平和中見(jiàn)關(guān)懷，沉穩(wěn)中顯活力，自然中現(xiàn)宗旨

☉浙江省寧波市鄞州實(shí)驗(yàn)中學(xué) 蔡衛(wèi)兵

壓軸題一般注重考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力，往往難度偏大一點(diǎn)，能夠使基本功扎實(shí)且思維靈活的考生脫穎而出.然而，目前不少中考試卷中的壓軸題難度太大，有的方法單一且奇特，有的運(yùn)算超難，有的分類討論超繁等，這些壓軸題顯然壓住了考生，只有極少數(shù)超優(yōu)生能夠完成，其實(shí)它的區(qū)分度很小，打“和牌”現(xiàn)象嚴(yán)重，不利于為高中階段學(xué)校招生提供客觀、公正的依據(jù).

一、試題及其解答

（1）求直線l的函數(shù)表達(dá)式和tan∠BAO的值.

（2）如圖2，連接CE，當(dāng)CE=EF時(shí)，

①求證：△OCE △OEA；

②求點(diǎn)E的坐標(biāo).

（3）當(dāng)點(diǎn)C在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求OE·EF的最大值.

圖1

圖2

圖3

圖4

第（2）問(wèn)第①小題的證法：

證法1：如圖3，連接AF.

因?yàn)镃E=EF，所以∠CAE=∠EAF.

因?yàn)锳C=AE=AF，所以∠ACE=∠AEF.

所以∠OCE=∠OEA.

又因?yàn)椤螩OE=∠EOA，所以△OCE △OEA.

證法2：如圖4，連接FD.

因?yàn)镃E=EF，所以∠CAE=∠CDF.

又因?yàn)椤螼EC=∠CDF，所以∠OEC=∠CAE.

又因?yàn)椤螩OE=∠EOA，所以△OCE △OEA.

第（2）問(wèn)第②小題的解法：

解法1：如圖5，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H.

則25x2-32x+16=4（4-5x），解得，x2=0（不合題意，舍去），則點(diǎn)

解法2：同上得AE=AC=5x，OC=4-5x，CH=x，CE=x.

圖5

圖6

第（3）問(wèn)的解法：

解法1：如圖6，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥OF于點(diǎn)N.

由OM⊥AB，AN⊥OF，得∠OME=∠ANE=90°，EN=

解法2：如圖7，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M，連接FN.

由EN為直徑，得∠EFN=90°.

由于∠OME=∠EFN=90°，∠OEM=∠NEF，則△OME △NFE，則

圖7

圖8

解法3：如圖8，連接AF，以O(shè)圓心、OE為半徑的圓弧交AB于異于點(diǎn)E的G點(diǎn)，作OM⊥AB于點(diǎn)M，則EG=2EM.

解法4：如圖9，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥OA于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥OF于點(diǎn)N.

圖9

則OE·ON=OM·OA.

二、特色解讀

1.平和中見(jiàn)關(guān)懷

本題表述簡(jiǎn)潔，嘗試在直角坐標(biāo)系中加載圓、直角三角形、等腰三角形、相似三角形等元素，涉及的知識(shí)有一次函數(shù)、銳角三角函數(shù)、圓的基本性質(zhì)、勾股定理等核心知識(shí)，并融合運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)下的函數(shù)思想、方程思想、整體思想、從特殊到一般、轉(zhuǎn)化思想等重要思想方法，將重要的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)和數(shù)學(xué)思維體現(xiàn)得淋漓盡致，但動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑簡(jiǎn)單——只在線段OA上，無(wú)折線運(yùn)動(dòng)；運(yùn)動(dòng)速度單一，無(wú)速度變化；運(yùn)動(dòng)范圍明確，滿足0＜AC＜；動(dòng)點(diǎn)引起動(dòng)圓半徑變化，動(dòng)圓導(dǎo)致交點(diǎn)變化，關(guān)聯(lián)明顯清晰，無(wú)論是問(wèn)題背景的呈現(xiàn)還是問(wèn)題解決的任務(wù)，都是熟悉的素材.放低起點(diǎn)、減緩坡度、增加層次，給考生帶來(lái)希望，不至于望而卻步，有助于學(xué)生自我潛能的挖掘，使不同水平的考生達(dá)到不同的高度，有利于實(shí)現(xiàn)“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的評(píng)價(jià)目標(biāo).

