利用洛倫茲力分量式巧解2018年全國(guó)卷壓軸題

崔琰 馬朝華

摘要：2018年全國(guó)高考理綜Ⅰ卷和Ⅱ卷的第25題均以帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)的復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)為命題背景，加入了繁雜的數(shù)學(xué)計(jì)算的考查.運(yùn)用“洛倫茲力分量式”的方法進(jìn)行巧解，規(guī)避了復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算，可供廣大教師和同學(xué)參考.

關(guān)鍵詞：壓軸題；洛倫茲力分量式；帶電粒子運(yùn)動(dòng)

作者簡(jiǎn)介：崔琰（1982-），男，天津人，博士研究生，海淀區(qū)物理教研員，研究方向：中學(xué)物理教學(xué)；

馬朝華（1969-），女，北京人，中學(xué)高級(jí)教師，海淀區(qū)物理教研員，研究方向：中學(xué)物理教學(xué).

2018年全國(guó)高考理綜Ⅰ卷和Ⅱ卷的第25題，即物理壓軸題，以帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)的復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)為命題背景，加入了繁雜的數(shù)學(xué)計(jì)算考查.這兩道題的難點(diǎn)在于帶電粒子在交替存在的電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情景，非常難以理解，且常規(guī)解法還需要用到平面幾何等數(shù)學(xué)知識(shí)，非常繁瑣.本文運(yùn)用“洛倫茲力分量式”的方法對(duì)此題進(jìn)行巧解，規(guī)避了復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算.

1洛倫茲力分量式方法

電荷量為q某一帶電粒子，在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其速度大小為v，方向垂直于磁場(chǎng)方向，則該帶點(diǎn)粒子所受的洛倫茲力的大小f = qvB，方向垂直于B 和v.帶電粒子在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，在y方向上的分速度vy 產(chǎn)生沿x方向的洛倫茲力fx；在x方向上的分速度vx產(chǎn)生沿y方向的洛倫茲力fy，如圖1所示.

由此可以得到，洛倫茲力x方向上的分量式[1]為fx=qvyB①

根據(jù)牛頓第二定律可知fx=max=mdvxdt②

聯(lián)立①、②兩式可以得到qBvydt = mdvx ③

對(duì)③式兩側(cè)同時(shí)積分可得qBy=m·Δvx

同理，可得 qBx=m·Δvy

由此可以得出，某一帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，其x方向的位移與y方向的速度變化量Δvy成正比；同理，其y方向的位移與x方向的速度變化量Δvx成正比.

【題目1】（2018全國(guó)Ⅰ卷）25.如圖2，在y > 0的區(qū)域存在方向沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E；在y < 0的區(qū)域存在方向垂直于xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng).一個(gè)氕核11H和一個(gè)氘核21H先后從y軸上y=h點(diǎn)以相同的動(dòng)能射出，速度方向沿x軸正方向.已知11H進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，速度方向與x軸正方向的夾角為60°，并從坐標(biāo)原點(diǎn)O處第一次射出磁場(chǎng).11H的質(zhì)量為m，電荷量為q.不計(jì)重力.求

（1）略.

（2）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小；

（3）21H第一次離開(kāi)磁場(chǎng)的位置到原點(diǎn)O的距離.

解：（1）過(guò)程略.得x=233h④

（2）11H在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，由牛頓第二定律有豎直方向速度大小為vy=2ah=2qEhm⑤

利用洛倫茲力分量式有：qBx=m·2vy⑥

聯(lián)立④、⑤兩式可得

B=m·2vyqx=mq·2qEhm·23h3=6mEqh

（3）21H電場(chǎng)中的加速度大小為

a1=qE2m=12a⑦

由牛頓第二定律有21H豎直方向速度大小為

vy1=2a1h=22vy⑧

利用洛倫茲力分量式有：qBx1=2m·2vy1⑨

聯(lián)立⑦、⑧、⑨式，并與⑥式比較，可得

x1=2m·2vy1qB=2m·2vyqB=2x

所以21H第一次離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的位置到原點(diǎn)O的距離為Δx=x1-x=（2-1）233h.

【題目2】（2018全國(guó)Ⅱ卷）25.一足夠長(zhǎng)的條狀區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其在xOy平面內(nèi)的截面如圖3所示：中間是磁場(chǎng)區(qū)域，其邊界與y軸垂直，寬度為l，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，方向垂直于xOy平面；磁場(chǎng)的上、下兩側(cè)為電場(chǎng)區(qū)域，寬度均為l′，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小均為E，方向均沿x軸正方向；M、N為條狀區(qū)域邊界上的兩點(diǎn)，它們的連線與y軸平行.一帶正電的粒子以某一速度從M點(diǎn)沿y軸正方向射入電場(chǎng)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后恰好以從M點(diǎn)入射的速度從N點(diǎn)沿y軸正方向射出.不計(jì)重力.

（1）略

（2）求該粒子從M點(diǎn)入射時(shí)速度的大??；

解：（1）略.

（2）根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可知，粒子到達(dá)電場(chǎng)與磁場(chǎng)交界處時(shí)水平方向速度大小為：

vx=qEm·l′v0⑩

利用洛倫茲力分量式有

qBl=m·2vxB11

聯(lián)立⑩、B11兩式有：qBl=m·2qEm·l′v0，

求解可得：v0=2El′Bl.

這兩道考題中，帶電粒子首先在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)， 之后又在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，這對(duì)于平面幾何知識(shí)的掌握要求很高，如果采用常規(guī)解法的話，數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程相當(dāng)復(fù)雜，學(xué)生在考場(chǎng)中很難在短時(shí)間內(nèi)正確推導(dǎo)出結(jié)果.若采用上述洛倫茲力分量式的推論， 便可以規(guī)避復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算過(guò)程，簡(jiǎn)單方便地給出正確的解答.

該解題思路與2008年江蘇高考物理壓軸題和第17屆中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽第5題的解題技巧非常相似.競(jìng)賽試題慢慢滲透到高考試題中，這與高考試題的深化改革目標(biāo)是相一致的.同時(shí)，在高考中，各學(xué)科的相互滲透也在不斷加強(qiáng)，其中，物理學(xué)科對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的要求在不斷加強(qiáng).對(duì)于可以減輕計(jì)算量、增大思考量和思維深度的題目，廣大教師應(yīng)加大研究力度[2]，不斷推陳出新，在常規(guī)解法的基礎(chǔ)上，找出更加簡(jiǎn)便快捷的解題方法.經(jīng)常回顧歷年高考試題以及競(jìng)賽中的中低檔題目，可以對(duì)解題能力起到巨大的促進(jìn)作用.

參考文獻(xiàn)：

[1] 陳國(guó)良.運(yùn)用洛倫茲力分量式的推論巧解物理難題[J]. 物理教師，2010 （6）：63.

[2] 崔琰，任藝，李筱娜. 2015年北京高考物理壓軸題的評(píng)析與思考[J]. 物理教學(xué)，2015（10）：72-73.

[3] 崔琰，馬朝華. 2015 年天津高考物理壓軸題第2問(wèn)的巧解[J].物理教學(xué)探討， 2015， 33（12）： 41-42.