分?jǐn)?shù)階玻色-愛(ài)因斯坦凝聚態(tài)的數(shù)值方法

邵永運(yùn), 韓子健, 張榮培, 王 語(yǔ)

(1. 沈陽(yáng)師范大學(xué) 學(xué)科與科研工作處, 沈陽(yáng) 110034; 2. 沈陽(yáng)師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽(yáng) 110034)

0 引 言

超低溫磁囚禁原子氣體凝聚實(shí)驗(yàn)的成功實(shí)現(xiàn),引起了原子物理學(xué)界的廣泛關(guān)注。自1995年以來(lái),有關(guān)玻色-愛(ài)因斯坦凝聚(BEC)的實(shí)驗(yàn)取得了飛躍性的進(jìn)展,與此同時(shí),關(guān)于BEC的理論和數(shù)值方法也取得巨大的進(jìn)步,計(jì)算BEC的基態(tài)、第一激發(fā)態(tài)以及動(dòng)力學(xué)特性是BEC研究的基本問(wèn)題之一。經(jīng)典的非線性薛定諤(NLS)方程,也被稱(chēng)為Gross-Pitaevskii方程(GPE),已廣泛用于描述BECs的基態(tài)和動(dòng)力學(xué)特性。

近年來(lái),分?jǐn)?shù)階算子的引入引起了人們對(duì)分?jǐn)?shù)階薛定諤方程的關(guān)注[1],在分?jǐn)?shù)階微分算子的離散方面,許多學(xué)者提出了不同的有限差分方法。 Meerschaert和Tadjeran[2]提出了一階帶有偏移項(xiàng)的Grünwald算子;基于以前的工作,田等[3]發(fā)展了兩類(lèi)二階加權(quán)偏移Grünwald-Letnikov (WSGD)算子; Ortigueira首先提出了分?jǐn)?shù)階中心差分格式; Duman[4]對(duì)其進(jìn)行了分析,將其應(yīng)用于分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程;郭等[5]證明了它全局光滑解具有唯一性; Simone Secchi[6]利用Nehari流行最小化方法建立了薛定諤方程的一類(lèi)解,包括分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子;Xavier Antoine[7]對(duì)無(wú)限勢(shì)阱中分?jǐn)?shù)階薛定諤方程的基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)進(jìn)行了數(shù)值研究,并分析求解了分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子的特征值和特征函數(shù);唐等[8]利用高效的數(shù)值方法解決了旋轉(zhuǎn)和帶有非局部相互作用的分?jǐn)?shù)階薛定諤方程(FSE)中的基態(tài)和動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。

本文針對(duì)分?jǐn)?shù)階玻色-愛(ài)因斯坦凝聚態(tài)(BEC)展開(kāi)研究,當(dāng)BEC中的粒子不服從高斯分布律時(shí),分?jǐn)?shù)階薛定諤方程被命名為分?jǐn)?shù)階Gross-Pitaevskii方程(FGPC)[9-10]。本文將研究不同勢(shì)阱中FGPE的基態(tài)和第一激發(fā)態(tài),從而了解其數(shù)學(xué)和物理性質(zhì)。在定態(tài)解中,應(yīng)用離散化歸一化梯度流(DNGF),用于證明其能量減少;在空間離散方面,使用具有二階精度的WSGD方法;在時(shí)間離散方面,采用隱積分因子方法[11-12],該方法精度高、穩(wěn)定性好。最后利用數(shù)值算例來(lái)驗(yàn)證理論分析。

1 分?jǐn)?shù)階Gross-Pitaevskii方程和歸一化梯度流

1.1 分?jǐn)?shù)階Gross-Pitaevskii方程

通過(guò)在更一般的Lévy類(lèi)量子路徑上擴(kuò)展Feynman路徑積分方法,可以使用分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子-(-Δ)α替換經(jīng)典的拉普拉斯算子Δ來(lái)獲得分?jǐn)?shù)階Gross-Pitaevskii方程。

(1)

其中V(x)是一個(gè)實(shí)值的無(wú)量綱的勢(shì)阱,其形狀取決于系統(tǒng)的類(lèi)型。本文采用的勢(shì)阱為諧振子勢(shì)[13]:

其中x∈R,γ是一個(gè)正常數(shù)。

一維情況下,式(1)中的分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子可以被定義為Riesz分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù):

其中左右Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義如下:

(3)

式(2)中的Γ(·)表示標(biāo)準(zhǔn)的伽馬函數(shù)。

在式(1)中有2個(gè)重要的不變量:

質(zhì)量:

(4)

能量:

(5)

為了找到式(1)的穩(wěn)定解,這個(gè)函數(shù)可以表示為

Ψ(x,t)=e-iμtφ(x)

(6)

