核心素養(yǎng)下高中數學問題解決策略 楊 勇/60

摘 ? 要

在解決數學問題中運用五個方面的策略，把數學知識、數學技能、活動經驗、思想方法等融入其中，提高學生發(fā)現和提出問題、分析和解決問題的能力，促進學生數學核心素養(yǎng)的發(fā)展。

關鍵詞

問題情境 問題提出 ?問題表征 ?問題交流 ?問題拓展

數學核心素養(yǎng)是適應學生終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關鍵數學能力，具體包括六個維度：數學抽象、數學建模、數學運算、數據分析、直觀想象和邏輯推理。數學核心素養(yǎng)是在學習和應用數學中不斷發(fā)展的，是在問題情境中從數學角度發(fā)現和提出問題、分析和解決問題的實踐中長期形成的能力和品質。具備數學核心素養(yǎng)具體表現為學生學習數學之后，哪怕將來從事的工作與數學無關，也應當會用數學的眼光觀察世界，會用數學的思維思考世界，會用數學的語言表達世界[1]。問題解決是由一定的情境引起，按照目標，應用各種認知活動、技能等，經過一系列的思維操作，最終解決問題的過程。引導學生自主解決問題，能提升學生理解問題本質、尋找解決策略的能力，促進學生學會如何思考。同時，數學知識、數學技能、數學思想方法等在解決問題過程中得到鞏固和提升，學生的數學核心素養(yǎng)也得到了相應培養(yǎng)和發(fā)展。

一、問題解決與數學素養(yǎng)

問題解決與數學素養(yǎng)之間存在密切的聯系。有研究者認為，學生在問題解決的過程中需要分析問題的結構特征，需要對問題的解決方案進行分析、比較，并解釋、證明策略的合理性;如果教師強調學生對問題的理解，那么可以促進學生尋找相關的信息，理解問題的整體，而不是問題的某些部分;探究當前問題與已經解決過的問題之間的相似之處與不同之處可以幫助學生整合有效信息，等等，當問題解決過程中所有的這些綜合起來時，促進數學素養(yǎng)的心理表征就建構起來了。數學素養(yǎng)能促進學習者對現實世界中所蘊含的數學問題的認識和理解，它使學習者發(fā)展能力以便分析、解釋情境并解決問題。

問題解決與數學素養(yǎng)之間存在積極的關系，并且能相互影響、相互促進。順利的問題解決過程需要一定水平的數學素養(yǎng)，隨著數學素養(yǎng)水平的提升，學生能成為更好的數學問題解決者。問題解決的過程有助于數學素養(yǎng)的發(fā)展。非常規(guī)的、復雜的、具有不同解決方法的、基于很多數學知識和技能的、要求使用不同表征方式的、具有數學情境的問題解決過程更能促進學生數學素養(yǎng)的發(fā)展。數學核心素養(yǎng)在新修訂的高中數學課程標準中已經被提出，是數學課程目標的集中體現，本文討論數學核心素養(yǎng)視角下如何進行問題解決教學。

二、在問題解決教學中發(fā)展數學核心素養(yǎng)的策略

在數學課堂教學中，問題解決是一個過程性的學習活動，問題解決教學具體包含了很多要素，以下從問題情境、問題提出、問題表征、問題交流、問題拓展等要素來論述其對數學核心素養(yǎng)發(fā)展的影響。這些要素對問題解決教學的順利進行都具有一定的影響，進一步影響數學核心素養(yǎng)的發(fā)展。

1.注重問題情境

呂傳漢、汪秉彝兩位教授認為：數學情境是一種以激發(fā)學生問題意識為價值取向的刺激性的數據材料和背景信息，是從事數學活動的環(huán)境，產生數學行為的條件[2]。由問題解決的內涵可知，問題解決是由一定的情境引起，通常從設置問題情境入手。數學問題解決則要從一定的數學情境切入，數學情境包括現實情境和純數學情境。在PISA測試學生數學素養(yǎng)的過程中，主要是要求學生將真實情境中的問題轉化為數學中的問題;應用數學概念、推理和思想方法解決數學問題，得到數學結果，再把這個結果轉換到真實的情境中。PISA測試可以簡單地理解為，在情境中，通過問題解決來測試學生的數學素養(yǎng)。因此，通過問題解決來發(fā)展數學核心素養(yǎng)，問題情境的設計是必不可少的。問題情境是學生參與問題解決的過程進而發(fā)展數學核心素養(yǎng)的場域和環(huán)境。

