基于結(jié)構(gòu)張量的四階偏微分方程圖像降噪模型

王 娜， 劉 祎， 王曉旭， 楊冠儒， 桂志國

(1. 中北大學(xué) 山西省生物醫(yī)學(xué)成像與影像大數(shù)據(jù)重點(diǎn)實驗室， 山西 太原 030051；2. 中北大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院， 山西 太原 030051； 3. 中北大學(xué) 環(huán)境與安全工程學(xué)院， 山西 太原 030051；4. 北京工業(yè)大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院， 北京 100022)

0 引 言

隨著計算機(jī)和網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的高速發(fā)展， 人類已步入數(shù)字圖像時代. 數(shù)字圖像在采集、 壓縮、 傳輸和儲存過程中往往會受到成像設(shè)備和外界環(huán)境等諸多因素的干擾而導(dǎo)致圖像失真. 圖像失真主要表現(xiàn)為圖像模糊、 圖像結(jié)構(gòu)信息被噪聲淹沒等， 失真后的圖像已不能真實地反映原始圖像的信息， 這樣給圖像的后期處理如圖像增強(qiáng)、 圖像分割、 邊緣檢測等帶來困難， 因此圖像去噪和圖像去模糊在圖像處理研究領(lǐng)域中是最基礎(chǔ)和最重要的環(huán)節(jié). 近年來， 基于變分和偏微分方程( PDE) 方法在圖像處理中得到了廣泛的應(yīng)用[1]. 其中最著名的是由Perona 和Malik[2]所提出的基于偏微分的各向異性擴(kuò)散模型， 即PM模型， 該模型是偏微分方程在圖像恢復(fù)領(lǐng)域的開創(chuàng)性工作. PM模型定性地采用關(guān)于梯度模值的函數(shù)作為邊緣檢測函數(shù)來自適應(yīng)地控制圖像的邊緣區(qū)域和非邊緣區(qū)域的擴(kuò)散強(qiáng)度. 迄今為止， PM模型仍被眾多學(xué)者所關(guān)注， 不斷對其進(jìn)行深入研究， 在圖像分割、 圖像去噪、 邊緣檢測、 修復(fù)和圖像增強(qiáng)等許多圖像處理領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用[3-6]. 基于二階偏微分方程的PM降噪模型是對熱傳導(dǎo)模型的優(yōu)化具有良好的保邊去噪性能， 但是當(dāng)同樣是高頻信息的噪聲點(diǎn)的梯度模值與邊緣的梯度模值相似時， PM模型就會把噪聲信息誤判為邊緣信息在該噪聲點(diǎn)處減少擴(kuò)散強(qiáng)度， 在圖像演化過程中形成偽邊緣(即“階梯效應(yīng)”). “階梯效應(yīng)”現(xiàn)象對所獲降噪圖像的主觀視覺評價造成負(fù)面影響， 也對進(jìn)一步的圖像理解和圖像分析造成不可估量的困難.

減少“階梯效應(yīng)”現(xiàn)象的一個有效途徑是增加擴(kuò)散模型中導(dǎo)數(shù)的階數(shù)， 目前主要是基于四階偏微分的降噪模型[7-12]. You和Kaveh兩人首次提出了基于拉普拉斯算子的四階偏微分方程降噪模型(YK模型)[10]， 通過分段斜面來逼近原圖,有效地克服了“階梯效應(yīng)”. 但是YK模型不具有邊緣保持特性， 而且很容易產(chǎn)生斑點(diǎn)噪聲. 為了進(jìn)一步優(yōu)化YK模型， Mohammad Reza Hajiaboli將梯度模值引入YK 模型提出一種具有邊緣保持能力的改進(jìn)YK模型(MRHA模型)[11]， 該模型收斂速度相比YK模型有了很大的提升,并且在去除噪聲的同時起到保持斜坡邊緣(ramp edge)的作用， 但也有不足之處， 降噪圖像的階躍邊緣(step edge)仍會失真. 此后， Mohammad Reza Hajiaboli基于局部幾何特征對MRHA模型進(jìn)行了進(jìn)一步的研究， 提出了各向異性擴(kuò)散四階去噪模型(MRHB模型)[12]， 所提出的MRHB模型考慮了擴(kuò)散的方向性， 可以更好地保留圖像的邊緣細(xì)節(jié)信息， 但在平坦區(qū)域引入“階梯效應(yīng)”影響了降噪圖像的視覺效果.

