內(nèi)外嚙合單排行星機構(gòu)配齒條件

鄒乃威,韓 平,鄔萬江,陳禮光,王 濤,初長祥

(1.佳木斯大學(xué) 機械工程學(xué)院,黑龍江 佳木斯 154007; 2.廣西柳工機械股份有限公司 裝載機研究院,廣西 柳州 545007)

作為減速器或變速器的傳動部件[1],行星機構(gòu)具有體積小、質(zhì)量輕、結(jié)構(gòu)緊湊、傳動速比大、載荷分布均勻以及承載能力強等優(yōu)點,廣泛應(yīng)用于航空、車輛及工程機械設(shè)備中.在所有行星機構(gòu)中內(nèi)外嚙合單排行星機構(gòu)是最基本的組成要素,其設(shè)計過程要滿足嚴格的配齒條件,否則將因相互干涉而不能裝配構(gòu)成行星機構(gòu),最終導(dǎo)致設(shè)計任務(wù)失敗.本文將基于齒輪傳動理論,運用數(shù)學(xué)方法討論內(nèi)外嚙合單排行星機構(gòu)的配齒條件,為工程技術(shù)人員提供成熟的解決方案.

1 行星機構(gòu)的特性分析

內(nèi)外嚙合單排行星機構(gòu)特指由兩個中心齒輪(太陽輪和內(nèi)齒圈)和一個行星架在同一個平面內(nèi)組成內(nèi)外嚙合的2K-H行星機構(gòu)[2].按照行星架上同一組參與傳動的行星輪數(shù)量又可以細分為單星、雙星和多星行星機構(gòu)等3類,如圖1所示.

圖1 典型內(nèi)外嚙合單排行星機構(gòu)Fig.1 Typical common-plane internal-external mesh planetary mechanism

1.1 運動學(xué)特性

內(nèi)外嚙合單排行星機構(gòu)有3個可以獨立轉(zhuǎn)動的構(gòu)件,要先確定其中兩個構(gòu)件的轉(zhuǎn)速,才能確定第3個構(gòu)件的轉(zhuǎn)速.一般采用“機構(gòu)轉(zhuǎn)化法”研究行星機構(gòu)各構(gòu)件間的轉(zhuǎn)速關(guān)系[3].對整個行星機構(gòu)施加一個與行星架轉(zhuǎn)速大小相等、方向相反的轉(zhuǎn)速-ωH,考察行星機構(gòu)各構(gòu)件絕對轉(zhuǎn)速的關(guān)系.此時,行星機構(gòu)轉(zhuǎn)化為一個將行星架固定的太陽輪與齒圈之間的定軸輪系,對于單星內(nèi)外嚙合單排行星機構(gòu)有

(1)

將式(1)改寫成行星機構(gòu)3個構(gòu)件的實際轉(zhuǎn)速和行星機構(gòu)的特征參數(shù)表達式[4]為

(2)

(3)

推而廣之,對于多星內(nèi)外嚙合單排行星機構(gòu)為

(4)

式中:n為太陽輪與齒圈之間每組行星齒輪外嚙合的次數(shù).

由式(2)～式(4)可知:內(nèi)外嚙合單排行星機構(gòu)3個構(gòu)件的轉(zhuǎn)速關(guān)系可以用一個方程表達，方程的右側(cè)為零,左側(cè)為包含各轉(zhuǎn)速變量的表達式,且各變量的系數(shù)之和等于零.

采用同樣的方法計算每個行星輪相對于行星架的轉(zhuǎn)速為

(5)

式中:j為行星齒輪到太陽輪的外嚙合次數(shù);ωgj為與太陽輪第j次嚙合的行星輪相對于行星架的轉(zhuǎn)速;Zgj為第j個行星齒輪的齒數(shù).

1.2 動力學(xué)特性

在忽略摩擦的情況下,由行星機構(gòu)內(nèi)力矩和功率的平衡原理可得，行星機構(gòu)的內(nèi)力矩和功率平衡方程:

式中:TS為太陽輪的內(nèi)力矩;TR為齒圈的內(nèi)力矩;TH為行星架的內(nèi)力矩.

由式(4)、式(6)和式(7)可以推導(dǎo)出內(nèi)外嚙合單排行星機構(gòu)的內(nèi)力矩關(guān)系式:

(8)

1.3 自由度特性

由內(nèi)外嚙合單排行星機構(gòu)的式(2)～式(4)知,3個構(gòu)件的運動通過一個方程約束,屬于一種典型的兩自由度機構(gòu),其本身不具備以固定速比傳遞動力的條件[5].