例如，PISA2012中的一道真題，以“研發(fā)供航行中船只使用的風力能源來降低柴油消耗和燃料對環(huán)境的影響”為情境，并給出相關數據，以“大約需要多少年，省下來的柴油費用就可以抵消裝設風箏帆的成本？”為需要解決的問題，要求學生解決復雜的真實情境中有關節(jié)省成本和燃料消費的問題。在此情境中，通過解決問題，可以考察并發(fā)展學生的數學運算素養(yǎng)。當然，數學核心素養(yǎng)的發(fā)展既需要現實情境也需要純數學情境。以數學史為題材的問題;數學探究中引發(fā)的新問題;由逐漸深化、層層遞進的、具有內在聯系的數學問題組成的數學探究活動等純數學情境也可以用來引發(fā)問題解決?？傊?，問題解決是發(fā)展數學核心素養(yǎng)的有效方式，而問題情境是問題解決過程得以進行的場域，通過問題解決的方式提升學生的數學核心素養(yǎng)首先要注重問題情境的設計。

2.提倡問題提出

問題解決在數學課堂中受到了很高的重視，學生通常被要求解決教師提供的或者教材中呈現的問題，但學生很少有機會在數學課堂中自己提出數學問題。從問題解決的視角來進行數學教學，不應該只是側重于解決非常規(guī)的數學問題，還應該鼓勵學生在給定的情境中提出問題或者通過修改已給問題的條件來創(chuàng)設新的問題。問題提出既可以發(fā)生在問題解決的過程中，也可以發(fā)生在問題解決之前和問題解決之后。數學問題提出可以作為創(chuàng)造性數學活動或突出數學能力的特征，可以作為探究性數學教學的特征，可以作為促進學生問題解決的手段，可以作為觀察學生數學理解的方式，還可以作為改善學生對待數學的態(tài)度的手段，等等。問題提出是問題解決的前提，只有先把問題提出來了，才有問題可解決。在問題解決教學的過程中，讓學生親身經歷問題提出的過程，由此引發(fā)學生進行數學思考、思維發(fā)散、增強創(chuàng)新意識和創(chuàng)造力，從而適應新形勢下數學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求。在提出問題的過程中，可以通過在情境中抽象出數學問題和根據已有問題提出新問題及相應的思考、思維過程來發(fā)展學生的數學抽象、邏輯推理、數學建模等數學核心素養(yǎng)。

例如，設置一個情境：在不同大小的桌子上，假設一個球以45度角從桌子的左下角進入（圖1中點A），當球撞到桌子的一邊時以45度角反彈，球撞到桌邊幾次后最終會進入一個桌角的袋子中？在圖1左圖中，球在一個6×4大小的桌子上進入并反彈，反彈了三次最后進入桌角D中的袋子中;圖1 右圖中球在一個4×2大小桌子上進入并反彈，反彈一次最后進入桌角B中的袋子中。問題：試想不同大小的桌子的情形，考慮盡可能多的情況，分析球分別什么時候進入桌角A、B、C、D的袋子中？在解決以上問題的過程中，你可能會碰到其他的問題，請寫出你能想到的任何其他問題。這個例子鼓勵學生在給定的情境中提出問題，并且設置了問題來引導學生尋找問題提出的角度。在解決已給問題的基礎上，提出問題能促進學生進行思考、歸納概括，從而發(fā)展數學抽象、邏輯推理等數學核心素養(yǎng)。