2.沉穩(wěn)中顯活力

在以點(diǎn)A為圓心、AC長(zhǎng)為半徑作⊙A的分析中，最簡(jiǎn)單、最重要、最基本但又具有特定性質(zhì)：同圓的半徑都相等.在△OCE △OEA的求證分析中，主要是相似三角形中典型的共角共邊的母子形，發(fā)現(xiàn)隨著鏡面變化的主動(dòng)點(diǎn)C和從動(dòng)點(diǎn)E的變化，在變化過(guò)程中有不變的關(guān)系∠COE=∠EOA.在CE=EF的特殊條件的分析中，聯(lián)想到“等弧所對(duì)的圓心角相等，圓周角相等，同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半等有利于解題的信息.結(jié)合問(wèn)題條件和目標(biāo)，借助等角的補(bǔ)角相等探索出∠OCE=∠OEA或利用圓外接四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角探索出∠OEC=∠CAE.在不增加條件下求點(diǎn)E的坐標(biāo)，自然再現(xiàn)過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線和聯(lián)系第（1）問(wèn)中的銳角三角函數(shù)和第（2）問(wèn)第①小題中的相似三角形，由此發(fā)展符號(hào)意識(shí)，用字母表示相關(guān)的線段，接著可通過(guò)勾股定理列方程，也可利用相似三角形的性質(zhì)和同一線段的不同表示尋找等量關(guān)系，自然、流暢、質(zhì)樸、和諧，關(guān)注過(guò)程方法，凸顯思維發(fā)展.

3.自然中現(xiàn)宗旨

函數(shù)是數(shù)學(xué)學(xué)科中最重要、最核心的概念.函數(shù)的本質(zhì)是兩個(gè)變量之間一種特殊的對(duì)應(yīng)關(guān)系.聯(lián)系和變化是其核心本質(zhì).第（3）問(wèn)求OE·EF的最大值，需要學(xué)生具備一定的幾何直觀、幾何推理能力、發(fā)現(xiàn)與探究能力、合情推理能力等.立意新穎，構(gòu)思巧妙，極富創(chuàng)意，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)涵和思想方法，能很好地反映出學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)基本功，體現(xiàn)試題的信度和效度.它的求解方法巧妙地避開(kāi)了通常求最值的問(wèn)題，轉(zhuǎn)為深入挖掘隱含的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而通過(guò)建立變量之間的函數(shù)關(guān)系求解，而這又何嘗不是求最值的通性通法？同時(shí)解題途徑寬，可作弦心距來(lái)處理與弦有關(guān)的問(wèn)題而構(gòu)造分別包含線段OE、EF的直角三角形相似；也可見(jiàn)直徑找直角來(lái)處理與弦有關(guān)的問(wèn)題而構(gòu)造分別包含線段OE、EF的直角三角形相似；也可連接圓上點(diǎn)與圓心而構(gòu)造分別包含線段OE、EF的等腰三角形相似；也可將前面已經(jīng)獲得的解題經(jīng)驗(yàn)和過(guò)程結(jié)論信息集中優(yōu)化分析而構(gòu)造A型相似，得到與主動(dòng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到不同位置時(shí)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)或動(dòng)圓半徑之間的一次函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而通過(guò)整體代入得到OE·EF與自變量x之間的二次函數(shù)關(guān)系，這樣兼顧不同水平考生，讓學(xué)生更多地關(guān)注基本圖形，挖掘其本質(zhì)特征，體會(huì)“變中有不變”，在能力立意的基礎(chǔ)上進(jìn)一步體現(xiàn)素養(yǎng)立意.

三、教學(xué)導(dǎo)向分析

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：數(shù)學(xué)課程內(nèi)容“不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過(guò)程和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法”.對(duì)于第（2）問(wèn)第①小題，以相似三角形和圓等核心知識(shí)交匯為背景，蘊(yùn)含了邏輯推理、直觀想象等素養(yǎng)的要求，第②小題滲透著聯(lián)系的觀點(diǎn)與方程思想，自然生成，順勢(shì)而為.從第（2）問(wèn)到第（3）問(wèn)，凸顯運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)與從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.第（3）問(wèn)線段之積的最值又蘊(yùn)含著函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想、整體思想，點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)范圍滿足引領(lǐng)著極端思想和分類討論思想的催生，點(diǎn)在線段OA上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，OE與⊙A相切，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)F在線段OE上，可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)試題的深層次思維.所以我們要善于在知識(shí)的交匯處，以基礎(chǔ)知識(shí)與基本結(jié)論為載體，關(guān)注學(xué)科本質(zhì)，注重通性通法，淡化特殊技巧，基于知識(shí)轉(zhuǎn)化，探求以題會(huì)類，循序漸進(jìn)地引領(lǐng)學(xué)生的思維能力發(fā)展，在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)提煉，用接地氣的語(yǔ)言概括，讓隱性的思想方法浮出水面.從本質(zhì)上講，會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界（數(shù)學(xué)抽象、直觀想象）、會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界（邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算）、會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界（數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析），是超越具體教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)，其中“四基”是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的有效載體.素養(yǎng)的形成，不能單純依賴教師的教，還需要學(xué)生參與其中的數(shù)學(xué)活動(dòng)；不能單純依賴記憶與模仿，還需要感悟與思考.因此，基于核心素養(yǎng)的教學(xué)，要求教師抓住知識(shí)的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生在掌握所學(xué)知識(shí)和技能的同時(shí)，感悟知識(shí)的本質(zhì)，積累思維和實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)，最終形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).