分裂四元數(shù)矩陣實表示的逆矩陣的求法

孔祥強(qiáng)

(菏澤學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 山東 菏澤 274015)

0 引 言

1843年數(shù)學(xué)家Hamilton首次提出了四元數(shù)的概念， 其形式為H={q0+q1i+q2j+q3k}， 且滿足i2=j2=k2=-1,ijk=-1,q0,q1,q2,q3∈R. 1849年， James Cockle研究了分裂四元數(shù)， 形式為Hs={p0+p1i+p2j+p3k}， 且滿足i2=-1,j2=k2=1,ijk=1,ij=-ji=k,jk=-kj=-i,ki=-ik=j,p0,p1,p2,p3∈R.Hs為結(jié)合且非交換的四維克利福德代數(shù)， 且含有零因子、 冪等元和冪零元[1-2]. 分裂四元數(shù)及分裂四元數(shù)矩陣在經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)中均有重要應(yīng)用[3-4]. 文獻(xiàn)[5-6]研究了四元數(shù)矩陣實表示的性質(zhì)和應(yīng)用； 文獻(xiàn)[7-9]研究了四元數(shù)矩陣的特征值及特征向量問題， 得到一系列成果， 但這些成果僅局限于四元數(shù)方面， 對分裂四元數(shù)的研究結(jié)果并不多. 文獻(xiàn)[10]重點研究了復(fù)表示意義下的分裂四元數(shù)及分裂四元數(shù)矩陣， 得到分裂四元數(shù)矩陣的逆矩陣. 本文研究實表示意義下分裂四元數(shù)矩陣的性質(zhì)， 得到基于實表示的分裂四元數(shù)矩陣的逆矩陣的新求法， 逆矩陣的求得為進(jìn)一步研究分裂四元數(shù)矩陣的行列式問題、 對角化問題、 特征值及特征向量問題提供了重要理論支撐.

1 分裂四元數(shù)矩陣的實表示

設(shè)q=q0+q1i+q2j+q3k∈Hs，q0,q1，q2,q3∈R， 定義q的實表示為

?R4×4;

?R4n×4n.

由文獻(xiàn)[11]易得

定理1

2 分裂四元數(shù)矩陣實表示的性質(zhì)

2) (A+Q)R=AR+QR；

3) (AQ)R=ARQR；

4) (AR)-1=(A-1)R.

1) 取A=In， 由實表示定義

2) 由實表示定義及矩陣的加法易驗證(A+Q)R=AR+QR顯然成立.

3)

AQ=(A0+A1i+A2j+A3k)(Q0+Q1i+Q2j+Q3k)=(A0Q0-A1Q1+A2Q2+A3Q3)+(A0Q1+A1Q0-A2Q3+A3Q2)i+(A0Q2-A1Q3+A2Q0+A3Q1)j+(A0Q3+A1Q2-A2Q1+A3Q0)k,

b11=A0Q0-A1Q1+A2Q2+A3Q3,

b12=A0Q1+A1Q0-A2Q3+A3Q2,

b13=A0Q2-A1Q3+A2Q0+A3Q1,

b14=A0Q3+A1Q2+A2Q1+A3Q0,

b21=-A0Q1-A1Q0+A2Q3-A3Q2,

b22=A0Q0-A1Q1+A2Q2+A3Q3,

b23=-A0Q3-A1Q2+A2Q1-A3Q0,

b24=A0Q2-A1Q3+A2Q0+A3Q1,

b31=A0Q2-A1Q3+A2Q0+A3Q1,

b32=-A0Q3-A1Q2+A2Q1-A3Q0,

b33=A0Q0-A1Q1+A2Q2+A3Q3,

b34=-A0Q1-A1Q0+A2Q3-A3Q2,

b41=A0Q3+A1Q2-A2Q1+A3Q0,

b42=A0Q2-A1Q3+A2Q0+A3Q1,

b43=A0Q1+A1Q0-A2Q3+A3Q2,

b44=A0Q0-A1Q1+A2Q2+A3Q3.

