淺談化圓為方問題的“前世今生”

吳建軍 劉晶

摘 要：本文主要介紹了古希臘三大幾何難題之化圓為方問題從提出到徹底解決的全過程。全文以化圓為方問題的歷史發(fā)展為線索，追蹤了古希臘數(shù)學(xué)家對(duì)該問題的探討和研究，在深刻刻畫尺規(guī)作圖等價(jià)條件的基礎(chǔ)上，指出了化圓為方問題的本質(zhì)，并最終利用π的超越性，完全否定了“化圓為方”作圖的可能性。

關(guān)鍵詞：化圓為方;尺規(guī)作圖;可構(gòu)作數(shù);π的超越性

中圖分類號(hào)：G427 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)：2095-624X（2019）32-0005-03

引 ? ?言

古希臘的科學(xué)成就燦爛而系統(tǒng)，對(duì)世界數(shù)學(xué)的發(fā)展影響巨大。它繁榮于公元前后各約600年的千年時(shí)段內(nèi)，除早期之外，還可分為兩個(gè)時(shí)期：雅典時(shí)期和亞歷山大時(shí)期。著名的希臘三大難題之一化圓為方問題，就是在公元前5世紀(jì)由智人學(xué)派（sophist）提出的[1]。這一數(shù)學(xué)難題引起古希臘人和以后2000多年無數(shù)人的努力，極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。到19世紀(jì)，這一難題直接催生出群、域等代數(shù)理論，伽羅瓦（Evariste Galois）理論，代數(shù)數(shù)和超越數(shù)理論，引發(fā)了嶄新的現(xiàn)代數(shù)學(xué)的誕生。

一、尺規(guī)作圖和化圓為方問題簡(jiǎn)介

直尺（straightedge）和圓規(guī)（compasses）是古希臘平面幾何作圖的工具，稱為歐幾里得工具（Euclidean tools）。古希臘人對(duì)它們的使用方法是有規(guī)定的，不能隨意使用。直尺的使用方法是：過平面上給定的兩點(diǎn)作一條直線。圓規(guī)的使用方法是：以給定的點(diǎn)為圓心，過另一給定的點(diǎn)作圓。特別要注意的是：①直尺是沒有刻度的，也不可在直尺上做記號(hào);②不允許利用直尺和圓規(guī)作其他的圖形;③不允許利用直尺和圓規(guī)制造出新的工具[2]。

尺規(guī)作圖（也稱歐幾里得作圖）就是在已經(jīng)給定的一些初等圖形（點(diǎn)、直線、圓）的基礎(chǔ)上，利用直尺和圓規(guī)，在有限步驟之內(nèi)，作出新的圖形。

化圓為方（the Squaring the Circle）即任意給定一個(gè)圓，要求用直尺和圓規(guī)構(gòu)作出一個(gè)正方形，使其面積等于該圓的面積。這個(gè)問題也可敘述為：任給線段長(zhǎng)r（圓的半徑），要求用直尺和圓規(guī)作出線段長(zhǎng)x，使x2=πr2，其中π是圓周率。

二、化圓為方問題的早期探索

1.希波克拉底（Hippocrates）的“化月牙為方”法

于是，利用可構(gòu)作數(shù)的定義，定理2可表述為：x是基于a1，a2，...，as的可構(gòu)作數(shù)的充要條件是，可由1，a1，a2，...，as經(jīng)有限多次的加減乘除和開平方運(yùn)算得到。

基于以上定理，我們?cè)賮碚劵瘓A為方問題?；瘓A為方就是用尺規(guī)構(gòu)作，歸結(jié)為構(gòu)作π，即要求π是可構(gòu)作數(shù)。

結(jié) ? ?語

基于“圓周率π是超越數(shù)（1882年由德國(guó)數(shù)學(xué)家林德曼證明）”這一事實(shí)，我們知道π為“不可構(gòu)作數(shù)”，從而知化圓為方尺規(guī)作圖不可能，完全否定了“化圓為方”作圖的可能性，由此，經(jīng)過2000多年無數(shù)數(shù)學(xué)家的努力，“化圓為方問題”得到了徹底的解決。解決這一難題的歷史進(jìn)程極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，直接催生出許多數(shù)學(xué)理論，促進(jìn)了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的誕生。

[參考文獻(xiàn)]

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基金項(xiàng)目：本文系省級(jí)課題“基于核心素養(yǎng)理念下的數(shù)學(xué)史知識(shí)在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的運(yùn)用研究”（課題編號(hào)：GS〔2017〕MSZX141）的研究成果。

作者簡(jiǎn)介：吳建軍（1987.1—），男，甘肅武威人，理學(xué)碩士，一級(jí)教師，研究方向：高中教育教學(xué)。

劉晶（1987.7—），女，甘肅蘭州人，文學(xué)碩士，二級(jí)教師，研究方向：高中教育教學(xué)。