在混合動力系統(tǒng)中利用這種2自由度結(jié)構(gòu),將不同性質(zhì)、不同來源的動力相融耦合,并避免了各動力源之間的運動干涉[6].

在傳動領(lǐng)域,行星機構(gòu)通常要限制一個自由度才能確定速比傳遞動力.在實際應(yīng)用中通過制動器制動某個構(gòu)件或通過離合器連接某兩個構(gòu)件都能使其退化為單自由度結(jié)構(gòu),從而以固定速比傳遞動力.靜液-機械復(fù)合傳動無級變速系統(tǒng)，采用行星機構(gòu)的2自由度結(jié)構(gòu)，將靜液支路與機械支路的動力相融耦合,且運用靜液支路的連續(xù)變化速比限制了其中一個自由度,使系統(tǒng)具有單自由度的穩(wěn)定速比傳動特性[7].

2 單星行星機構(gòu)的配齒條件

所有構(gòu)件的齒數(shù)組合要滿足以下4個配齒條件才能裝配形成單星內(nèi)外嚙合單排行星機構(gòu)[3].

2.1 同心條件

同心條件是要保證行星機構(gòu)3個基本構(gòu)件的回轉(zhuǎn)中心處于同一軸線上,且各齒輪均能正確嚙合,即保證相互嚙合齒輪的中心距相等.

對于單星內(nèi)外嚙合單排行星機構(gòu),同心條件要求行星輪g與齒圈R中心距LgR和行星輪g與太陽輪S的中心距LgS相等,如圖2所示.

圖2 單星行星機構(gòu)的同心約束條件Fig.2 Concentric constraint condition of single-pin planetary mechanism

對于非變位或等變位齒輪單星行星機構(gòu)LgR和LgS,可以用構(gòu)成行星機構(gòu)各構(gòu)件的齒數(shù)和模數(shù)表達,其同心條件的關(guān)系式為

(9)

式中:m為行星機構(gòu)的模數(shù).式(9)可以簡化為

(10)

式(10)中還隱含著行星輪齒數(shù)應(yīng)為整數(shù)的約束條件,因此,要求齒圈和太陽輪齒數(shù)的奇偶性一致.

2.2 裝配條件

通常行星機構(gòu)中一個齒輪要同時與多個齒輪嚙合,為了使各行星輪正確的裝配于太陽輪與內(nèi)齒圈之間,行星輪的組數(shù)與各齒輪之間的齒數(shù)必須滿足嚴格的約束條件,如圖3所示,否則齒輪之間將因相互干涉而難以裝配成行星機構(gòu).

圖3 單星行星機構(gòu)的裝配關(guān)系Fig.3 Assembly constraint condition of single-pin planetary mechanism

設(shè)沿圓周在太陽輪和齒圈之間均布nb組行星輪,則相鄰行星輪組之間間隔的角度應(yīng)為δH=2π/nb.假如在Ⅰ-Ⅰ位置裝入第1組行星輪,為了在間隔δH的角度裝入第2組行星輪,需要固定齒圈,將行星架轉(zhuǎn)過δH角度,Ⅰ-Ⅰ隨行星架轉(zhuǎn)過δH角度,則Ⅰ-Ⅱ占據(jù)了Ⅰ-Ⅰ的位置,此時,太陽輪也隨之轉(zhuǎn)過一個相應(yīng)的角度δS.要在太陽輪與齒圈之間裝入第2組行星輪,要求在Ⅰ-Ⅱ位置的太陽輪與齒圈的相位關(guān)系與Ⅰ-Ⅰ位置保持一致,如圖3所示.在裝配過程中,齒圈固定不動,只有太陽輪和行星架轉(zhuǎn)動,為滿足齒輪間的相位關(guān)系要求,太陽輪需要剛好轉(zhuǎn)過整數(shù)個齒.每個太陽輪齒對應(yīng)的圓周角為2π/ZS,即太陽輪的轉(zhuǎn)角應(yīng)為δS=2Nπ/ZS(N為整數(shù)).將上述行星機構(gòu)各構(gòu)件的轉(zhuǎn)角帶入行星機構(gòu)轉(zhuǎn)速方程式(2),得

(11)

式中:δH為行星架轉(zhuǎn)過的角度,此時,δH=2π/nb,nb行星機構(gòu)均布行星輪的組數(shù);δR為齒圈轉(zhuǎn)過的角度,此時,δR=0;δS為太陽輪轉(zhuǎn)過的角度,該角度只要滿足整數(shù)個齒的約束條件δS=2Nπ/ZS,其中N為整數(shù).

