基于SV形態(tài)學(xué)方法的圖像分解問題的研究

段 汕，謝長江，毛振幗

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

最初的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法主要采用固定結(jié)構(gòu)元建立相關(guān)的形態(tài)學(xué)理論，但人們很快發(fā)現(xiàn)單一的固定結(jié)構(gòu)元在實際應(yīng)用中存在許多缺陷，由此結(jié)構(gòu)元的自適應(yīng)性研究成為改進這一問題的一個方向. 以Serra為代表的學(xué)者們[1-3]早在形態(tài)學(xué)建立初期就提出了結(jié)構(gòu)函數(shù)的思想，將結(jié)構(gòu)元視為空間位置變化的函數(shù)，Charif-Chefchaouni M和Schonfeld D等人在文獻[4,5]中將其命名為空間變化(Spatially-Variant，簡寫為SV)的結(jié)構(gòu)元(簡稱SV結(jié)構(gòu)元)，并將固定結(jié)構(gòu)元的形態(tài)學(xué)方法推廣到SV結(jié)構(gòu)元的情形[6]，對具有SV結(jié)構(gòu)元的形態(tài)學(xué)(簡稱SV形態(tài)學(xué)，即Spatially-Variant Morphology)方法進行了一系列的研究，使得基于固定結(jié)構(gòu)元的形態(tài)學(xué)理論得以推廣.

圖像分解與重構(gòu)方法的研究是圖像分析中的一個熱點問題，有大量成熟的研究結(jié)果[7-9]. Xu J對基于骨架的圖像分解及重構(gòu)問題有一系列的研究成果[10,11]，其主要采用經(jīng)典的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法進行內(nèi)、外骨架的提取，利用固定結(jié)構(gòu)元的形態(tài)變換建立相關(guān)的圖像分解及重構(gòu)公式. Xu J在文獻[12]中，將基于固定結(jié)構(gòu)元的內(nèi)、外骨架變換交替運用于圖像的分解，得出了更為一般的分解算法，其優(yōu)勢在于它能夠通過較少的骨架點構(gòu)造出質(zhì)量較高的近似圖像. SV形態(tài)學(xué)方法的建立，使得對結(jié)構(gòu)元的選取更具自適應(yīng)性，結(jié)構(gòu)元也從具體的形態(tài)變?yōu)楦鼮槌橄蟮目臻g變化的形式，這使得SV形態(tài)變換無論在理論上還是在實際應(yīng)用中都更具優(yōu)勢，SV結(jié)構(gòu)元的適當選取能更有效地實現(xiàn)對目標對象的相關(guān)處理. 鑒于SV形態(tài)學(xué)方法的這一特點，本文在Xu J關(guān)于骨架變換研究的基礎(chǔ)上，將SV形態(tài)學(xué)方法應(yīng)用于建立更具一般性的SV骨架變換，應(yīng)用SV結(jié)構(gòu)元及SV形態(tài)變換實現(xiàn)對目標對象基于骨架的分解和重構(gòu)，最終獲得的結(jié)果推廣了已有文獻的相關(guān)結(jié)論.

1 基礎(chǔ)知識

關(guān)于SV形態(tài)變換，Bouaynaya N和Schonfeld D有較為系統(tǒng)的研究[5,6]，其中最為重要的內(nèi)容之一，是將SV形態(tài)學(xué)中的SV結(jié)構(gòu)元定義為一個由點到集合的映射θ：E→P(E)，其中P(E)為冪集，且SV結(jié)構(gòu)元映射θ依繼承序θ1≤θ2?θ1(z)?θ2(z)構(gòu)成偏序集.SV結(jié)構(gòu)元θ的轉(zhuǎn)置結(jié)構(gòu)元定義為：θ′(y)={z∈E:y∈θ(z),y∈E}.對于任意的X∈P(E)，4個最基本的SV形態(tài)腐蝕、膨脹、開、閉變換分別定義為：

(1)

(2)

γθ(X)=σθ(εθ(X))=∪{(θ(y)|θ(y)?X;

y∈E},

(3)

φθ(X)=εθ(σθ(X))={z∈E|θ(y)∩X≠?,

?θ(y)|z∈θ(y)}.

(4)

在以上定義的基礎(chǔ)上，首先給出4個引理，作為后續(xù)工作開展的基礎(chǔ).

引理1 對于A,B∈P(E)，有σθ(A∪B)=σθ(A)∪σθ(B).

引理2 對于A,B∈P(E)，有εθ(AB)=εθ(A)σθ′(B).

引理3 對于SV結(jié)構(gòu)元θ1和θ2，有σθ2(σθ1)=σσθ2(θ1)，即σθ2(σθ1)(X)=σσθ2(θ1)(X).

引理4 對于SV結(jié)構(gòu)元θ1和θ2，有εθ2(εθ1)=εσθ1(θ2)，即εθ2(εθ1)(X)=εσθ1(θ2)(X).