在MRHB模型的基礎(chǔ)上， 結(jié)合結(jié)構(gòu)張量， 本文提出一種新的各向異性四階偏微分降噪模型. 在圖像平坦區(qū)域， 梯度和邊緣方向具有同等強(qiáng)度的擴(kuò)散， 而在圖像邊緣處， 只沿邊緣方向進(jìn)行擴(kuò)散， 從而可以有效去除邊緣噪聲同時可以保留圖像邊緣細(xì)節(jié). 此外， 在圖像的角點(diǎn)處不進(jìn)行擴(kuò)散， 圖像的角型區(qū)域得到有效保護(hù).

1 四階偏微分模型

1.1 各向同性四階偏微分模型

為了有效去除二階偏微分方程中出現(xiàn)的“階梯效應(yīng)”， You和Kaveh兩人將拉普拉斯算子和高階微分代入圖像的能量泛函， 提出基于高階偏微分方程的去噪模型[10]. 該模型的最小能量泛函為

f′(·)≥0.(2)

式中：k>0是拉普拉斯閾值. 閾值k的選擇是影響去噪效果的關(guān)鍵參數(shù)之一.k值選擇過小時， 噪聲去除不徹底；k值選擇過大時， 低對比度的邊緣或紋理會被過度平滑掉.

YK模型利用分段斜面來逼近原圖的,有效地克服了“階梯效應(yīng)”， 但是從圖像的局部幾何特征來分析該模型的擴(kuò)散行為， 可知該模型實質(zhì)上是各向同性的， 不具有保邊能力. 具體原因闡述如下：

式中：η和ξ分別表示梯度方向和邊緣方向，uηη和uξξ分別是圖像沿著梯度方向和邊緣方向的二階方向?qū)?shù). 顯而易見， 在邊緣方向和梯度方向的擴(kuò)散強(qiáng)度是一樣的， 所以該模型會導(dǎo)致圖像中的邊緣過度平滑， 使圖像丟失邊緣細(xì)節(jié)信息. 另外， 在去噪過程中會在結(jié)果圖中產(chǎn)生一些孤立的黑白斑點(diǎn)噪聲， 影響降噪圖像的視覺效果.

Mohammad Reza Hajiaboli對YK模型進(jìn)行了優(yōu)化， 引入梯度模值作為YK模型的邊緣檢測算子提出一種改進(jìn)的YK模型[11]

c(|u|)(7)

1.2 各向異性四階偏微分模型

為了克服各向同性四階偏微分去噪模型缺點(diǎn)， Mohammad Reza Hajiaboli提出了一種基于定向擴(kuò)散的各向異性擴(kuò)散四階去噪模型[12]

c(|u|)(9)

式中：c1=c(|u|)2,c2=c(|u|). 因為函數(shù)c(·)恒小于1， 取值范圍是(0，1]， 所以c1≤c2. 該模型以局部幾何結(jié)構(gòu)特征來刻畫所執(zhí)行的平滑過程. 平滑策略為主要沿著邊緣方向進(jìn)行擴(kuò)散， 在梯度方向的擴(kuò)散總體小于邊緣方向， 以達(dá)到邊緣保持的目的. 但這樣的平滑機(jī)制使模型在平坦區(qū)域內(nèi)邊緣方向和梯度方向的擴(kuò)散強(qiáng)度不同， 從而引入了“階梯效應(yīng)”影響了降噪圖像的視覺效果.

2 基于結(jié)構(gòu)張量的各向異性四階偏微分模型

在圖像處理中， 灰度圖像的每一個像素除了具有灰度信息外， 還具有幾何結(jié)構(gòu)信息. 結(jié)構(gòu)張量常用來分析與提取圖像的局部信息， 如幾何結(jié)構(gòu)與方向. 結(jié)構(gòu)張量已被廣泛應(yīng)用于數(shù)字圖像處理和機(jī)器視覺領(lǐng)域[13]. 在圖像處理中， 結(jié)構(gòu)張量定義如下

Tρ(uσ

式中：Gρ表示以ρ為參數(shù)的高斯平滑核，ρ決定結(jié)構(gòu)分析鄰域的大??； *是卷積操作符；uσ表示對圖像進(jìn)行參數(shù)為σ的高斯平滑， 其使得邊緣檢測對于尺度小于的圖像內(nèi)容不敏感， 主要用來減少噪聲對濾波的影響. 結(jié)構(gòu)張量是一個對稱的半正定矩陣， 其包含了比梯度模值更豐富的結(jié)構(gòu)信息.Tρ的兩個特征值分別為

(11)

