一類和號(hào)內(nèi)含有未知函數(shù)差分的二重和差分不等式中未知函數(shù)的估計(jì)

黃星壽， 王五生， 羅日才

(河池學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 廣西 宜州 546300)

研究發(fā)現(xiàn), Gronwall-Bellman 型積分不等式[1-2]及其推廣形式是研究微分方程、 積分方程和微分-積分方程解的存在性、 有界性和唯一性等定性性質(zhì)的重要工具, 人們不斷地研究它的各種推廣形式[3-8], 使其應(yīng)用范圍不斷地?cái)U(kuò)大. 由于積分號(hào)內(nèi)包含未知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的積分不等式在研究微分-積分方程中具有重要作用, Pachpatte 在他的專著[9]中研究了下面的積分號(hào)內(nèi)含有未知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的線性積分不等式

t∈R+,(1)

和

同時(shí), 隨著積分不等式理論及差分方程理論的發(fā)展, 不少學(xué)者更關(guān)注 Gronwall-Bellman型不等式的離散形式及其推廣形式[9-15]. Pachpatte 在他的專著[16]中研究了以下和號(hào)內(nèi)含有未知函數(shù)差分的線性和差分不等式

N0,(3)

Akin-bohner等[17]在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究了時(shí)標(biāo)上的線性積分不等式

Zareen[18]更進(jìn)一步研究了積分號(hào)內(nèi)含有未知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的非線性積分不等式

R+.(9)

本文作者受文獻(xiàn)[16-18]的啟發(fā), 研究了和號(hào)外具有非常數(shù)因子, 且和號(hào)內(nèi)含有未知函數(shù)及其差分的非線性二重和差分不等式

Δu(t)≤w(t)+

t∈[t0,∞).(10)

不等式(1)把文獻(xiàn)[16]中的不等式(5)推廣成非線性和差分不等式, 把文獻(xiàn)[18]中的不等式(9)推廣成和號(hào)外具有非常數(shù)因子的和差分不等式. 本文綜合利用分析技巧給出了不等式(10)中未知函數(shù)的估計(jì). 最后, 通過(guò)例子說(shuō)明了本文結(jié)果可以用來(lái)研究相應(yīng)類型的和差分方程解的性質(zhì).

1 主要結(jié)果與證明

引理1 假設(shè)函數(shù)a(t),b(t),c(t)都是定義在非負(fù)整數(shù)集合N上的非負(fù)已知函數(shù), 且函數(shù)a(t)是N上的增函數(shù), 未知函數(shù)u(t)滿足不等式

t∈N.(11)

t∈N.(12)

證明對(duì)于任意非負(fù)實(shí)數(shù)T∈N, 由不等式(11)可以看出

t∈N∩[0,T].(13)

把不等式(13)右端定義成函數(shù)v(t), 即

t∈N∩[0,T].(14)

由式(14)可以看出

u(t)≤v(t),v(0)=a(T),t∈N∩[0,T].(15)

求函數(shù)v(t)的差分得

Δv(t)=b(t)u(t)+c(t)u2(t)≤

b(t)v(t)+c(t)v2(t),t∈N∩[0,T].(16)

不等式(16)兩邊同除以v(t)得到

N∩[0,T].(17)

另外, 由微分中值定理知道， 存在ξ∈[v(t),v(t+1)], 有

綜合(17)和(18)推出

lnv(t+1)-lnv(t)≤b(t)+c(t)v(t),

t∈N+∩[0,N].(19)

把不等式(19)中的t改寫(xiě)成s, 然后兩邊對(duì)于s從0到t-1求和, 得到

t∈N+∩[0,N].(20)

再把不等式(20)的右端定義為函數(shù)w(t), 即

t∈N∩[0,T].(21)

由式(20)可以看出，w(t)是非負(fù)連續(xù)增函數(shù), 且

(22)

綜合式(20)和(21)得

v(t)≤ew(t),t∈N∩[0,T].(23)

求函數(shù)w(t)的差分得到

Δw(t)=c(t)v(t)≤c(t)ew(t),t∈N∩[0,T].(24)

不等式(24)兩邊同乘以-e-w(t)得到

-e-w(t)Δw(t)≥-c(t),t∈N∩[0,T].(25)

類似于式(17)～式(20)的證明過(guò)程, 由不等式(25)可以推出

N∩[0,T].(26)

由式(15), (22), (23)和(26)推出

u(t)≤v(t)≤exp(w(t))≤

t∈N∩[0,T].(27)

在式(27)中令t=T, 得到

u(T)≤

由于T的任意性, 式(28)可以寫(xiě)成

u(t)≤

t∈N.(29)

這就是所求的估計(jì)式.

