老師，為什么這方法失靈了？
——一道高考題的解題反思

陳崇榮

做真題、研真題是老師、學生們的熱門話題，筆者也布置了一些真題給學生做并對其進行講解，在講評2018年全國卷Ⅰ文科第21題時引發(fā)了緊張而又驚喜的一幕．

題目（2018年全國卷Ⅰ文科第21題）已知函數(shù)f（x）=aex-lnx-1．

（1）設x=2是f（x）的極值點，求a的值，并求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

一、課堂實錄

針對第二問，多數(shù)學生表示簡單但不會做．一起來看下同學們思維受困的原因．

師：我們來看下標準答案：

生1：老師，題目要證明當時，f（x）≥0不就等價于去證明當時，f（x）≥0恒成立，而恒成立問題，又等價于去證明當，這是解決恒成立問題的通性通法啊．老師，為什么該方法在此題失靈了呢？

我的解題過程如下：

f′（x）=aex-f″（x）=aex+0，所以f′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

當x從右邊無限趨近于0時，f′（x）＜0；當x無限趨近于+∞時，f′（x）＞0．

所以存在唯一的x0∈（0，+∞），使得f′（x0）=0，即．當x∈（0，x0）時，f′（x）＜0，所 以f（x）單調(diào)遞減；當x∈（x0，+∞）時，f′（x）＞0，所以f（x）單調(diào)遞增．所以f（x）min=f（x0），即f（x）min=aex0-lnx0-1．老師，后面解不出來了．

師：這位同學把問題轉(zhuǎn)化為了我們熟悉的恒成立問題，而且也通過“設而不求”的方法求出了函數(shù)的最小值f（x）min=aex0-lnx0-1，很好．那么大家想想如何證明函數(shù)的最小值會大于0呢？

生2：根據(jù)ln（aex0）-1=+lna-1≥0．當且僅當時，即x0=1時等號成立．從而不等式得證．

師：回答得很好．

生3：老師，我也是轉(zhuǎn)化為恒成立問題，但不是去求f（x）的最小值，而是分離了參數(shù)a，也是解不出來，為什么呢？我是這樣解答的：

生4：我覺得可以考慮再次求導．令因為h（x）定義域為（0，+∞），所以h′（x）＜0，所以h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，且h（1）=0．所以當x∈（0，1）時，h（x）＞0，g′（x）＞0；當x∈（1，+∞）時，h（x）＜0，g′（x）＜0．所以g（x）在x∈（0，1）上單調(diào)遞增，在x∈（1，+∞）上單調(diào)遞減，于是所以命題得證．

師：剛才這幾位同學的思考方向及解決辦法都非常好，其實就是利用了解決恒成立問題的通性通法——最值法和參數(shù)分離法．同學們，還有其他方法嗎？老師剛剛在你們思考的同時也想到了另外一種方法．

由不等式ex≥x+1得ln（x+1）≤x（x＞1），即lnx≤x-1．

二、解題反思

每次試卷講評后，部分學生都懊惱：那么簡單的方法考試的時候為什么就想不到呢？自然想法無法通達，通性通法難以奏效．原因在于同學們對相關(guān)問題的理解浮于表面、流于形式，平時訓練采用“題型+技巧”的題海戰(zhàn)術(shù)，卻沒有跳出題海，不能理清問題的邏輯，更談不上透過現(xiàn)象揭示本質(zhì)，領(lǐng)會數(shù)學思想和方法內(nèi)涵了，以至于解題時被命題人牽著鼻子走，撞到南墻不回頭．

分別記上述四種方法為法一、法二、法三、法四．法一是官方給出的答案，第一步就應用了放縮法，把問題轉(zhuǎn)化為證明g（x）=法二轉(zhuǎn)化為恒成立問題—求最值的通性通法，零點不可求，但采取迂回戰(zhàn)術(shù)，采用“設而不求”，利用零點滿足的關(guān)系化簡最小值，從而利用不等式證明出其大于0．法三轉(zhuǎn)化為恒成立問題—分離參數(shù)—求最值的通性通法，本質(zhì)是反復利用導數(shù)的符號與原函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系．法四是應用了課本不等式ex≥x+1，要求同學們對該不等式熟悉，且會靈活變形、賦值、配湊等技巧，要求較高．

三、學好數(shù)學四步走

第一步是弄“懂”．“懂”是指對數(shù)學概念、公式、法則的產(chǎn)生、背景一清二楚，對概念的內(nèi)涵外延要理解和掌握．

第二步是弄“會”．“懂”了不一定“會”，懂和會是不一樣的層次．同學們是否有這樣的感受：上課聽懂了，但作業(yè)、考試還是不會做．為什么呢？原因有兩種：一種是很多學生都是假懂，似懂非懂；另外一種是從懂到會還有一段路程要走，要經(jīng)歷“套用”—“變用”—“活用”三個階段．“套用”，指直接套用公式、法則、解題方法；“變用”指能靈活使用公式、法則的變型，包括正用、逆用、變形用；“活用”是在陌生情景也能創(chuàng)造條件轉(zhuǎn)化為我們熟悉的模型、情景，從而套用公式、法則或是解題方法等．經(jīng)歷了這三個階段，這才叫“會”．

第三步是做“對”．“會”了，不一定“對”，即“會”而不“對”．因為有時自己感覺“會”做了，其實是“霧里看花”，假“會”，數(shù)據(jù)改一改，條件變一變立馬就不會了．萬變不離其宗．真正做到“會”，就要在“宗”字上下功夫．變式訓練、組題訓練的目的就是讓學生“沉入水底”，認“宗”悟“宗”，真正理解知識的本質(zhì)，感悟知識所蘊含的數(shù)學基本思想．

第四步是“快”．“天下武功，無堅不破，唯快不破”．“對”了，不一定“快”．熟能生巧，熟則快捷．要做到“見題生法，見招拆招”，一是要全面掌握各個模塊知識點，二是要熟悉各種解題思路和方法，還要有扎實的基本功以及敏捷、嚴謹?shù)乃季S品質(zhì)．