數(shù)學(xué)科兩類情境化命題的要點(diǎn)芻議

華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 馮偉貞

一、新高考背景下兩類問題情境的界定

相對(duì)于傳統(tǒng)的能力導(dǎo)向教育而言,素養(yǎng)導(dǎo)向的教育致力于關(guān)注學(xué)生能夠在不同情境下綜合利用所學(xué)知識(shí)和技能處理復(fù)雜任務(wù).《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》[1]中對(duì)學(xué)科素養(yǎng)內(nèi)涵的界定以及水平劃分都一再強(qiáng)調(diào)問題情境的重要性.2019年6月30日中國教育新聞網(wǎng)發(fā)布教育部考試中心原創(chuàng)文章《2019年全國高考試題評(píng)析》[2],對(duì)2019年各科高考試題進(jìn)行了綱領(lǐng)性的歸納總結(jié),其中一個(gè)核心內(nèi)容是“發(fā)揮高考的選才功能和素質(zhì)教育導(dǎo)向作用”,“以學(xué)科素養(yǎng)為考查中心,彰顯價(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向的命題理念”.文章提煉了2019年高考命題中學(xué)科素養(yǎng)的三個(gè)維度—思維方法、學(xué)習(xí)掌握和實(shí)踐探索,并對(duì)三個(gè)維度進(jìn)行了重要的界定.

文[2]指出思維方法是指學(xué)習(xí)者在面對(duì)生活實(shí)踐或?qū)W習(xí)探索問題情境時(shí),能進(jìn)行獨(dú)立思考和探索創(chuàng)新的內(nèi)在認(rèn)知品質(zhì).學(xué)習(xí)掌握指的是學(xué)習(xí)者在面對(duì)生活實(shí)踐或?qū)W習(xí)探索問題情境時(shí)能進(jìn)行有效錄入、編碼、儲(chǔ)存各種形式信息的綜合品質(zhì).實(shí)踐探索指的是學(xué)習(xí)者在面對(duì)生活實(shí)踐或?qū)W習(xí)探索問題情境時(shí)能組織整合相應(yīng)的知識(shí)與能力、運(yùn)用各種技術(shù)方法、進(jìn)行各種操作活動(dòng)以解決問題的綜合品質(zhì).

問題情境是指針對(duì)某個(gè)有待完成的任務(wù),要由某個(gè)人或某群人加以聯(lián)結(jié)、整合的一組背景化信息.確定問題情境的構(gòu)成部分有兩個(gè):一方面是情境,它帶來的主要就是一個(gè)主體和一個(gè)背景;另一方面是問題,它主要通過一個(gè)障礙、一個(gè)有待完成的任務(wù)、一些要聯(lián)結(jié)起來的信息來定義.[3]

而為什么是凸出生活實(shí)踐或?qū)W習(xí)探索問題情境這兩類情境?華南師范大學(xué)莫雷教授團(tuán)隊(duì)編著的《學(xué)習(xí)過程與機(jī)制研究-我國學(xué)習(xí)雙機(jī)制理論與實(shí)驗(yàn)》[4]中“本源性教學(xué)”的觀點(diǎn)給出了重要的指引:必須從人類知識(shí)生產(chǎn)過程與個(gè)體知識(shí)再生產(chǎn)過程的本質(zhì)與學(xué)校教育的本質(zhì)的理論高度進(jìn)行分析論證.

“本源性教學(xué)”觀點(diǎn)認(rèn)為,人類知識(shí)生產(chǎn)過程就是在實(shí)踐中獲得解決實(shí)踐問題的經(jīng)驗(yàn)的過程.個(gè)體的知識(shí)學(xué)習(xí)過程即知識(shí)再生產(chǎn)過程,就是要學(xué)會(huì)人類已生產(chǎn)出來的改造世界實(shí)踐活動(dòng)的“種的經(jīng)驗(yàn)”的過程.為了讓每一代個(gè)體要在盡可能短的時(shí)間內(nèi)掌握“種的經(jīng)驗(yàn)”,產(chǎn)生了學(xué)校教育這個(gè)特殊的形式,同時(shí)形成了按照知識(shí)體系分門別類的各種學(xué)科,將個(gè)體的知識(shí)再生產(chǎn)過程,轉(zhuǎn)為學(xué)生學(xué)科學(xué)習(xí)教學(xué)過程.學(xué)校教育這種特殊形式的產(chǎn)生,就是為了讓每一代個(gè)體盡快地掌握人類改造世界“生產(chǎn)”出來的“改造世界的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn)”.從學(xué)校教育這種特殊形式產(chǎn)生的本質(zhì)或“初心”來看,這種知識(shí)再生產(chǎn)的“課堂學(xué)科學(xué)習(xí)的情境活動(dòng)”應(yīng)該與人類生產(chǎn)知識(shí)的實(shí)踐情境活動(dòng)有內(nèi)在本質(zhì)的一致性,才能保證學(xué)生通過學(xué)習(xí)情境活動(dòng)獲得的知識(shí)經(jīng)驗(yàn),就是人類改造世界所需要的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)與認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn).