它們對應(yīng)的兩個單位特征向量分別為

特征值λ1,λ2可以反映圖像的局部結(jié)構(gòu)特征， 在圖像平坦區(qū)域，λ1≈λ2?0； 在邊緣區(qū)域，λ1?λ2=0； 在角點(diǎn)區(qū)域，λ1≥λ2?0. 特征向量v1,v2分別是對局部結(jié)構(gòu)梯度和邊緣方向的估計. 計算結(jié)構(gòu)張量的跡h1(h1=λ1+λ2)和行列式h2(h2=λ1*λ2)， 通過區(qū)分h1和h2的關(guān)系可以區(qū)分圖像的區(qū)域. 當(dāng)h1?0且h2?0時， 像素分布在圖像的平坦區(qū)域； 當(dāng)h1?0且h2?0時， 像素分布在圖像的邊緣區(qū)域； 當(dāng)h1?0且h2?0時， 像素分布在圖像的角點(diǎn)區(qū)域.

受文獻(xiàn)[14]啟發(fā)， 利用圖像的結(jié)構(gòu)張量的行列式和跡作為邊緣檢測因子， 并且利用結(jié)構(gòu)張量矩陣的特征向量來估計邊緣和梯度方向， 同時為了更好地保持圖像的細(xì)節(jié)， 引入數(shù)據(jù)保真項. 對新提出的數(shù)據(jù)保真項中的噪聲圖像用高斯濾波進(jìn)行了預(yù)處理， 降低噪聲點(diǎn)的梯度， 從而可以更真實地刻畫噪聲圖像的幾何結(jié)構(gòu)特征. 本文提出如下基于結(jié)構(gòu)張量的自適應(yīng)四階偏微分模型

(13)

式中：u0表示噪聲圖像；K是邊緣保持閾值；λ為拉格朗日乘子， 對擴(kuò)散項和數(shù)據(jù)保真項起到平衡作用；uv1v1和uv2v2分別是圖像沿著由結(jié)構(gòu)張量估計的梯度方向和邊緣方向的二階方向?qū)?shù)， 計算如下

(14)

式(14)， (15)中H是海森矩陣. 由式(13)可知， 本文提出的模型關(guān)于圖像梯度方向和邊緣方向的擴(kuò)散系數(shù)c1,c2分別取決于圖像結(jié)構(gòu)張量的跡和行列式. 在圖像的平坦區(qū)域，h1?0，h2?0， 此時c1→1，c2→1， 則在梯度方向和邊緣方向的擴(kuò)散強(qiáng)度相同， 對圖像進(jìn)行各向同性擴(kuò)散， 可以有效地去除噪聲； 在圖像的邊緣區(qū)域，h1?0，h2?0， 此時c1→0，c2→1， 則只沿著邊緣方向進(jìn)行擴(kuò)散， 可以有效保持邊緣等細(xì)節(jié)； 在圖像的平坦區(qū)域，h1?0，h2?0， 此時c1→0，c2→0， 則在梯度方向和邊緣方向均不進(jìn)行擴(kuò)散， 可以有效地保護(hù)角點(diǎn)信息. 此外， 數(shù)據(jù)保真項的引入， 也使該模型可更好地保護(hù)圖像的局部細(xì)節(jié).

二、悄悄走過去，獨(dú)自把丁主任抓個現(xiàn)行，給他警告，讓他改過自新。這樣也好，丁主任的工作和地位保住了，名聲也保住了，我都一大把歲數(shù)了，就這樣不明不白地背個名聲也就算啦，再說也沒什么人指名道姓地說小偷就是我。哎！還是多擔(dān)待點(diǎn)吧，小丁走到現(xiàn)在也不易。

3 數(shù)值實現(xiàn)

(16)

由此計算圖像沿著由結(jié)構(gòu)張量估計的梯度方向和邊緣方向的二階導(dǎo)數(shù)分別是

(17)

令g=c1uv1v1+c2uv2v2， 改進(jìn)模型的離散形式可寫為

(19)

對式(19)引入空間離散符號， 則

最后得到改進(jìn)模型的下述離散的迭代形式

(24)

4 實驗結(jié)果與分析

為了驗證改進(jìn)模型去噪的有效性， 本文進(jìn)行了大量仿真實驗. 在仿真實驗中， 采用大小為256×256的Lena、 Boat和Peppers的標(biāo)準(zhǔn)圖像作為測試圖像， 對測試圖像分別加入均值為0， 方差為0.002的高斯噪聲. 分別用YK 模型[10]、 MRHA模型[11]、 MRHB模型[12]、 張量PM模型[14]、 張量自蛇模型[15]和本文改進(jìn)模型對加噪圖像進(jìn)行濾波處理. 對其濾波性能采用主觀評價(視覺效果)和客觀評價來對去噪圖像質(zhì)量進(jìn)行評價分析. 其中客觀評價指標(biāo)采用信噪比(SNR)、 均方誤差(MAE)、 峰值信噪比(PSNR)， 其定義如下

式中：M×N表示圖像的大小，u和f分別表示原始圖像和恢復(fù)圖像.SNR值、PSNR值越大，MAE值越小表示圖像去噪效果越好.