再將結(jié)構(gòu)參數(shù)α轉(zhuǎn)化為齒圈與太陽輪的齒數(shù)比,代入式(11),得單星內(nèi)外嚙合單排行星機構(gòu)的裝配條件為

(12)

即齒圈與太陽輪齒數(shù)之和應(yīng)為行星輪組數(shù)nb的整數(shù)倍.

用同樣的方法可以將剩余的行星輪裝入太陽輪與齒圈之間.

2.3 鄰接條件

鄰接條件是指保證兩相鄰但不嚙合的齒輪齒頂互不干涉的太陽輪齒數(shù)與行星輪齒數(shù)之間的關(guān)系.單星行星機構(gòu)的鄰接條件即保證相鄰的兩個行星輪互不干涉,也就是保證相鄰兩行星輪的中心距Lg1g2大于行星輪齒頂圓直徑.如圖4所示的行星輪g1和g2之間不相互干涉,∠g1Og2的角度為2π/nb,∠g1Og2的角分線將等腰三角形g1Og2分成兩個直角三角形,在該直角三角形內(nèi)應(yīng)用正弦定理可得相鄰兩個行星輪之間不干涉的條件,對于非變位齒輪有下式成立:

(13)

式中:h*a為齒頂高系數(shù);t為間隙系數(shù).

圖4 單星行星機構(gòu)的鄰接約束條件Fig.4 Adjacency constraint condition of single-pin planetary mechanism

2.4 速比條件

在設(shè)計行星機構(gòu)之初,一般要確定一個行星架固定時太陽輪到齒圈的理論速比,最終由于上述3個配齒條件限制,使得由行星機構(gòu)齒數(shù)比表示的實際速比與理論速比產(chǎn)生一定的偏差，即

(14)

式中:it為理論速比;ir為滿足條件的結(jié)構(gòu)實際速比;Δi為允許的速比偏差.

在行星機構(gòu)設(shè)計過程中,要根據(jù)設(shè)計要求確定行星機構(gòu)速比的偏差范圍,當(dāng)偏差超過Δi就要重新設(shè)計.

只有同時滿足上述4個配齒條件的齒數(shù)組合才能組成行星機構(gòu).表1列舉了4組可以裝配構(gòu)成單星內(nèi)外嚙合單排行星機構(gòu)的齒數(shù)組合.

表1 單星內(nèi)外嚙合單排行星機構(gòu)齒數(shù)組合Tab.1 Tooth number combination of internal-external mesh single-pin planetary mechanism

3 雙星行星機構(gòu)的配齒條件

按照機構(gòu)學(xué)的分類方法雙星行星機構(gòu)屬于正號機構(gòu),其傳動效率和承載能力均不如以單星行星機構(gòu)為代表的負號機構(gòu),但由于配湊速比、滿足轉(zhuǎn)矩與轉(zhuǎn)速關(guān)系等要求,雙星行星機構(gòu)仍有不可替代的作用,如汽車CVT的換向機構(gòu)和混合動力系統(tǒng)的耦合裝置等均需要采用這種結(jié)構(gòu)[8-9].由于雙星行星機構(gòu)結(jié)構(gòu)性能上的特性,其配齒條件與單星行星機構(gòu)有所不同.

3.1 同心條件

雙星行星機構(gòu)的太陽輪與齒圈間有內(nèi)外兩組行星輪,可以通過調(diào)整它們的相對位置滿足同心條件,因此,同心條件相對比較容易滿足,如圖1(b)所示.

雙星行星機構(gòu)的同心條件可以表達成不等式:

(15)

式中:Zgn為內(nèi)行星齒輪的齒數(shù);Zgw為外行星齒輪的齒數(shù).

雙星行星機構(gòu)的同心條件不是嚴格的等式關(guān)系,因此，各齒輪的齒數(shù)有更大的選擇自由度,相對于單星行星機構(gòu)的同心條件更寬松.