作為人類改造世界的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn),包括解決實(shí)踐各種問題的實(shí)際經(jīng)驗(yàn),以及為了解決實(shí)踐問題、推動(dòng)實(shí)踐發(fā)展的認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn).這兩類經(jīng)驗(yàn)體現(xiàn)在學(xué)科教學(xué)上就是要求學(xué)生形成“應(yīng)對(duì)生活實(shí)踐問題”與“應(yīng)對(duì)學(xué)習(xí)探索問題”的綜合素質(zhì),我們將這個(gè)綜合素質(zhì)稱為“學(xué)科素養(yǎng)”,它是“人類改造世界的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn)”在學(xué)校學(xué)科教學(xué)的映射.

據(jù)此,考核學(xué)生“應(yīng)對(duì)生活實(shí)踐問題”與“應(yīng)對(duì)學(xué)習(xí)探索問題”的綜合素質(zhì)的學(xué)科素養(yǎng)定向的考試,就是考察學(xué)生掌握“人類改造世界的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn)”的質(zhì)量.

基于掌握“人類實(shí)踐與認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn)”所進(jìn)行的知識(shí)能力學(xué)習(xí),與純粹的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的學(xué)習(xí)活動(dòng)不同:基于掌握“人類實(shí)踐與認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn)”所進(jìn)行的知識(shí)能力學(xué)習(xí),是以掌握學(xué)科高級(jí)知識(shí)的需求來定向的學(xué)習(xí),它要求掌握的知識(shí),是學(xué)科高級(jí)階段學(xué)習(xí)必須的知識(shí),它要求對(duì)知識(shí)的學(xué)習(xí)方式及形成的能力,是與學(xué)科高級(jí)階段學(xué)習(xí)相一致的學(xué)習(xí)方式與能力.因此,以“學(xué)科素養(yǎng)”定向的考試所界定的“學(xué)習(xí)探索問題情境”,就是考察這種狀態(tài)的綜合運(yùn)用學(xué)科知識(shí)能力的素質(zhì).離開了掌握學(xué)科高級(jí)知識(shí)的需求而進(jìn)行的純粹的知識(shí)能力的考核,對(duì)于所掌握的范圍是沒有明確界定的,特別是對(duì)知識(shí)掌握的方式、形成的能力是沒有方向的,它設(shè)計(jì)的各種題型,有的既不是生活實(shí)踐的需求,也不符合進(jìn)一步學(xué)習(xí)的需求.

由于考試集中體現(xiàn)了教育的功利性,如果純粹考察學(xué)生的學(xué)科知識(shí)能力,容易造成引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)理解得很深刻、解決知識(shí)性問題的能力很強(qiáng),學(xué)生具備很高的“解題能力”,但是缺乏運(yùn)用學(xué)科知識(shí)解決生活實(shí)踐問題的綜合素養(yǎng),也缺乏按照學(xué)科高端知識(shí)掌握的要求進(jìn)行掌握與運(yùn)用知識(shí)的綜合素養(yǎng).這就是知識(shí)能力定向的“應(yīng)試教育”的實(shí)質(zhì)與產(chǎn)生的根源.

因此,結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn),可以考慮數(shù)學(xué)科高考兩類問題情境采用如下界定:

數(shù)學(xué)科中的“生活實(shí)踐問題情境”是指針對(duì)某個(gè)現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)背景中與數(shù)量關(guān)系或空間形式相關(guān)的待完成的任務(wù),需要考生加以聯(lián)結(jié)、整合的一組信息.

數(shù)學(xué)科中的“學(xué)習(xí)探索問題情境”是指針對(duì)某個(gè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)背景中的待完成的(仿真)任務(wù),需要考生加以聯(lián)結(jié)、整合的一組信息,重點(diǎn)指向?yàn)楦咝＿x才提供關(guān)于學(xué)生應(yīng)對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的準(zhǔn)備程度的依據(jù).