3.關注問題表征

全美數學教師理事會推出的《學校數學教學的原則和標準》把表征定義為一種獲取、運用數學知識的方式，并強調所有K-12年級的學生應該運用表征來組織、記錄、交流數學思想;在各種數學表征之間進行選擇、運用、轉換以解決問題;運用表征進行建模，解釋物理的、社會的、數學的現象。在數學問題解決的過程中，從問題情境中提出問題之后，應該根據需要解決的問題對相關內容進行表征和轉化，以便更好地從數學的角度解決問題。多種表征讓學生把數學當作一個整體來學習，而不是一些沒有聯系的概念，從而更透徹地理解數學知識，這在數學教育中是常見的，多種表征作為數學課堂中促進學習的一種教學技術已經獲得了廣泛的關注。用文字、符號、圖形、模型等不同的方式表征同一個數學問題，不僅有利于學生全面把握數學問題、更順利地解決數學問題，也有利于教師洞察學生對數學問題和數學知識的理解。在數學問題解決的教學中，教師和學生共同努力，通過對情境中的問題及相關內容進行表征，發(fā)展數學建模、數據分析等數學核心素養(yǎng)。

例如，在解決線性方程有關的問題中，用符號、文字、表格以及圖形等不同方式來表征問題解決中出現的方程式，這些表征方式之間的相互影響對加強數學理解極其重要。那些能夠畫出線性方程圖象卻不能用表格形式進行表征的學生對線性方程的理解就是不全面的，數學知識是發(fā)展數學核心素養(yǎng)的基礎，對數學知識理解不全面，數學核心素養(yǎng)的發(fā)展就會受阻。在解決數據的描述與分析問題時，需要用表格、圖形、文字等多種方式對問題進行表征才能更好地解決問題，對表征相關的技能掌握得不全面，就不能順利地對數據進行描述和分析，從而影響數據分析這一數學核心素養(yǎng)的發(fā)展。

4.加強問題交流

當學生交流數學時，他們的語言表達和思維過程可以得到鍛煉，這對于發(fā)展數學素養(yǎng)是非常有幫助的。交流包括兩個方面，通過交流去學習數學以及學會數學地交流，有聽、讀、報告、討論等多種形式。交流活動更多地發(fā)生在問題解決的過程中，當學生與他人大聲討論時，他們對數學概念、數學思想方法等會有更深刻的理解，就像數學教師向學生解釋數學概念時，他們對數學的理解能得到鞏固。學生會發(fā)現，當向他人解釋數學概念時，可以檢驗自己的掌握情況，或許會發(fā)現他們對概念的掌握沒有自己想象得牢固。問題解決中的交流活動不僅對學生有要求，對教師同樣有要求。教師需要以發(fā)展數學核心素養(yǎng)為目標，提出能夠挑戰(zhàn)學生思維的問題，把數學交流有效融入問題解決的過程中;創(chuàng)造相互信任和尊重的課堂氛圍讓學生在其中進行數學交流，并督促學生進行交流以便達到重要的學習目標;確保所有的學生都有機會參與其中，對數學內容、數學思想、交流質量做出反饋以便進一步鼓勵課堂交流，實現以促進交流來發(fā)展學生的數學核心素養(yǎng)的課堂教學目標。

例如，在講授函數單調性的概念中，讓學生用符號語言來刻畫函數單調性的定義是個難點。教師要引導學生在獨立思考的基礎上進行分組合作，在充分地交流探討中不斷修正和提煉，經歷由具體到抽象、由圖形語言到符號語言的表達過程，體會全稱量詞、存在量詞等邏輯用語的作用，感受其中數與形、部分與整體的聯系，最后自己歸納出增（減）函數的定義及其應用。每一位學生都能在思考與表達、合作與交流中體驗成功的喜悅，數學抽象、數學運算、邏輯推理等素養(yǎng)也得到了相應地發(fā)展[3]。