其中:μ是凝聚物的化學(xué)勢(shì),φ是與時(shí)間無(wú)關(guān)的實(shí)函數(shù)。將式(6)帶入式(1)中,得

在式(4)的條件下,

可以看到這個(gè)問(wèn)題的本質(zhì)是帶約束條件的非線性特征值問(wèn)題。相應(yīng)的特征函數(shù)φ(x)可以通過(guò)使用下面的形式計(jì)算,特征值μ可以通過(guò)下式計(jì)算

這里Eβ(φ)是式(5)中給出的與φ相關(guān)的能量函數(shù)。在物理學(xué)的觀點(diǎn)中,基態(tài)被認(rèn)為是單位球面S={φ|‖φ‖=1,E(φ)<∞}上的能量最小值

其他能量大于Eg的特征函數(shù)在物理上稱(chēng)為激發(fā)態(tài)。

1.2 分?jǐn)?shù)階歸一梯度流

使用歸一化梯度流法來(lái)計(jì)算分?jǐn)?shù)階Gross-Pitaevskii方程的最小能量問(wèn)題。將時(shí)間步長(zhǎng)設(shè)為Δt,設(shè)Δt>0,顯然,tn=nΔt,n=0,1,2,…,在每個(gè)時(shí)間間隔[tn,tn+1]內(nèi)。對(duì)能量函數(shù)Eβ(ψ)采用最速下降法[14-15],可以得到

(7)

然后,在每個(gè)時(shí)間間隔結(jié)束時(shí),通過(guò)投射單位球面式(4)來(lái)對(duì)該解進(jìn)行歸一化處理,即

(8)

從數(shù)值的角度來(lái)看,分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程可以用傳統(tǒng)的有限差分方法進(jìn)行離散化處理,并且可以在每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)的末端實(shí)現(xiàn)歸一化處理。離散歸一化(GFDN)式(7)和式(8)的梯度流的初始條件可設(shè)為

φ(x,0)=φ0(x),x∈R, with‖φ0‖=1

2 數(shù)值方法

2.1 WSGD算子

到目前為止,Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)式(3)和Riesz分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)式(2)可以通過(guò)多種差分方法近似,如WSGD方法[16-17]和分?jǐn)?shù)階中心差分方法[18]等,每種方法都有其自身的特點(diǎn)。本文將用WSGD方法近似左右Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)。偏移的Grünwald算子定義如下:

通過(guò)對(duì)偏移Gruünwald算子進(jìn)行加權(quán)(WSGD),得

綜上,WSGD算子可以重新定義為

并且,式(9)和式(10)中的系數(shù)滿足以下條件

2.2 空間離散

在實(shí)際計(jì)算中,通常采用滿足整個(gè)區(qū)間邊界條件的有限子區(qū)間。 取Ω=[a,b],其中a和b足夠大,以便忽略截?cái)嗾`差。

由于齊次Dirichlet邊界條件,分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子可以表示為

空間區(qū)域Ω=[a,b]離散為

xj=a+jh,j=0,1,…,J

由此,得到了WSGD逼近算子

(11)

φ在節(jié)點(diǎn)xj處的解可以用一個(gè)列向量表示出來(lái)

Φ=(φ1φ2…φJ(rèn))T

分?jǐn)?shù)階微分算子的微分矩陣可以表示為

式(11)中分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子的微分矩陣可以定義為

綜上,完成了關(guān)于空間的離散,得到了如下的常微分方程組:

(12)

2.3 隱式積分因子法

半離散公式(12)可以改寫(xiě)為以下形式:

(13)

其中:A=D;F(Φ)=-VΦ-β|Φ|2Φ;設(shè)時(shí)間步長(zhǎng)為τ,則tn=nτ,n=0,1,2,…。

將式(13)左乘積分因子e-At并在一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)tn到tn+1內(nèi)進(jìn)行積分,得

(14)

然后在tn+1,tn,…,tn-r+2點(diǎn)進(jìn)行插值。通過(guò)r-1階拉格朗日插值多項(xiàng)式來(lái)逼近式(14)中的被積函數(shù)以獲得r階的IIF格式,

在本文中,使用的是二階的IIF格式(IIF2)如下:

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

圖1 (a) β=1和(b) β=3時(shí)的基態(tài)解及(c) β=1和(d) β=3時(shí)的能量演化

圖2 (a) β=1和(b) β=5時(shí)的第一激發(fā)態(tài)解以及(c) β=1和(d) β=5時(shí)的能量演化

4 結(jié) 論

本文運(yùn)用2種高效、高精度、高穩(wěn)定性的數(shù)值計(jì)算方法計(jì)算分?jǐn)?shù)階非線性量子波動(dòng)方程,即分?jǐn)?shù)階GP方程。WSGD方法有二階精度,隱式積分因子法計(jì)算量和存儲(chǔ)量小,并且2種方法均是無(wú)條件穩(wěn)定的。通過(guò)與其他數(shù)值解法的比較,表明了這2種方法的可行性。數(shù)值實(shí)驗(yàn)計(jì)算了在區(qū)域邊界和內(nèi)部的并且?guī)в兄C振子勢(shì)的基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)。