二、生活實(shí)踐問題情境的命題要點(diǎn)

考慮生活實(shí)踐問題情境的命題,重點(diǎn)是要分析清楚這類命題與傳統(tǒng)應(yīng)用題的區(qū)別.傳統(tǒng)的應(yīng)用題存在兩個(gè)問題.一是將焦點(diǎn)放在問題的數(shù)學(xué)表征和數(shù)學(xué)解答上,缺少“轉(zhuǎn)換與詮釋情境信息,辨別潛在的問題”的環(huán)節(jié).二是多數(shù)的應(yīng)用題存在有情境空洞、情境虛假等問題.這兩個(gè)存在問題使得傳統(tǒng)應(yīng)用題無法與人類生活生產(chǎn)實(shí)踐過程契合,那就無法達(dá)到該有的考查目標(biāo),也嚴(yán)重影響“三會(huì)”(“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界”“會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界”“會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”)課程目標(biāo)的達(dá)成.

國際上關(guān)于這類命題較成熟的參照是PISA數(shù)學(xué)測(cè)試.許世紅在《PISA數(shù)學(xué)素養(yǎng)測(cè)評(píng)試題的情境設(shè)計(jì)探析》[5]中通過對(duì)PISA2012公開樣題的情境特征的剖析得到了四點(diǎn)啟示:一是將情境從分類和分布角度細(xì)化可幫助命題者提高情境設(shè)計(jì)的針對(duì)性;二是情境真實(shí)才能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣;三是情境與數(shù)學(xué)緊密相容才能有效考查出學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng);四是情境公平才能避免測(cè)評(píng)結(jié)果出現(xiàn)偏差.這四點(diǎn)啟示對(duì)新高考背景下生活實(shí)踐問題情境的命題仍有重要的參考價(jià)值.

2019年高考全國理科數(shù)學(xué)I卷第4題(斷臂維納斯)、第6題(周易中的“卦”)、第15題(籃球決賽規(guī)則)和第21題(新藥實(shí)驗(yàn))都具備好的生活實(shí)踐問題情境特質(zhì).2019年全國I卷中這4題共27分,占卷面總分值的18%,是一個(gè)較高比例.

三、學(xué)習(xí)探索問題情境的命題要點(diǎn)

正如前面提及的,以“學(xué)科素養(yǎng)”定向的考試所界定的“學(xué)習(xí)探索問題情境”,就是考察學(xué)生掌握進(jìn)入高級(jí)階段學(xué)習(xí)必須的基礎(chǔ)知識(shí)的程度,以及考察學(xué)生是否具備與學(xué)科高級(jí)階段學(xué)習(xí)相一致的學(xué)習(xí)方式與學(xué)習(xí)能力的問題情境.因此,“學(xué)習(xí)探索問題情境”是對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)問題情境的仿真.這也是“學(xué)習(xí)探索問題情境”與“純知識(shí)能力考察的情境活動(dòng)”的區(qū)別.下面用兩組案例鑒別“學(xué)習(xí)探索問題情境”與“純知識(shí)能力考察的情境活動(dòng)”的區(qū)別.

案例一數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的評(píng)估—以函數(shù)板塊為例

例1(純知識(shí)能力考察的情境活動(dòng))

分別判斷f是否為A上的一個(gè)函數(shù)(函數(shù)值均為R中的元素)

(1)A=R,f為“加1”;

(2)A=[0,+∞),f為“開平方”;

(3)A=R,f為“求倒數(shù)”;

(4)A=[0,+∞),f為“求平方根”.

例1的考查,是學(xué)生可以基于對(duì)教師的講授的理解作出應(yīng)答的,能考查學(xué)生是否理解函數(shù)定義,但無法考查出學(xué)生是否能獨(dú)立自主地應(yīng)對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)新概念學(xué)習(xí).而學(xué)生在應(yīng)對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)新概念學(xué)習(xí)時(shí)表現(xiàn)出來的素養(yǎng)正是高校選才時(shí)會(huì)高度關(guān)注的,是區(qū)分“好學(xué)生”和“一般學(xué)生”的重要判據(jù).

