺忘嚴(yán)重，這說(shuō)不通！其實(shí)，關(guān)鍵原因是知識(shí)生成出了問(wèn)題，學(xué)生的理解不夠深刻！他們頭腦中定義、定理的建立，是教師硬塞給學(xué)生的，以致長(zhǎng)期不運(yùn)用而忘記.也許有教師會(huì)說(shuō)，我們沒有填鴨式教學(xué)，我們是通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生逐步發(fā)現(xiàn)這些定義和定理的.如果是這樣，那我們就要反思我們的引導(dǎo)是不是真正的探究生成？比如過(guò)度引導(dǎo)，引導(dǎo)問(wèn)題過(guò)細(xì)以致學(xué)生順利歸納，其實(shí)不是學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律并建立相關(guān)定義和定理的，理解不夠深刻，經(jīng)不住時(shí)間的考驗(yàn).

2 教法探討

之前的課改理念提出“以學(xué)生發(fā)展為本”，強(qiáng)調(diào)“學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)”，倡導(dǎo)“探究發(fā)現(xiàn)教學(xué)”；當(dāng)前課程標(biāo)準(zhǔn)又提出學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)，數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，要重視培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力.所謂數(shù)學(xué)抽象，即抽取出同類數(shù)學(xué)對(duì)象中共同的、本質(zhì)的屬性或特征，舍棄其他非本質(zhì)的屬性或特征的思維過(guò)程(百度百科釋義).數(shù)學(xué)定義是對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象中數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的反映；數(shù)學(xué)定理則是一類數(shù)學(xué)對(duì)象有應(yīng)用價(jià)值的共性結(jié)論. 因此，數(shù)學(xué)定義、定理的形成是一個(gè)數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程，而這個(gè)抽象過(guò)程的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)，這需要教師合理設(shè)計(jì)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生探究，發(fā)現(xiàn)有關(guān)對(duì)象的本質(zhì)屬性，然后抽象出相關(guān)定義、定理.針對(duì)以上分析，筆者對(duì)“兩平面垂直”的相關(guān)定義、定理進(jìn)行了梳理，形成以下教學(xué)思路：

(1)探究載體源自生活.實(shí)際生活中隨處可見“面面垂直”的現(xiàn)象，學(xué)生坐在教室里，視線就離不開“面面垂直”，應(yīng)從身邊現(xiàn)象抽象出“面面垂直”的定義、定理，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性和魅力；

(2)強(qiáng)化探究思路的分析.一節(jié)課就是一個(gè)微課題，研究方向要明確，這里的研究方向與教學(xué)目標(biāo)有點(diǎn)相似，但需要教師與學(xué)生共同分析，得出合理的探究目標(biāo)，而不是學(xué)生必須遵循教師的要求去學(xué)習(xí)；

(3)要遵循課程理念和課程標(biāo)準(zhǔn)的要求.定義、定理的抽象，必須是建立在探究的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)內(nèi)涵而后抽象形成.問(wèn)題的設(shè)計(jì)，不能過(guò)度引導(dǎo)，預(yù)設(shè)指向性很強(qiáng)的問(wèn)題，那不是探究問(wèn)題，那是邏輯思考解決問(wèn)題，不是真發(fā)現(xiàn).探究問(wèn)題要有“寬”度， 要讓學(xué)生想開去，培養(yǎng)他們的發(fā)散思維能力，那樣的發(fā)現(xiàn)才是自主發(fā)現(xiàn)，由此抽象出的結(jié)論，學(xué)生才能經(jīng)久不忘！

3 教學(xué)設(shè)計(jì)

通過(guò)上文教學(xué)思路剖析，筆者重新設(shè)計(jì)了“兩平面垂直”的教學(xué)流程，本文將呈現(xiàn)其教學(xué)探究過(guò)程，供讀者教學(xué)研討.

3.1 理順探究思路

問(wèn)題1前兩節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了兩平面平行的相關(guān)定義、定理以及應(yīng)用，本節(jié)課將與同學(xué)們探討兩平面垂直的相關(guān)問(wèn)題，為此，需要理順本節(jié)課的研究思路.請(qǐng)同學(xué)們回顧，我們研究?jī)善矫嫫叫械倪^(guò)程？并思考，能否以此思路探究?jī)善矫娲怪钡南嚓P(guān)問(wèn)題？

