一種新的廣義二次相關(guān)時(shí)延估計(jì)算法

朱 超，屈曉旭，婁景藝

(海軍工程大學(xué)，湖北 武漢 430033)

0 引 言

時(shí)延作為表示信號特征的一個(gè)重要參數(shù)，隨著信息通信技術(shù)的飛躍式發(fā)展，時(shí)延估計(jì)在信號處理領(lǐng)域成為人們研究的熱點(diǎn)問題?；緯r(shí)延估計(jì)要解決的問題是對2個(gè)接收目標(biāo)信號進(jìn)行處理，準(zhǔn)確快速地估計(jì)和測量接收信號之間因信號傳輸過程中通道的不同而引起的時(shí)間延遲[1]。廣義互相關(guān)(GCC)時(shí)延估計(jì)是一種最基本、最常用的時(shí)延估計(jì)方法，該方法是利用加權(quán)函數(shù)來增加信號的有用成分，銳化了相關(guān)函數(shù)的峰值。根據(jù)其加權(quán)形式和準(zhǔn)則的不同，有ROTH加權(quán)、SCOT加權(quán)、PHAT加權(quán)和HB加權(quán)等廣義相關(guān)時(shí)延估計(jì)方法[2]。在以上加權(quán)方法中，HB加權(quán)的廣義互相關(guān)時(shí)延估計(jì)性能可以達(dá)到克拉美羅界。但在低信噪比環(huán)境中，由于干擾噪聲的影響，廣義互相關(guān)方法的時(shí)延估計(jì)性能會急劇惡化。而二次相關(guān)時(shí)延估計(jì)算法可以利用二次相關(guān)來有效抑制噪聲的干擾進(jìn)而提高抗噪聲性能，但二次相關(guān)時(shí)延估計(jì)的時(shí)延精度還有待提高。為此，本文基于廣義互相關(guān)時(shí)延估計(jì)和二次相關(guān)時(shí)延估計(jì)，同時(shí)利用希爾伯特變換具有把偶函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)槠婧瘮?shù)的特點(diǎn)進(jìn)行相關(guān)希爾伯特差值法運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)對2個(gè)接收信號二次互相關(guān)函數(shù)峰值的銳化處理，改善了二次互相關(guān)函數(shù)峰值點(diǎn)的檢測效果，增大了時(shí)延估計(jì)的精度。本文分別比較了傳統(tǒng)互相關(guān)算法、二次互相關(guān)算法和本文提出的算法在時(shí)延估計(jì)的準(zhǔn)確性和平穩(wěn)性。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的新算法在低信噪比環(huán)境下的時(shí)延估計(jì)性能有了明顯的改善。

1 基本時(shí)延估計(jì)信號模型

在進(jìn)行接收信號的基本時(shí)延估計(jì)前，首先要給定2個(gè)接收信號的模型。互相關(guān)(CC)是用來比較2個(gè)信號或函數(shù)在時(shí)域相似程度的基本方法。時(shí)延估計(jì)算法可以通過以下2個(gè)信號模型來分析：信源發(fā)射信號s(t)經(jīng)2個(gè)傳輸通道過程中加入了噪聲的信號x1(t)和x2(t)。設(shè)信號x1(t)和x2(t)滿足以下方程：

(1)

式中：A1和A2為發(fā)射信號的幅度參量，表示s(t)經(jīng)不同通道傳輸后的幅度增益和相位偏移；n1(t)和n2(t)代表未知的加性平穩(wěn)高斯白噪聲；τ1和τ2表示信號傳輸?shù)臅r(shí)延，且τ1≤τ2。

為表達(dá)方便，以x1(t)為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行歸一化，則式(1)可以重新表示成：

(2)

式(2)離散形式表示為：

(3)

式中：k=0,1,…,N-1；λ=A2/A1，表示2個(gè)接收信號的幅值比；D=τ2-τ1，表示所求時(shí)延值；N表示采樣點(diǎn)數(shù)。

2 基本時(shí)延估計(jì)算法分析

2.1 廣義互相關(guān)法

廣義互相關(guān)(GCC)時(shí)延估計(jì)是一種經(jīng)典的時(shí)延估計(jì)方法，其利用加權(quán)函數(shù)來增加信號的有用成分，通過計(jì)算2個(gè)接收信號的互相關(guān)函數(shù)峰值得到時(shí)延值[3-5]。其基本原理如下：x1(t)和x2(t)的互相關(guān)函數(shù)表示為：

R12(τ)=E[x1(t)x2(t+τ)]=

λRss(τ-D)+Rsn2(τ)+

λRn1s(τ-D)+Rn1n2(τ)

(4)

假設(shè)n1(t)和n2(t)是獨(dú)立于s(t)平穩(wěn)不相關(guān)的高斯白噪聲，則2個(gè)噪聲n1(t)、n2(t)與信號s(t)的互相關(guān)函數(shù)為：