2 SV的內(nèi)骨架變換

利用SV開運算的非擴展性[5]，即γθ(X)?X，對X實施一次開運算γθ(X)，得：

X=γθ(X)∪S0=σθ(εθ(X))∪S0=

σθ(X1)∪S0,

(5)

其中X1=εθ(X)，S0=Xγθ(X).對X1作開運算γθ(X1)，將X1表示成如下形式：

X1=γθ(X1)∪S1=σθ(εθ(X1))∪S1=

σθ(X2)∪S1,

(6)

其中X2=εθ(X1)=εθ(εθ(X))=εθ2(X)，S1=X1γθ(X1)，將(6)式代入到(5)式，并利用引理1可得：

X=σθ(X1)∪S0=σθ(σθ(X2)∪S1)∪S0=

σθ2(X2)∪σθ(S1)∪S0=

σθ2(εθ2(X))∪σθ(S1)∪S0=

γθ2(X)∪σθ(S1)∪S0.

(7)

再對X2進行一次開運算γθ(X2)，將X2表示成如下形式：

X2=γθ(X2)∪S2=σθ(εθ(X2))∪S2=

σθ(X3)∪S2,

(8)

其中X3=εθ(X2)=εθ(εθ(εθ(X)))=εθ3(X)，S2=X2γθ(X2)，將(8)式代入(7)式，并利用引理1可得：

X=σθ2(σθ(X3)∪S2)∪σθ(S1)∪S0=

σθ3(X3)∪σθ2(S2)∪σθ(S1)∪S0=

σθ3(εθ3(X))∪σθ2(S2)∪σθ(S1)∪S0=

γθ3(X)∪σθ2(S2)∪σθ(S1)∪S0.

(9)

重復(fù)以上過程，最后可以得到如下公式：

X=σθn(Xn)∪σθn-1(Sn-1)∪σθn-2(Sn-2)∪…∪σθ(S1)∪S0=σθn(εθn(X))∪σθn-1(Sn-1)∪σθn-2(Sn-2)∪…∪σθ(S1)∪S0=γθn(X)∪σθn-1(Sn-1)∪σθn-2(Sn-2)∪…∪σθ(S1)∪S0,

(10)

3 SV的外骨架變換

關(guān)于外骨架，文獻[12]中有明確的闡述，外骨架作為一種不同于內(nèi)骨架的圖像特征，在實際應(yīng)用中有其特有的作用.

由SV閉運算的擴展性[5]，即X?φθ′(X)，對X進行一次閉運算φθ′(X)，有：

X=φθ′(X)T0=εθ′(σθ′(X))T0=εθ′(X1)T0,

(11)

其中X1=σθ′(X)，T0=φθ′(X)X，對X1作類似的操作得：

X1=φθ′(X1)T1=εθ′(σθ′(X1))T1=εθ′(X2)T1,

(12)

(13)

再對X2進行一次閉運算φθ′(X2)，并將X2表示成為：

X2=φθ′(X2)T2=εθ′(σθ′(X2))T2=εθ′(X3)T2,

(14)

(15)

重復(fù)相同步驟，最后可以得到：

(16)

4 內(nèi)、外骨架統(tǒng)一的圖像重構(gòu)公式

以上分別利用內(nèi)、外骨架給出圖像的分解及重構(gòu)公式，但單一運用內(nèi)骨架或是外骨架進行分解往往產(chǎn)生大量的冗余，且骨架級數(shù)相對較高.文獻[12]通過實例說明綜合運用內(nèi)、外骨架能重構(gòu)出高質(zhì)量的近似圖像，且用于重構(gòu)的內(nèi)、外骨架成分相對較少.為此，以下將利用SV形態(tài)學(xué)方法，對文獻[12]中的相關(guān)工作作進一步地推廣.

4.1 近似公式的推導(dǎo)

在已建立的SV內(nèi)、外骨架變換的基礎(chǔ)上，利用得到的公式及結(jié)論，通過交替實施開、閉運算，建立基于內(nèi)、外骨架的圖像分解及重構(gòu)公式.

首先對X進行一次開運算γθ(X)，將其表示為：

X=γθ(X)∪S0=X′∪S0,

(17)

其中X′=γθ(X)，S0=Xγθ(X).對X′進行一次閉運算φθ′(X′)，可得：

X′=φθ′(X′)T0=X1T0,

(18)

其中X1=φθ′(X′)，T0=φθ′(X′)X′.將(18)式代入到(17)式可得：

X=X1T0∪S0.

(19)

運用(7)式可以將X1近似地表示為：

(20)

(21)

(22)

X≈X2σθ(T1)∪σθ(S1)T0∪S0.

(23)

最終可得X的兩個近似表示式：

X≈Xnσθn-1(Tn-1)∪σθn-1(Sn-1)…

σθ(T1)∪σθ(S1)T0∪S0,

(24)

及

σθ(T1)∪σθ(S1)T0∪S0,

(25)

X≈σθN(SN)σθN-1(TN-1)∪σθN-1(SN-1)…

σθ(T1)∪σθ(S1)T0∪S0.