上述各模型的參數(shù)按最優(yōu)實驗結(jié)果進(jìn)行設(shè)置. 經(jīng)實驗驗證， 當(dāng)時間步長Δt為0.05， 閾值參數(shù)K為60， 保真項系數(shù)λ為0.08， 迭代次數(shù)n為30時， 本文模型去噪效果最好. 濾波處理后圖像的主觀視覺效果如圖 1～圖 3 所示， 各種模型對應(yīng)的客觀評價性能指標(biāo)比較如表 1 所示.

從圖 1～圖 3 可看出, YK模型的處理結(jié)果中邊緣細(xì)節(jié)模糊， 會有一些孤立的黑白斑點(diǎn)的產(chǎn)生； MRHA模型的處理結(jié)果中黑白斑點(diǎn)得到有效的去除， 但是在邊緣處仍有殘留噪聲， 邊緣細(xì)節(jié)損失也較嚴(yán)重； MRHB模型的處理結(jié)果中邊緣細(xì)節(jié)得到較好的保護(hù)， 但是會產(chǎn)生階梯偽影帶來不好的視覺效果； 張量PM模型的處理結(jié)果中圖像的輪廓邊緣失真嚴(yán)重； 張量自蛇模型的處理結(jié)果中在平坦區(qū)域產(chǎn)生了許多偽影； 而本文模型的處理結(jié)果具有較好的視覺效果， 圖像噪聲得到了有效的抑制， 邊緣細(xì)節(jié)也得到了很好的保留， 如Lena圖像的眼部和唇部等細(xì)節(jié)特征、 Boat圖像中眾多細(xì)微的線條輪廓和Peppers圖像的邊緣細(xì)節(jié)特征等. 從表1的客觀評價標(biāo)準(zhǔn)可以看出， 在同等噪聲條件下， 本文模型得到的信噪比、 峰值信噪比、 均方誤差明顯都優(yōu)于YK 模型、 MRHA模型、 MRHB模型、 張量PM模型和張量自蛇模型. 因此， 本文所提出的模型比YK 模型、 MRHA模型、 MRHB模型、 張量PM模型和張量自蛇模型有更強(qiáng)的去噪效果和邊緣細(xì)節(jié)保護(hù)能力.

圖 1 Lena圖像去噪效果對比Fig.1 Comparison of denoising results on Lena image

圖 2 Boat圖像去噪效果對比Fig.2 Comparison of denoising results on Boat image

圖 3 Peppers圖像去噪效果對比Fig.3 Comparison of denoising results on Peppers image

降噪模型Lena圖像Boat圖像Peppers圖像SNR/dBPSNR/dBMAESNR/dBPSNR/dBMAESNR/dBPSNR/dBMAEYK模型16.234 230.886 35.085 915.911 230.201 15.726 517.579 731.260 74.864 4MRHA模型17.086 331.761 24.616 416.429 030.792 85.314 318.266 231.987 84.432 4MRHB模型17.076 231.688 34.870 216.639 730.915 05.422 518.635 432.270 44.589 5張量PM模型17.071 731.705 94.672 416.495 930.783 25.347 118.327 931.985 94.513 7張量自蛇模型17.091 631.700 04.679 616.291 330.511 05.478 618.238 231.847 04.624 7本文模型17.405 132.020 04.424 016.831 231.042 85.144 718.754 132.402 24.288 3

5 結(jié)束語

本文提出一種基于結(jié)構(gòu)張量的各向異性四階偏微分降噪模型， 該模型利用圖像的局部幾何信息， 根據(jù)圖像結(jié)構(gòu)張量的行列式和跡作為圖像幾何結(jié)構(gòu)的邊緣檢測因子， 并依據(jù)圖像結(jié)構(gòu)張量的特征向量作為圖像幾何結(jié)構(gòu)的方向信息， 自適應(yīng)地在圖像的邊緣方向和梯度方向進(jìn)行不同強(qiáng)度的擴(kuò)散， 從而可以有效地去除噪聲、 克服階梯效應(yīng)， 同時又能較好地保持圖像的邊緣細(xì)節(jié). 與YK模型、 MRHA模型、 MRHB模型、 張量PM模型和張量自蛇模型相比表明， 該模型不僅具有更好的去噪效果， 而且具有更好的定向擴(kuò)散能力和對圖像的邊緣細(xì)節(jié)特征的保護(hù)能力.