不可小覷的漸近線

張春琦

縱觀近幾年各省高考題，直線與雙曲線的關系問題可以說不再是重點，而雙曲線幾何性質之一的漸近線，其重要性就凸顯出來，有必要認真研究.

我們先來欣賞你可能會忽略的、幾種常見函數(shù)圖象的漸近線：

2.正切函數(shù)y＝tanx的圖象中，x＝是它的漸近線；

原來除雙曲線外，還有這么多函數(shù)圖象有著漸近線.那么研究雙曲線的漸進線有哪些作用呢？

一、作圖的需要

了解漸近線的定義，會使函數(shù)漸近線的學習更為自然、簡明，同時解釋或證明中學數(shù)學所涉及的一些函數(shù)圖象的漸近線也就有了依據，進而有利于它們的作圖.

例如，在雙曲線的幾何性質中，漸近線是雙曲線所特有的性質，過雙曲線實軸的兩個端點與虛軸的兩個端點分別作對稱軸的平行線，它們圍成一個矩形，其兩條對角線所在直線即為雙曲線的漸近線.

我們還可以利用漸近線確定雙曲線的“張口”大小.

二、數(shù)形結合的需要

在解決有關雙曲線問題時，需結合漸近線從數(shù)形結合上找突破口.

證明設雙曲線b＞0），直線，代入得，化簡得，僅有一解，即雙曲線與直線僅有一個交點.

同時，易證并非切線.

我們首先來看看上個月本雜志的一道例題：

例1已知雙曲線與直線y＝kx+1只有一個公共點，則滿足條件的直線有幾條？

思路將方程與方程y＝kx+1聯(lián)立方程組，得（1-4k2）x2-8kx-8＝0，再就1-4k2是否為0兩種情況進行討論，得或者，答案為4條.

圖1

思路2直線y＝kx+1，過 定 點（0，1），可以作出兩條分別與漸近線y＝平行以及兩條雙曲線的切線，一共4條，這樣可以避開上面的計算.

問題進一步引申：如圖1所示，定點可以分布在5個區(qū)域，過定點作直線與雙曲線有且僅有一個交點，可以作出的直線數(shù)目可能有幾種？

區(qū)域①：無切線，2條與漸近線平行的直線，合計2條；

區(qū)域②：即定點在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計3條；

區(qū)域③：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計4條；

區(qū)域④：即定點在漸近線上且非原點，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計2條；

區(qū)域⑤：即過原點，無切線，無與漸近線平行的直線.

小結：過定點作直線與雙曲線有且僅有一個交點，可以作出的直線數(shù)目可能有0，2，3，4條.

以上抓住了漸近線與圖象的位置的特殊關系，簡化了解題，從而達到優(yōu)化思維的目的.

三、深入研究雙曲線性質的需要

例2已知雙曲線的兩條漸近線方程為x±2y＝0，求此雙曲線的離心率.

解設雙曲線方程，即，則，即.

證明或者.（或用數(shù)形結合證明之）

特別地，等軸雙曲線（即實軸和虛軸等長的雙曲線），其漸近線方程為x±y＝0，它們互相垂直，且平分雙曲線實軸和虛軸所成的角，離心率為.

例3求與雙曲線有共同的漸近線，并且過點的雙曲線的標準方程.

解與雙曲線有共同漸近線的雙曲線方程都可以表示的形式.

評注對于雙曲線，當t＞0時，所求雙曲線的焦點在x軸上，這時其漸近線方程是；當t＜0時，所求雙曲線的焦點在y軸上，這時雙曲線的標準方程是，其漸近線方程是.

因此，不管t的取值如何，它們的漸近線相同，而將雙曲線設為的形式，本質就是設有相同漸近線的雙曲線系，再有一個條件（如雙曲線的一個點）就可以確定曲線的方程.

限于篇幅，不另外舉例，再提供以下三個性質，同學們還可以自己補充有關雙曲線漸近線的知識.

1.雙曲線上任意一點到兩漸近線的距離的乘積是一個常數(shù).

2.從雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離等于虛半軸的長b.

四、結束語

漸近線，他像一位正直慈愛的師長，呵護指引著曲線成長的人生軌道，循規(guī)蹈矩走向遙遠的未來而從不對他強制干涉.

有了漸近線，我們可以較準確地畫出曲線的草圖；

有了漸近線，雙曲線的軌道有了可靠的護欄；

有了漸近線，我們對“曲”、“直”之間存在著這種和諧統(tǒng)一之美，有了更深刻的認識和理解.