定理1 假設(shè)w(t),p(t),a(t),c(t),d(t)都是定義在N上的非負(fù)已知函數(shù),u(t)和Δu(t)是定義在N上的滿足不等式(10)的未知函數(shù),u(0)>0. 若

成立. 則有不等式 (10) 中未知函數(shù)u(t)的估計(jì)式

[p(s)+a(s)+a(s)p(s)]R(s),t∈N,(31)

其中

(32)

A(t)∶=w(t)(1+a(t))+c(t)w2(t)+d(t),(33)

B(t)∶=p(t)+a(t)+a(t)p(t)+c(t)w(t)+2c(t)w(t)p(t),(34)

C(t)∶=c(t)p(t)+c(t)p2(t).(35)

證明為了對(duì)不等式(10) 中未知函數(shù)u(t)進(jìn)行估計(jì), 先把不等式(10)中的一部分定義成函數(shù)z(t)為

z(t)∶=w(t)+

t∈[t0,∞).(36)

由式(10)和式(36)可以看出

z(0)=u(0),u(t)≤z(t),

Δu(t)≤w(t)+p(t)z(t),t∈N.(37)

先求函數(shù)z(t)的差分, 利用式(37)推出

w(t)+p(t)z(t)+a(t)[z(t)+w(t)+p(t)z(t)]+

c(s)w(s)+2c(s)w(s)p(s)z(s)+c(s)p(s)+c(s)p2(s)z2(s),t∈N.(38)

再定義函數(shù)r(t)為

r(t)∶=z(t)+

t∈N.(39)

由式(39)可以看出

r(0)=z(0),z(t)≤r(t),t∈N.(40)

綜合式(38)～式(40)推出

Δz(t)≤w(t)(1+a(t))+[p(t)+a(t)+a(t)p(t)]z(t)+a(t)[r(t)-z(t)]=

w(t)(1+a(t))+[p(t)+a(t)p(t)]z(t)+a(t)r(t)≤w(t)(1+a(t))+

[p(t)+a(t)+a(t)p(t)]r(t),t∈N.(41)

求函數(shù)r(t)的差分得

Δr(t)=Δz(t)+c(t)w2(t)+d(t)+c(t)w(t)+2c(t)w(t)p(t)z(t)+

c(t)p(t)+c(t)p2(t)z2(t)≤w(t)(1+a(t))+[p(t)+a(t)+a(t)p(t)]r(t)+

c(t)w2(t)+d(t)+c(t)w(t)+2c(t)w(t)p(t)r(t)+c(t)p(t)+c(t)p2(t)r2(t)≤

w(t)(1+a(t))+c(t)w2(t)+d(t)+[p(t)+a(t)+a(t)p(t)+c(t)w(t)+2c(t)w(t)p(t)]r(t)+

c(t)p(t)+c(t)p2(t)r2(t)=A(t)+B(t)r(t)+C(t)r2(t),t∈N,(42)

式中：A(t),B(t),C(t)由定理中式(33)～式(35)定義.先把不等式(42)中的t改寫(xiě)成s, 然后兩邊關(guān)于s從t0到t求和, 得到

因?yàn)槭?43)具有引理1中不等式(11)的形式, 且滿足引理1中的條件, 利用引理1即可得到不等式(43)中r的估計(jì)

N.(44)

利用式(37)和式(40)， 式(44)可寫(xiě)成

N,(45)

其中,R(t)由式(32)定義. 把式(45)代入式(41)得

Δz(t)≤w(t)(1+a(t))+

[p(t)+a(t)+a(t)p(t)]R(t),t∈N.(46)

由式(46)進(jìn)一步得到

[p(s)+a(s)+a(s)p(s)]R(s),t∈N.(47)

把z(0)=u(0)代入式(47)得到

[p(s)+a(s)+a(s)p(s)]R(s),t∈N.(48)

利用式(37)中的關(guān)系式u(t)≤z(t)， 由式(48)得到定理所要求的不等式(10)未知函數(shù)u(t)的估計(jì)式(31).

2 應(yīng) 用

本文結(jié)果可以用來(lái)研究相應(yīng)類型的和差分方程解的性質(zhì). 現(xiàn)在考慮和差分方程

Δx(t)=w(t)+

推論1 假設(shè)方程(49)中|c|是正常數(shù)，w(t),p(t)和定理1中w(t),p(t)的定義相同.H∈C(N×R×R,R)滿足下列條件

|H(t,x,Δx)|≤a(t)[|x(t)|+|Δx(t)|]+

|x(s)|)+d(s)],(50)

a(t),c(t),d(t) 在定理1中的定義相同. 假設(shè)|c|,w(t),p(t),a(t),c(t),d(t)滿足

如果x(t)是方程(49)的解, 那么有方程解的模的估計(jì)式

其中

A(t),B(t),C(t)在定理1中的式(33)～式(35)中定義.

證明利用條件(50), 由方程(49)推出

由于式(52)具有不等式(10) 的形式, 且滿足定理1中的相應(yīng)條件, 利用定理1就可以得到所求的方程解的模的估計(jì)式(51).