Rn1s(τ-D)=E[n1(t)·s(t+τ-D)]=0

(5)

Rn2s(τ)=E[n2(t+τ)·s(t)]=0

(6)

噪聲n1(t)與n2(t)的互相關(guān)函數(shù)為：

Rn1n2(τ)=E[n1(t)·n2(t+τ)]=0

(7)

則：

R12(τ)=λRss(τ-D)，-∞<τ<+∞

(8)

由自相關(guān)函數(shù)|Rss(τ)|≤Rss(0)的性質(zhì)可知，當(dāng)τ=D時(shí)Rss(τ-D)最大，即R12(τ)也達(dá)到最大。因此，求得R12(τ)的峰值對應(yīng)的τ就是2個(gè)接收信號之間的時(shí)延。

為了克服基本互相關(guān)時(shí)延估計(jì)中易受環(huán)境噪聲影響的缺陷，廣義互相關(guān)時(shí)延估計(jì)算法利用加權(quán)函數(shù)增強(qiáng)了信號中信噪比的作用，從而提高了時(shí)延估計(jì)精度[6]。在此基礎(chǔ)之上，通過頻域加權(quán)函數(shù)對信號進(jìn)行前置濾波，盡量抑制噪聲的干擾，然后對加權(quán)后的函數(shù)進(jìn)行互相關(guān)運(yùn)算，獲得其峰值。

根據(jù)維納-辛欽定理可知，互相關(guān)函數(shù)與其互功率譜密度互為傅里葉變換對，則x1(t)和x2(t)的互相關(guān)函數(shù)又可以表示為：

(9)

式中：G12(ω)為x1(t)和x2(t)的互功率譜函數(shù)。

當(dāng)x1(t)和x2(t)經(jīng)過濾波之后，輸出信號的互功率譜函數(shù)可以寫為：

(10)

所以，信號x1(t)和x2(t)的廣義互相關(guān)函數(shù)可表示為：

(11)

在時(shí)延估計(jì)過程中，可以通過選取不同加權(quán)函數(shù)來針對不同類型的干擾噪聲進(jìn)行適當(dāng)?shù)臑V波處理，使噪聲干擾的影響得到有效抑制[7]，然后會使得R12(τ)有一個(gè)峰值相對較大、較尖銳，其對應(yīng)的橫坐標(biāo)即為所求時(shí)延，從而提高時(shí)延估計(jì)精度。Hassab和Boucher在期望信號峰值與輸出噪聲之比為最大的準(zhǔn)則下，導(dǎo)出了HB加權(quán)函數(shù)[8]。利用HB加權(quán)的廣義相關(guān)時(shí)延估計(jì)算法可以達(dá)到克拉美羅界，在實(shí)際應(yīng)用中具有較好的性能。

2.2 廣義二次相關(guān)法

在廣義互相關(guān)時(shí)延估計(jì)算法的基礎(chǔ)上，廣義二次相關(guān)法是廣義互相關(guān)時(shí)延估計(jì)算法的改進(jìn)，該算法先對2個(gè)接收信號進(jìn)行互相關(guān)運(yùn)算，再對其中一個(gè)接收信號進(jìn)行自相關(guān)運(yùn)算，然后利用得到的互相關(guān)和自相關(guān)函數(shù)，再進(jìn)行第2次互相關(guān)運(yùn)算，以提高信號的抗干擾能力[9-13]。信號x1(t)的自相關(guān)函數(shù)為：

R11(τ)=E[x1(t)x1(t+τ)]=

Rss(τ)+Rsn1(τ)+Rn1s(τ)+Rn1n1(τ)

(12)

2個(gè)接收信號的互相關(guān)函數(shù)為：

R12(τ)=E[x1(t)x2(t+τ)]=

λRss(τ-D)+Rsn2(τ)+

λRn1s(τ-D)+Rn1n2(τ)

(13)

假設(shè)忽略信號和噪聲的互相關(guān)函數(shù)，噪聲為非相關(guān)的高斯白噪聲。根據(jù)白噪聲的自相關(guān)數(shù)學(xué)特性，Rn1n1(τ)在τ=0處為沖激函數(shù)，在信噪比低的情況下需要考慮其影響，在τ≠0時(shí)幅度會劇減，可以忽略其影響。由于R11(τ)和R12(τ)依然是時(shí)間的函數(shù)，對R11(τ)和R12(τ)再做互相關(guān)，即可得到二次相關(guān)函數(shù)：

RRR(τ)=E[R11(t)R12(t+τ)]

(14)

將式(12)和式(13)代入式(14)中得到：

RRR(τ)=λRss(τ-D)+Rn1n2(τ)

(15)