因此,為了考查學(xué)生是否能獨(dú)立自主地應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí),會(huì)出現(xiàn)仿真大學(xué)數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)問題情境,將基于必備知識(shí)、運(yùn)用關(guān)鍵能力能夠解讀的“新概念”、“新定義”作為概念學(xué)習(xí)評(píng)估的一種“學(xué)習(xí)探索問題情境”.

例2[6](學(xué)習(xí)探索問題情境活動(dòng))

對(duì)定義在區(qū)間D上的函數(shù)f(x),若存在區(qū)間[a,b]?D和常數(shù)C,使得對(duì)任意的x∈[a,b],都有f(x)=C,且對(duì)任意的x/∈[a,b]都有f(x)＞C恒成立,則稱函數(shù)f(x)在D上是一個(gè)U型函數(shù).

(1)求證:函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-3|在R上是一個(gè)U型函數(shù);

(2)設(shè)f(x)是(1)中的U型函數(shù),若不等式|t-1|+|t-2|≤f(x)對(duì)一切的x∈R恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

例2給出一個(gè)教材中沒有的“新定義”—U型函數(shù).第(1)問要求學(xué)生驗(yàn)證相應(yīng)函數(shù)是U型函數(shù),這就要求學(xué)生能理解U型函數(shù)的定義;第(2)問要求學(xué)生運(yùn)用U型函數(shù)的定義推斷不等式成立的條件,第(3)問要求學(xué)生反溯新函數(shù)g(x)成為U型函數(shù)的條件,都是進(jìn)一步考察學(xué)生對(duì)新定義內(nèi)涵、外延的理解程度及運(yùn)用新定義解決問題的能力.例2的設(shè)計(jì)符合大學(xué)數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的一般路徑,學(xué)生基于高中的必備知識(shí)、關(guān)鍵能力能夠解讀,是一道對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的仿真題.

案例二數(shù)學(xué)運(yùn)算學(xué)習(xí)的評(píng)估—以函數(shù)板塊為例

例3(純知識(shí)能力考察的情境活動(dòng))

用“二分法”求方程一元二次方程x2+x-1=0的近似解,給出前四步結(jié)果.

例3的解決只需要重復(fù)已學(xué)的“二分法”操作步驟就能完成.

例4[1](2017課標(biāo)案例34(迭代運(yùn)算問題),學(xué)習(xí)探索問題情境活動(dòng))

研究一元二次方程x2+x-1=0的求解問題,這是經(jīng)典的求黃金分割的方程式.令f(x)=x2+x-1,對(duì)拋物線y=f(x)持續(xù)實(shí)施下面“牛頓切線法”的步驟:

在點(diǎn)(1,1)處作出拋物線的切線交x軸于點(diǎn)(x1,0);

在點(diǎn)(x1,f(x1))處作出拋物線的切線交x軸于點(diǎn)(x2,0);

在點(diǎn)(x2,f(x2))處作出拋物線的切線交x軸于點(diǎn)(x3,0);

······

得到一個(gè)數(shù)列{xn}.回答下列問題:

(1)求x1的值.

(2)設(shè)xn+1=g(xn),求g(xn)的解析式.

(3)用“二分法”求方程的近似解,給出前四步結(jié)果.比較“牛頓切線法”和“二分法”的求解速度.

例4的任務(wù)包括:讀懂“牛頓切線法”并進(jìn)行操作(新算法);復(fù)述操作“二分法”(舊算法);對(duì)兩種算法比較進(jìn)行評(píng)估分析.在數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)習(xí)中,大學(xué)數(shù)學(xué)階段的數(shù)學(xué)運(yùn)算學(xué)習(xí)側(cè)重點(diǎn)不在準(zhǔn)確而快速的計(jì)算技能,而在理解運(yùn)算背后的數(shù)學(xué)原理的基礎(chǔ)上,發(fā)現(xiàn)合理的運(yùn)算方法和程序,對(duì)運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行有效的估計(jì)以及對(duì)運(yùn)算方向的準(zhǔn)確把握.例4與大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)習(xí)路徑一致,是對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算學(xué)習(xí)問題情境的仿真.

四、問題研究的展望

將情境從分類和分布角度細(xì)化,構(gòu)建與高中數(shù)學(xué)教學(xué)契合的生活實(shí)踐問題情境體系以及學(xué)習(xí)探索問題情境體系,以幫助命題者提高情境設(shè)計(jì)的針對(duì)性,這是兩類問題情境命題工作研究的重點(diǎn)和難點(diǎn).