設(shè)AQ的實表示形式為

由矩陣實表示的定義驗證得

c11=b11,c12=b12,c13=b13,c14=b14,

c21=b21,c22=b22,c23=b23,c24=b24,

c31=b31,c32=b32,c33=b33,c34=b34,

c41=b41,c42=b42,c43=b43,c44=b44.

故(AQ)R=ARQR.

3 分裂四元數(shù)矩陣逆矩陣的求法

DA=

(D0+D1i+D2j+D3k)(A0+A1i+A2j+A3k)=

(D0A0-D1A1+D2A2+D3A3)+

(D1A0+D0A1+D3A2-D2A3)i+

(D2A0+D3A1+D0A2-D1A3)j+

(D3A0-D2A1+D1A2+D0A3)k.

由DA=In， 則

D0A0-D1A1+D2A2+D3A3=In,

D1A0+D0A1+D3A2-D2A3=0,

D2A0+D3A1+D0A2-D1A3=0,

D3A0-D2A1+D1A2+D0A3=0,

即

由上式可得

則

A0D0-A1D1+A2D2+A3D3=In,

A0D1+A1D0-A2D3+A3D2=0,

A0D2-A1D3+A2D0+A3D1=0,

A0D3+A1D2-A2D1+A3D0=0,

又

AD=(A0+A1i+A2j+A3k)(D0+D1i+D2j+D3k)=

(A0D0-A1D1+A2D2+A3D3)+(A0D1+A1D0-A2D3+A3D2)i+

(A0D2-A1D3+A2D0+A3D1)j+(A0D3+A1D2-A2D1+A3D0)k,

所以AD=In.

A0,A1,A2,A3∈Rn×n， 則AR可逆的充分必要條件為A可逆.

證明必要性： 由AR可逆，AR∈R4n×4n， 令(AR)-1=TR， 則TRAR=I4n.

則

T11A0-T12A1+T13A2+T14A3=In,

T12A0+T11A1+T14A2-T13A3=0,

T13A0+T14A1+T11A2-T12A3=0,

T14A0-T13A1+T12A2+T11A3=0.

若取T=T11+T12i+T13j+T14k,

其中，T11,T12,T13,T14∈Rn×n,則

TA=(T11A0-T12A1+T13A2+T14A3)+(T12A0+T11A1+T14A2-T13A3)i+

(T13A0+T14A1+T11A2-T12A3)j+(T14A0-T13A1+T12A2+T11A3)k=In.

由命題1知，AT=In， 所以A可逆， 且A-1=T=T11+T12i+T13j+T14k.

定理充分性的證明用上述類似方法可得， 不再贅述. 故AR可逆?A可逆.

① 寫出A的實表示形式AR；

② 求出(AR)-1， 即TR；

③ 取TR中第一行的元素T11,T12,T13,T14(∈Rn×n)， 則A-1=T11+T12i+T13j+T14k.

2) 計算A-1的過程可通過計算機(jī)編程輕松實現(xiàn)， 避免了冗長繁瑣的計算， 節(jié)約了時間， 提高了運(yùn)算效率.

4 算 例

①A的實表示形式為

②

③

則

A-1=T11+T12i+T13j+T14k=

5 結(jié)束語

四元數(shù)理論和分裂四元數(shù)理論是四元數(shù)量子力學(xué)的重要研究領(lǐng)域. 隨著對四元數(shù)及四元數(shù)矩陣研究的深入， 分裂四元數(shù)的研究也逐步引起學(xué)者的重視， 并且在對偶分裂四元數(shù)及其矩陣方面取得了一定的成果[12-15]. 本文研究了分裂四元數(shù)矩陣的實表示， 將分裂四元數(shù)矩陣求逆矩陣的問題歸結(jié)為實數(shù)域上矩陣求逆矩陣的問題； 將分裂四元數(shù)體上不可交換的問題歸結(jié)為實數(shù)域上可交換的問題. 本文所得求逆矩陣的方法， 大大簡化了分裂四元數(shù)矩陣的相關(guān)運(yùn)算， 使應(yīng)用計算機(jī)處理相應(yīng)問題成為可能， 這將對分裂四元數(shù)矩陣的進(jìn)一步研究起到很大的推動作用.