一般課堂導(dǎo)入都是創(chuàng)設(shè)情境，引出本節(jié)課需要研究的問(wèn)題，但筆者卻開門見山，直接指出本節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.事實(shí)上，學(xué)生前面已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)直線與平面平行和垂直，之后又學(xué)習(xí)了兩平面平行，他們自然想到要學(xué)習(xí)兩平面垂直，創(chuàng)設(shè)情境意義不大.在溫故知新的處理上，筆者沒有機(jī)械地讓學(xué)生回顧相關(guān)定義、定理，而是通過(guò)回顧學(xué)習(xí)過(guò)程，理順知識(shí)體系，明確本節(jié)課的探究過(guò)程(即教學(xué)目標(biāo)).通過(guò)問(wèn)題1，要讓學(xué)生反饋出兩個(gè)平面平行的學(xué)習(xí)過(guò)程：從實(shí)際生活問(wèn)題出發(fā)，構(gòu)建兩平面平行的定義，然后探究?jī)善矫嫫叫械呐卸ǘɡ恚贇w納兩平面平行的性質(zhì)定理，最后運(yùn)用這些定理解決實(shí)際問(wèn)題.如此，只要學(xué)生順著這個(gè)思路探究?jī)善矫娲怪钡南嚓P(guān)問(wèn)題即可.

3.2 探究構(gòu)建定義

問(wèn)題2我們已經(jīng)明確了探討兩平面垂直的思路，首先需要從實(shí)際生活中找到兩平面垂直的模型，然后抽象出兩平面垂直的定義.當(dāng)然，僅僅找到兩平面垂直的模型，還很難抽象出定義，還需要找到兩個(gè)平面不垂直的模型，通過(guò)觀察比較更容易抽象出兩平面垂直的定義.接下來(lái)，請(qǐng)同學(xué)們尋找模型，并觀察思考兩平面垂直與不垂直的一些特征？

本著不過(guò)度引導(dǎo)的原則，問(wèn)題中不提及實(shí)際模型，讓學(xué)生自主尋找模型，其實(shí)，學(xué)生很容易找到兩平面垂直的模型，如教室四側(cè)的墻面與地面垂直等.當(dāng)然，只從兩平面垂直的模型中，學(xué)生很難抽象出兩平面垂直的定義，考慮到課堂時(shí)間關(guān)系，問(wèn)題要求學(xué)生再尋找兩個(gè)平面不垂直的模型，這樣更容易發(fā)現(xiàn)兩平面垂直的特征.通過(guò)繼續(xù)尋找，可以發(fā)現(xiàn)：開門和關(guān)門的過(guò)程中，門所在的平面與墻面不垂直；翻書的過(guò)程中，書的兩邊所在的兩個(gè)半平面有一個(gè)特殊位置垂直，其他位置則不垂直.

問(wèn)題3請(qǐng)同學(xué)們反復(fù)觀察翻書的過(guò)程，不同的狀態(tài)有不同的特征，能不能發(fā)現(xiàn)垂直與不垂直的差異？能不能從數(shù)學(xué)的角度刻畫這個(gè)差異？

顯然，完全讓學(xué)生抽象出兩平面垂直的定義幾乎不可能，必須引導(dǎo)，問(wèn)題3是繼續(xù)引導(dǎo)的過(guò)程，讓學(xué)生觀察翻書的過(guò)程，思考能不能找到一個(gè)數(shù)學(xué)量，以此反應(yīng)翻書過(guò)程的變化.如此，學(xué)生能感受到，翻書的過(guò)程體現(xiàn)了兩個(gè)半平面形成的一個(gè)角度的變化，兩個(gè)半平面垂直時(shí)，好像有直角的體現(xiàn).所以，問(wèn)題3的思考，是定義抽象的重要一環(huán)，有這個(gè)數(shù)學(xué)量“角”，刻畫兩個(gè)半平面的位置關(guān)系就容易了.

問(wèn)題4翻書的過(guò)程是兩個(gè)半平面位置關(guān)系的變化過(guò)程，給我們的感受是角的變化，當(dāng)兩個(gè)半平面垂直時(shí)，直角的感覺也比較明顯.那么，對(duì)于兩個(gè)相交的半平面，我們能不能找到這個(gè)角，以此來(lái)刻畫兩個(gè)半平面的位置關(guān)系？

學(xué)生不一定能直接得到課本上二面角的平面角的定義，但一定有學(xué)生能通過(guò)自己的描述指出這個(gè)角.比如，用一個(gè)平面截這兩個(gè)相交的半平面，如果這個(gè)截面與兩個(gè)半平面的交線垂直，那么所截得的角就可以作為兩個(gè)半平面形成的角，即二面角的平面角.事實(shí)上，這個(gè)角的兩邊與兩個(gè)半平面的交線垂直，很容易轉(zhuǎn)化為課本上的定義.至此，再與學(xué)生明確兩個(gè)相交半平面的有關(guān)概念(半平面、二面角、二面角的棱、二面角的面)以及寫法，就可以定義二面角的平面角：以二面角棱上的任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線組成的角即為二面角的平面角.這時(shí)，可用課件動(dòng)態(tài)展示二面角的一個(gè)面繞棱旋轉(zhuǎn)的過(guò)程(圖中已作出二面角的平面角)，讓學(xué)生體驗(yàn)二面角的平面角隨之對(duì)應(yīng)變化的狀態(tài).最后，再讓學(xué)生給出兩個(gè)平面互相垂直的定義就不難了，只要兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，這兩個(gè)平面就互相垂直.