(26)

4.2 近似公式的證明

可以證明，以上所得到的關(guān)于X的所有近似表示式均為等式.下面在4.1節(jié)相關(guān)公式推證的基礎(chǔ)上展開證明.

對第一個近似公式(21)式，由X′?φθ′(X′)=X1，開運算的增性[5]和(20)式知：

又X′=γθ(X)，根據(jù)開運算的等冪性[5]可得：

由X′=φθ′(X′)T0=X1T0知，X′不含有T0中任何點，故有

兩邊同時并上S0，利用(19)式，得：

(27)

這說明第一個近似公式(21)式的右邊包含X作為子集.

對于第二個近似公式(23)式，根據(jù)(22)式及閉運算的擴展性[5]可知：

(28)

將(28)式帶入到(27)式中，可得：

X?X2σθ(T1)∪σθ(S1)T0∪S0,

(29)

這說明第二個近似公式(23)式的右邊包含X作為子集.

(30)

將(30)式代入到(27)式，可得：

(31)

這說明當n=2時，(25)式的右邊包含X作為子集.

重復(fù)類似的推證，一般地可以得出(24)式及(25)式亦滿足：

X?Xnσθn-1(Tn-1)∪σθn-1(Sn-1)…

σθ(T1)∪σθ(S1)T0∪S0,

(32)

…σθ(T1)∪σθ(S1)T0∪S0,

(33)

X?σθN(SN)σθN-1(TN-1)∪σθN-1(SN-1)…

σθ(T1)∪σθ(S1)T0∪S0.

(34)

由此證明了以上關(guān)于X的所有近似表示式的右邊均包含X作為其子集.

為證明以上近似公式中的反包含關(guān)系亦成立，運用集合的補運算及開、閉運算的對偶性[5]進行相關(guān)推證.關(guān)于XC可以得出：

XC=(X1)C∪T0S0,

(35)

關(guān)于XC的一般形式的近似公式如下：

(X)C≈(Xn)C∪σθn-1(Tn-1)σθn-1(Sn-1)∪…∪σθ(T1)σθ(S1)∪T0S0,

(36)

(37)

因而，在(37)式中，當n=1時，由閉運算的擴展性[5]可知：

結(jié)合(35)式也即：

(38)

這說明當n=1時，(37)式的右邊包含XC作為其子集.對于(36)式，當n=2時，有：

(39)

將(39)式代入到(35)式中可得：XC?(X2)C∪σθ(T1)∪T0S0,(38)式表明XC不含有σθ(S1)中的點，故：

XC?(X2)C∪σθ(T1)σθ(S1)∪T0S0,

(40)

這說明當n=2時，(36)式的右邊包含XC作為其子集.對于(37)式，當n=2時，根據(jù)閉運算的擴展性[5]可知：

(41)

將(41)式代入到(40)式便可得：

(42)

這說明當n=2時，(37)式的右邊包含XC作為其子集.

重復(fù)類似的推證，一般地可以得出(36)及(37)式亦滿足：

XC?(Xn)C∪σθn-1(Tn-1)σθn-1(Sn-1)∪…∪

σθ(T1)σθ(S1)∪T0S0,

(43)

…∪σθ(T1)σθ(S1)∪T0S0.

(44)

XC?σθn-1(Tn-1)σθn(Sn)σθn-1(Sn-1)∪…∪

σθ(T1)σθ(S1)∪T0S0,

(45)

由此證明了X的近似等式的右邊均是X的子集.綜合以上的推證結(jié)果可知，4.1節(jié)中所有關(guān)于X的近似式均為等式，即一般地有：

X=Xnσθn-1(Tn-1)∪σθn-1(Sn-1)…

σθ(T1)∪σθ(S1)T0∪S0,

(46)

σθ(T1)∪σθ(S1)T0∪S0,

(47)

X=σθN(SN)σθN-1(TN-1)∪σθN-1(SN-1)…

σθ(T1)∪σθ(S1)T0∪S0,

(48)

(48)式給出了內(nèi)、外骨架的SV形態(tài)骨架變換的推廣形式.

5 結(jié)束語

本文將SV形態(tài)學(xué)方法應(yīng)用于基于內(nèi)、外骨架的圖像分解及重構(gòu)問題的研究，用SV結(jié)構(gòu)元替代固定結(jié)構(gòu)元，建立了SV形態(tài)學(xué)內(nèi)、外骨架變換，將骨架變換推廣到更為一般的形式，彌補了固定結(jié)構(gòu)元對圖像重構(gòu)方法的局限性. 此外，本文還研究了將內(nèi)、外骨架同時作為分解成分時的圖像分解和重構(gòu)問題，得到了SV內(nèi)骨架變換和SV外骨架變換的一個統(tǒng)一形式，并給出了一系列相關(guān)的推算和證明. 本文就SV形態(tài)學(xué)方法在圖像分解問題中所涉及的相關(guān)算法的理論框架進行了研究，后續(xù)工作將對所建立的各類圖像分解算法進行實驗分析，以完善我們的研究工作.