式中：Rss(τ-D)表示信源發(fā)射信號做二次互相關(guān)；Rn1n2(τ)代表噪聲做二次互相關(guān)。

同廣義互相關(guān)法一樣，根據(jù)相關(guān)函數(shù)的特性，當(dāng)τ=D時(shí)Rss(τ-D)取最大值，因此找出其峰值，峰值橫坐標(biāo)所對應(yīng)的位置即為所求時(shí)延值。

2.3 相關(guān)希爾伯特差值法

為了在相關(guān)函數(shù)峰值較為平坦時(shí)，使時(shí)延估計(jì)也能準(zhǔn)確進(jìn)行，根據(jù)對希爾伯特變換的定義和性質(zhì)的了解，利用奇函數(shù)的希爾伯特變換是偶函數(shù)，偶函數(shù)的希爾伯特變換是奇函數(shù)的性質(zhì)，可以把經(jīng)典的廣義互相關(guān)時(shí)延估計(jì)算法中峰值檢測處理互相關(guān)函數(shù)用過零點(diǎn)檢測來代替[14-15]。希爾伯特變換時(shí)延估計(jì)在一定程度上降低了干擾噪聲對信號時(shí)延估計(jì)準(zhǔn)確度的影響，但是當(dāng)處在復(fù)雜環(huán)境時(shí)，信源發(fā)射信號受到噪聲和其它干擾的影響較大，時(shí)延估計(jì)值在信號波形中對應(yīng)的零點(diǎn)附近很大可能會出現(xiàn)波動現(xiàn)象，因而出現(xiàn)了多個(gè)過零點(diǎn)情況，就會很難判斷出時(shí)延估計(jì)值對應(yīng)的真正零點(diǎn)，導(dǎo)致時(shí)延估計(jì)誤差增大。而且，當(dāng)信號序列長度較長時(shí)，也會出現(xiàn)多個(gè)過零點(diǎn)情況，必須采用其它的算法加以輔助改善。

針對上面的情況，相關(guān)希爾伯特差值法的提出有效地解決了這一問題。相關(guān)希爾伯特差值法的定義就是將互相關(guān)函數(shù)與其希爾伯特變換后的函數(shù)的絕對值做差處理，即：

(16)

相關(guān)希爾伯特差值法既保留了峰值附近的值，又使峰值外其余部分值的相關(guān)性減小了，從而使接收信號相關(guān)函數(shù)波形的主峰值尖銳程度明顯增加。相關(guān)希爾伯特差值算法不但起到提高時(shí)延估計(jì)精度的作用，而且算法簡單，易實(shí)現(xiàn)。

2.4 新算法原理

總結(jié)了HB加權(quán)廣義互相關(guān)時(shí)延估計(jì)和二次相關(guān)時(shí)延估計(jì)算法各自的優(yōu)點(diǎn)與不足，在二者的基礎(chǔ)上，同時(shí)利用相關(guān)希爾伯特差值法，本文提出了一種新的廣義二次相關(guān)時(shí)延估計(jì)算法，稱之為HB加權(quán)廣義二次相關(guān)希爾伯特差值時(shí)延估計(jì)算法。新算法流程圖如圖1所示，()*表示取共軛運(yùn)算，|·|代表取絕對值。

圖1 新算法流程圖

與傳統(tǒng)互相關(guān)算法不同的是，在功率譜密度函數(shù)進(jìn)行加權(quán)處理以前，新算法首先對接收信號x1(t)和x2(t)進(jìn)行快速傅里葉變換，減少了互相關(guān)算法計(jì)算處理的時(shí)間，提高了算法的實(shí)時(shí)性，然后將得到的信號自相關(guān)與互相關(guān)看作新的信號，進(jìn)行二次相關(guān)處理，從而得到二次相關(guān)互功率譜RRR(ω)函數(shù)，大大減少了噪聲對信號的影響，接著HB加權(quán)處理增加了接收信號功率譜密度中的信源發(fā)射信號成分，然后進(jìn)行快速傅里葉逆變換，再利用希爾伯特差值法銳化互相關(guān)函數(shù)的峰值，達(dá)到提高時(shí)延估計(jì)精度的目的，最后對得到的HB加權(quán)廣義二次相關(guān)希爾伯特差值序列進(jìn)行峰值檢測，就獲得了時(shí)延估計(jì)值。

