函數(shù)思想在高中數(shù)列中的滲透與應(yīng)用

江蘇省張家港高級中學(xué) 凌敏華

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程當(dāng)中，數(shù)列是非常重要的學(xué)習(xí)部分，也是高考中重點(diǎn)考查的部分，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，我們在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)重視起來，把函數(shù)思想滲透和運(yùn)用到高中數(shù)列的學(xué)習(xí)中，讓學(xué)生能夠更加清晰地理解函數(shù)思想和數(shù)列的關(guān)系，加深對數(shù)列的理解和掌握，解決數(shù)列學(xué)習(xí)中的困惑之處。我們需要了解函數(shù)思想的內(nèi)涵，通過分析函數(shù)思想在高中數(shù)列中的滲透和應(yīng)用舉例，來找出數(shù)列學(xué)習(xí)的方法，簡化數(shù)列解題的過程，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率。

一、函數(shù)思想的內(nèi)涵

函數(shù)思想是我們在長期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)探索中形成的一種解決數(shù)學(xué)問題的思維方式，它是非常重要的數(shù)學(xué)思想。函數(shù)思想是通過定量和變量之間的聯(lián)系、運(yùn)動(dòng)和變化的關(guān)系、集合與對應(yīng)的關(guān)系把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題利用簡單明確的函數(shù)關(guān)系數(shù)學(xué)模型來進(jìn)行研究，從而解決數(shù)學(xué)問題。在高中數(shù)列的學(xué)習(xí)中，我們也可以將函數(shù)思想應(yīng)用在解決數(shù)列的問題上，可以有效地提高解題效率。

二、函數(shù)思想在高中數(shù)列中的滲透

在高中數(shù)列的學(xué)習(xí)中，我們可以看到函數(shù)思想在高中數(shù)列中的滲透有很多方面，對于解決數(shù)列的問題，有很多規(guī)律可循。按照數(shù)列的基本規(guī)律可以包括為等差數(shù)列與等比數(shù)列兩類，函數(shù)思想在數(shù)列中的滲透主要體現(xiàn)在數(shù)列概念、等差數(shù)列問題的解決、數(shù)列通項(xiàng)的解析式、數(shù)列例題的解答中，而函數(shù)的一些基本性質(zhì)如單調(diào)性、周期性等也是解決數(shù)列問題的關(guān)鍵。對于數(shù)列的概念問題，教師和學(xué)生在解答數(shù)列問題的時(shí)候可以聯(lián)系到函數(shù)思想，可以有效地鍛煉學(xué)生的思維和解題能力，我們可以將數(shù)列通項(xiàng)公式看成是函數(shù)的解析式，這個(gè)函數(shù)是一種特殊的離散函數(shù)。對數(shù)列中問題的解答要探究好an，sn，n之間的關(guān)系，運(yùn)用函數(shù)思想來解決數(shù)列問題，學(xué)生在學(xué)習(xí)一些數(shù)列典型例題的時(shí)候也可以看到函數(shù)思想的滲透。等差數(shù)列的通項(xiàng)an可以寫成an=f（n）=an+b，當(dāng)a≠0的時(shí)候，是n的一次函數(shù)，點(diǎn)（n,an）是一次函數(shù)an=f（n）=an+b的圖像上的一些孤立的點(diǎn)。

例1：已知等差數(shù)列{an}中a3=5，a13=25，求它的通項(xiàng)公式an？

解：我們可以由已知的點(diǎn)（3,5），（13,5），n,an在同一直線上，所以可以得到：，所以可以求得通項(xiàng)公式an=2n-1。

三、函數(shù)思想在高中數(shù)列中的應(yīng)用

函數(shù)思想在高中數(shù)列中的應(yīng)用也是數(shù)列學(xué)習(xí)的主要部分，我們知道函數(shù)和數(shù)列有著密不可分的聯(lián)系，從數(shù)列對應(yīng)的角度來看，數(shù)列可以看成定義在正整數(shù)集或者其子集上的，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對應(yīng)的一系列函數(shù)值。函數(shù)在高中數(shù)列中的應(yīng)用，我們主要可以從函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖像等方面來研究，我們可以直接利用函數(shù)的值域求字母取值范圍、分離變量求字母的取值范圍、均值不等式求字母的取值范圍、運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性求最值、討論大小等，可以有效地提高解題效率和流程，將函數(shù)思想巧妙地應(yīng)用到高中數(shù)列的學(xué)習(xí)中去，讓學(xué)生做到對函數(shù)思想和數(shù)列知識的完美融合，也可以更好地學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)中的數(shù)列問題，學(xué)會用函數(shù)思想建立起數(shù)學(xué)知識間的聯(lián)系，從而加深學(xué)生對數(shù)列知識的理解和對數(shù)列題型的解答。

例2：已知an=n3+yn，數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，求y的取值范圍。

解析：因?yàn)閧an}為遞增數(shù)列，可以知道an+1-an＞0在n∈N＊中恒成立，所以我們可以推導(dǎo)出3n2+3n+y＞0對于一切n∈N＊恒成立，又可以得到y(tǒng)＞-3n2-3n-1對于一切n∈N＊恒成立，所以可以得到f（n）max=-3n2-3n-1，所以得到 y＞f（n）max。而我們知道 f（x）=3x2-3x-1在[1,+∞]上遞減，所以f（n）max=f（1）=-7，即y=-7。

通過在數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)踐和對數(shù)列題型的分析，我們了解到函數(shù)思想的內(nèi)涵，函數(shù)思想是非常重要的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，對采用函數(shù)思想解答數(shù)列問題進(jìn)行了說明，可以讓學(xué)生學(xué)好數(shù)列，學(xué)會解決數(shù)學(xué)中遇到的問題，做到舉一反三。探究到了數(shù)列學(xué)習(xí)的便捷方法，數(shù)列也是一種特殊的函數(shù)，將函數(shù)思想滲透和應(yīng)用在高中數(shù)列中，運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)列的聯(lián)系來學(xué)習(xí)和解決數(shù)學(xué)問題，能夠更好地理解高中數(shù)列知識，簡化數(shù)列解題流程，能夠有效地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯和思維，加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解和掌握。