3.3 判定定理的探究

問(wèn)題5我們已經(jīng)得到兩平面垂直的定義.接下來(lái)，需要研究?jī)善矫娲怪钡呐卸ǚ椒?，到底有哪些方法能判定兩平面垂直?/p>

問(wèn)題5屬于過(guò)渡性問(wèn)題，讓學(xué)生理解一下知識(shí)間的關(guān)聯(lián)，可以用兩平面垂直的定義判斷兩平面垂直，但實(shí)際運(yùn)用有些麻煩.還有沒有別的方法？類似兩平面平行，學(xué)生容易想到可能還有判定定理，可用判定兩平面垂直.

問(wèn)題6通過(guò)分析，同學(xué)們估計(jì)也有兩平面垂直的判定定理.確實(shí)有，那么，我們能不能發(fā)現(xiàn)這個(gè)判定定理呢？也就是說(shuō)，我們要能夠發(fā)現(xiàn)：如果兩個(gè)平面符合一些特定的條件，那么這兩個(gè)平面就一定垂直.這些特定的條件不很復(fù)雜，用于判斷兩個(gè)平面是否垂直簡(jiǎn)便易行，我們可以把它歸納為判定定理.如何發(fā)現(xiàn)這樣的定理呢？我們還需要再觀察研究?jī)蓚€(gè)平面垂直的實(shí)際案例，看看能不能有所發(fā)現(xiàn)？

問(wèn)題中不涉及具體的案例，讓學(xué)生自己去找，身邊也就這么幾個(gè)面面垂直的案例，哪些案例中的兩個(gè)平面符合一些特定的條件而始終垂直？只要給足學(xué)生時(shí)間，他們一定能夠發(fā)現(xiàn)(而且不要讓部分先發(fā)現(xiàn)的同學(xué)回答，要等到絕大部分同學(xué)都想到再公布這個(gè)案例)：門不管旋轉(zhuǎn)到什么位置，它總與地面垂直.這時(shí)教師再提出，能不能由這個(gè)案例抽象出一個(gè)有價(jià)值的判定定理呢？雖然學(xué)生找到了判定定理的生活原型，但要從中抽象出定理絕非易事！還有個(gè)過(guò)程，需要教師繼續(xù)引導(dǎo).首先，要與學(xué)生明確抽象程序：先要將生活原型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖形；然后利用圖形，要將我們關(guān)注的特定條件和結(jié)論抽象成數(shù)學(xué)語(yǔ)言；最后再用文字語(yǔ)言表達(dá)判定定理.如此，還需要給足時(shí)間，讓學(xué)生逐步完成.

圖1

3.4 性質(zhì)定理的發(fā)現(xiàn)

問(wèn)題7得到判定定理后，還要探討性質(zhì)定理.為得到性質(zhì)定理，請(qǐng)同學(xué)們先思考一下判定定理與性質(zhì)定理之間的關(guān)系.

如果在前面的章節(jié)中，已經(jīng)思考過(guò)該問(wèn)題，那么學(xué)生能很快回答問(wèn)題7.如果第一次思考該問(wèn)題，則要多花點(diǎn)時(shí)間.面面垂直的判定定理，就是通過(guò)兩個(gè)平面滿足一些特定的條件推斷出兩個(gè)平面垂直.因此，立體幾何中的判定定理，就是由一些特定的條件判斷線面位置關(guān)系的一些真命題；而性質(zhì)定理，則是根據(jù)已知的線面位置關(guān)系，得出我們能夠運(yùn)用的一些結(jié)論.所以，面面垂直的性質(zhì)定理，就是由兩個(gè)平面垂直，得到一個(gè)有價(jià)值的結(jié)論的真命題.其實(shí)，判定定理與性質(zhì)定理有點(diǎn)逆命題的意味，學(xué)生有了這樣的認(rèn)識(shí)之后，他們?cè)偬剿餍再|(zhì)定理，就有了方向，可以將判定定理反過(guò)來(lái)考慮，然后再結(jié)合生活案例，就能夠歸納面面垂直的性質(zhì)定理.