5.重視問題拓展

數學核心素養(yǎng)具有階段性、綜合性和持久性的特征。綜合性是指數學核心素養(yǎng)是數學知識和能力、數學思考和態(tài)度等的綜合體現;持久性是指數學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)不僅有助于學生對數學知識的理解與把握，還會伴隨學生的進一步學習以及滲透到將來的生活和工作中。根據數學核心素養(yǎng)的特點，學生數學核心素養(yǎng)的發(fā)展既是橫向的也是縱向的，既要考慮學生在數學方面的綜合發(fā)展而不僅僅是數學知識的發(fā)展，又要考慮學生在數學方面的長遠發(fā)展而不僅僅是只考慮眼前的教學目標。在問題解決教學的過程中發(fā)展數學核心素養(yǎng)，除了注意問題情境的設置、問題提出、問題表征、問題交流，在問題已經被順利解決之后，還要重視在已解決問題的基礎上對問題進行拓展延伸，為后面的問題解決及數學學習打下基礎，也為數學核心素養(yǎng)綜合、持久地發(fā)展打下基礎。

例如，在解決圓錐曲線的一類過定點問題時，解決問題“已知A，B是拋物線y2=2px（p>0）上兩點，O為坐標原點，并滿足OA⊥OB，求證：直線AB經過定點?！敝?，再以此為基礎對問題進一步拓展，鼓勵學生解決問題“已知A，B是拋物線y2=2px（p>0）上兩點，O為坐標原點，并滿足KOA·KOB=？姿，求證：直線AB經過定點?！边@樣的拓展問題能讓學生更深刻地理解、更好地解決圓錐曲線的一類過定點問題。同時，把拋物線相關問題的數學技能遷移到其他圓錐曲線類似的問題中，在圓錐曲線的各類曲線中促進知識遷移，從而更好地掌握圓錐曲線的相關內容。因此，對問題進行拓展不僅能豐富相關的數學知識、技能，還能進行知識、技能的總結與延伸，為后續(xù)的學習奠定基礎。作為數學核心素養(yǎng)發(fā)展的基礎，數學知識與技能的不斷豐富為數學核心素養(yǎng)的綜合、持久發(fā)展起到促進作用，而對問題進行拓展常常能涉及到抽象、推理的過程，這在數學核心素養(yǎng)發(fā)展的過程中起到很重要的作用。

總之，問題解決在數學核心素養(yǎng)發(fā)展的過程中能起到較大的推動作用，這體現在問題情境是問題解決的場域，問題提出是問題解決的前提，問題表征在問題解決中起轉化的作用，問題交流在問題解決中是過程性的數學活動，問題拓展是對問題解決的延續(xù)。這些因素在問題解決過程中發(fā)揮重要作用，從而促進數學核心素養(yǎng)的發(fā)展，具體關系見圖2。

數學核心素養(yǎng)的課程目標要求學生學會從數學的角度思考問題，用數學的思維分析問題，用數學方法解決問題，為了達成課程目標，數學核心素養(yǎng)理念最終還要落實在教學上，通過教師和學生的共同努力來達成。基于核心素養(yǎng)導向的數學教學需要對教學進行精心設計，以達夯實基礎力、提升思考力、增強實踐力與創(chuàng)造力的目的[4]。問題解決教學就是基于數學核心素養(yǎng)導向的數學教學的一種可行方式，在問題解決教學的過程中，通過創(chuàng)設恰當的問題情境，提出合理的數學問題，學生可以進行積極思考、與同學及教師交流想法、鍛煉數學思維、在實際應用中掌握數學知識及技能、領悟數學思想方法，這些都有助于形成和發(fā)展數學核心素養(yǎng)、達成數學課程目標。在數學核心素養(yǎng)視角下的問題解決教學過程中，教師需要明確數學核心素養(yǎng)的教學目標、創(chuàng)設良好的問題解決環(huán)境、設計恰當的問題、鼓勵學生融入問題解決的過程中、激發(fā)學生問題解決的意識，才能在數學教學中落實學生數學核心素養(yǎng)的發(fā)展，有效促進數學課程目標的實現。

參考文獻

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[3] 楊勇.基于核心素養(yǎng)的高中數學概念教學的誤區(qū)及對策[J].數學教學研究，2018（07）.

[4] 劉錦，李龍安，侯學萍.基于核心素養(yǎng)導向的中學數學教學思考[J].現代中小學教育，2016，32（10）.

【責任編輯 ?郭振玲】