3 仿真與分析

為了驗(yàn)證新算法的時(shí)延估計(jì)性能，下面通過MATLAB首先仿真了二次相關(guān)法，然后對新算法和HB加權(quán)廣義互相關(guān)時(shí)延估計(jì)算法在不同信噪比環(huán)境下進(jìn)行仿真對比說明。仿真構(gòu)造了加有平穩(wěn)高斯白噪聲的2個(gè)通道接收信號，仿真中采用的接收信號幅度為10，頻率為1 kHz的單頻正弦波信號，采用采樣頻率為50 kHz，采樣點(diǎn)數(shù)為1 024，對2個(gè)通道接收到的信號進(jìn)行采樣。假設(shè)2個(gè)信號之間的延遲為100個(gè)采樣間隔，即延遲時(shí)間τ=2 ms的正弦波來仿真模擬2個(gè)不同通道的接收信號，其中噪聲是平穩(wěn)高斯白噪聲。假設(shè)信號與噪聲、噪聲與噪聲都是相互獨(dú)立的，σSNR1和σSNR2為接收信號的信噪比，信噪比(SNR)的定義為σSNR=20lg(σs/σn)，其中σs和σn分別是信號和噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差。當(dāng)σSNR1=5 dB，σSNR2=15 dB時(shí)，二次相關(guān)法的時(shí)延估計(jì)仿真結(jié)果如圖2所示，在信噪比σSNR1=5 dB，σSNR2分別為15 dB、5 dB、-5 dB和-15 dB的環(huán)境下，HB加權(quán)廣義互相關(guān)時(shí)延估計(jì)算法的仿真結(jié)果和新算法的仿真結(jié)果分別如圖3、圖4、圖5和圖6所示。

圖2 σSNR2=15 dB時(shí)二次相關(guān)法的仿真結(jié)果

圖3 σSNR2=15 dB時(shí)的仿真結(jié)果

圖4 σSNR2=5 dB時(shí)的仿真結(jié)果

圖5 σSNR2=-5 dB時(shí)的仿真結(jié)果

對比圖2和圖3可以看出，在信噪比σSNR1=5 dB，σSNR2=15 dB時(shí)，二次相關(guān)法的相關(guān)函數(shù)峰值受周期信號影響較大，峰值不明顯，而HB加權(quán)廣義互相關(guān)和新算法都具有銳化相關(guān)函數(shù)峰值的作用，信號相關(guān)函數(shù)的峰值都比較尖銳，時(shí)延估計(jì)效果也差別不大，都能準(zhǔn)確估計(jì)出時(shí)延值。從圖4中得知，在信噪比σSNR1=σSNR2=5 dB時(shí)，新算法相比較于HB加權(quán)廣義互相關(guān)法的相關(guān)函數(shù)的峰值更加尖銳，具有較好的時(shí)延估計(jì)精度。從圖5和圖6中來看，隨著信噪比σSNR2的降低，HB加權(quán)廣義互相關(guān)法的時(shí)延估計(jì)峰值受噪聲的影響變化變大，在信噪比σSNR2=-15時(shí)，其時(shí)延估計(jì)峰值幾乎淹沒在噪聲之中，甚至無法進(jìn)行有效的時(shí)延估計(jì)；而新算法隨著信噪比σSNR2的下降，雖然時(shí)延估計(jì)性能有所下降，但還保持著較尖銳的相關(guān)函數(shù)峰值，具有一定的抗干擾能力，達(dá)到在低信噪比環(huán)境下仍可獲得較為準(zhǔn)確的時(shí)延估計(jì)值的需求。

為進(jìn)一步驗(yàn)證所提算法的時(shí)延估計(jì)的有效性，下面對3種不同時(shí)延估計(jì)算法的性能進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，比較不同算法在信噪比σSNR2從-20 dB到10 dB時(shí)的均方根誤差(RMSE)，均方根誤差定義為：

(17)

式中：τ0為真實(shí)時(shí)延值；τi為第i個(gè)時(shí)延估計(jì)值；N為時(shí)延估計(jì)總數(shù)。

本文進(jìn)行N=30的仿真實(shí)驗(yàn)，仿真結(jié)果如圖7所示。

圖7 不同算法估計(jì)性能比較仿真結(jié)果

從圖7中仿真結(jié)果可知，隨著信噪比的降低，3種算法的均方根誤差RMSE都會變大。在信噪比從0～10 dB時(shí)，3種算法的估計(jì)性能差別不大；從-20～0 dB時(shí)廣義互相關(guān)算法和廣義二次相關(guān)算法的RMSE會隨著信噪比的降低而迅速變大，而新算法變化較為緩慢，仍具有較好的時(shí)延估計(jì)性能。無論信噪比大小，新算法都比另外2種算法具有更好的時(shí)延估計(jì)性能。

4 結(jié)束語

結(jié)合廣義互相關(guān)時(shí)延估計(jì)和二次相關(guān)時(shí)延估計(jì)的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)利用希爾伯特變換的性質(zhì)，本文提出了一種HB加權(quán)廣義二次相關(guān)希爾伯特差值時(shí)延估計(jì)算法。在低信噪比下，新算法在時(shí)延估計(jì)的準(zhǔn)確性和平穩(wěn)性方面比HB加權(quán)廣義互相關(guān)算法表現(xiàn)出更好的特性，時(shí)延估計(jì)性能有了明顯的改善。