問(wèn)題8我們已經(jīng)理清了判定定理與性質(zhì)定理的關(guān)系，能不能由此探討面面垂直的性質(zhì)定理呢？

有了問(wèn)題7的鋪墊，學(xué)生容易探討性質(zhì)定理.由兩個(gè)平面垂直探尋結(jié)論，在判定定理中，有條件“其中一個(gè)平面內(nèi)有一條直線垂直于另個(gè)一平面”，可能要近似轉(zhuǎn)換為性質(zhì)定理的結(jié)論.學(xué)生通過(guò)畫圖或觀察生活模型，不難發(fā)現(xiàn)結(jié)論：這條直線仍是其中一個(gè)平面的直線，若它垂直兩個(gè)平面的交線，則就垂直于另一個(gè)平面.最后，要求學(xué)生反饋定理的圖形、數(shù)學(xué)語(yǔ)言、定理內(nèi)容，教師板書準(zhǔn)確內(nèi)容與學(xué)生對(duì)比，或投影個(gè)別學(xué)生的內(nèi)容進(jìn)行解讀(其教學(xué)過(guò)程與歸納判定定理相仿).

4 教學(xué)反思

筆者通過(guò)“兩平面垂直”這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，整理了幾點(diǎn)心得，與讀者交流.

(1)深化探究，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的提升.數(shù)學(xué)抽象是新課標(biāo)提出的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，這種抽取本質(zhì)屬性而舍棄非本質(zhì)屬性的抽象思維，確是一種重要的數(shù)學(xué)思維能力，理應(yīng)成為我們今后數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要的著力點(diǎn).就如本文所探討的定義、定理的生成教學(xué)，它其實(shí)就是一個(gè)數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程，我們也應(yīng)注意到，數(shù)學(xué)抽象是一個(gè)很難的思維過(guò)程，從哪些數(shù)學(xué)對(duì)象中尋找本質(zhì)屬性？怎樣才能發(fā)現(xiàn)本質(zhì)屬性？這是教師引導(dǎo)學(xué)生深化探究的過(guò)程、引導(dǎo)學(xué)生逐步發(fā)現(xiàn)的過(guò)程、引導(dǎo)學(xué)生歸納的過(guò)程.

(2)把握引導(dǎo)的“度”.通過(guò)問(wèn)題的設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生思考，是課堂教學(xué)的主旋律.評(píng)價(jià)一節(jié)課，很多教師往往看上課教師的問(wèn)題數(shù)量、看學(xué)生的活動(dòng)、看課堂氣氛.其實(shí)，還要看問(wèn)題的質(zhì)量、以及問(wèn)題的提出能不能促進(jìn)學(xué)生的思考.筆者認(rèn)為，課堂氣氛熱烈未必就好！說(shuō)不定是問(wèn)題過(guò)碎，學(xué)生易于回答.這種現(xiàn)象，筆者稱之為引導(dǎo)過(guò)度，學(xué)生的思維量其實(shí)很小，某種程度上講，適度的課堂冷場(chǎng)是必要的.當(dāng)然，若我們所提出的問(wèn)題，讓學(xué)生無(wú)從思考而致冷場(chǎng)，也不合理.因此，問(wèn)題引導(dǎo)要把握好“度”.首先，提出的問(wèn)題要有含金量、有思考價(jià)值；其次，問(wèn)題要能引起學(xué)生思考，要讓學(xué)生經(jīng)過(guò)一定時(shí)間的思考才能回答，起到鍛煉學(xué)生思維能力的作用.

(3)立體幾何的教學(xué)要多從實(shí)際生活出發(fā).現(xiàn)在的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生普遍感到困難，嚴(yán)重脫離實(shí)際生活，考試的應(yīng)用題，學(xué)生感到恐懼，復(fù)雜的題意理解和大量數(shù)學(xué)運(yùn)算，并沒有真正讓數(shù)學(xué)走進(jìn)生活，沒有讓學(xué)生感到生活中充滿豐富多彩的數(shù)學(xué).因此，讓數(shù)學(xué)教學(xué)貼近生活，仍是我們需要關(guān)注的一個(gè)重要課題.立體幾何中的線面關(guān)系，實(shí)際生活中普遍存在，若能充分利用這些素材教學(xué)，從中抽象歸納出定義、定理，讓數(shù)學(xué)走進(jìn)生活、讓學(xué)生經(jīng)久不忘，這比運(yùn)用任何先進(jìn)的教育技術(shù)都更有意義.