3.2 裝配條件

雙星行星機構(gòu)的裝配條件與單星行星機構(gòu)的裝配條件推導(dǎo)方法相似,同樣設(shè)沿圓周均布nb組行星齒輪,則相鄰行星輪組之間間隔的角度應(yīng)為δH=2π/nb.假設(shè)在Ⅰ-Ⅰ位置裝入第1組行星輪,為了在間隔δH的角度裝入第2組行星輪,需要固定齒圈,將行星架轉(zhuǎn)過δH,則Ⅰ-Ⅱ占據(jù)了Ⅰ-Ⅰ的位置.此時,太陽輪也隨之轉(zhuǎn)過一個相應(yīng)的角度αS,太陽輪的整數(shù)齒相位約束條件可表示為αS=2Nπ/ZS(N為整數(shù)),如圖5所示.

圖5 雙星行星機構(gòu)的裝配條件Fig.5 Assembly constraint condition of dual-pin planetary

將上述行星機構(gòu)各構(gòu)件的轉(zhuǎn)角代入式(3),再將α等于齒圈與太陽輪齒數(shù)比代入,經(jīng)推導(dǎo)，可求出雙星行星機構(gòu)的裝配條件為

(16)

式(16)表明雙星行星機構(gòu)的配齒條件:齒圈與太陽輪齒數(shù)之差應(yīng)為行星齒輪組數(shù)nb的整數(shù)倍.

3.3 鄰接條件

由于需要裝配的齒輪較多,雙星行星機構(gòu)的鄰接條件比較復(fù)雜,它不僅需要保證內(nèi)行星輪與內(nèi)齒圈不干涉、外行星輪與太陽輪不干涉,而且還要保證內(nèi)行星輪之間不干涉、不相嚙合的內(nèi)外行星輪之間不干涉.

3.3.1內(nèi)行星輪與齒圈不干涉條件

內(nèi)行星輪的齒頂圓與齒圈的齒頂圓要留有一定的間隙t,如圖6所示,要求內(nèi)行星齒輪gn1,gn2和gn3與齒圈R的齒頂不相互干涉.對于非變位雙星行星機構(gòu),其各齒數(shù)間的關(guān)系可表達為

(17)

圖6 雙星行星機構(gòu)的鄰接條件Fig.6 Adjacency constraint condition of dual-pin planetary mechanism

3.3.2外行星輪與太陽輪不干涉條件

外行星輪的齒頂與太陽輪的齒頂要留有一定的間隙t,如圖6所示,要求外行星齒輪gw1,gw2和gw3與太陽輪S的齒頂不相互干涉.對于非變位雙星行星機構(gòu),其各齒輪齒數(shù)關(guān)系可表達為

(18)

3.3.3內(nèi)行星輪之間不干涉條件

雙星行星機構(gòu)相鄰的內(nèi)行星輪之間要留有一定的間隙t,如圖6所示,要求行星輪gn1,gn2和gn3之間不相互干涉,其推導(dǎo)方法與單行星機構(gòu)的鄰接條件相似.雙星行星機構(gòu)內(nèi)行星輪之間不干涉的條件為

(19)

3.3.4不相嚙合的內(nèi)外行星輪之間不干涉條件

雙星行星機構(gòu)中不相嚙合而又鄰近的內(nèi)外行星輪之間要保持一定的間隙t,如圖6所示,行星齒輪gn1與gw2,gn2與gw3及gn3與gw1之間不相互干涉.以gn3與gw1的關(guān)系說明該關(guān)系:要求gn3與gw1的距離足夠大,以保證不干涉.在△gw1Sgn3中應(yīng)用余弦定理,可求得gn3與gw1的距離Lgn3gw1,其中∠gw1Sgn3=∠gn1Sgn3-∠gn1Sgw1,而∠gn1Sgn3=2π/nb,∠gn1Sgw1需要在△gn1Sgw1中再次應(yīng)用余弦定理計算得到:

(20)

最終得到雙星行星機構(gòu)相鄰不嚙合內(nèi)外行星輪之間不干涉條件為

(21)

3.4 速比條件

雙星行星機構(gòu)的速比驗證條件與單行星機構(gòu)相同,所不同的是由于配齒條件的差異導(dǎo)致行星機構(gòu)特征參數(shù)α不同,致使雙星與單星行星機構(gòu)的實際速比序列會有一定的偏差,這也使整個的離散速比序列分布更密實,使實際速比有更多機會接近理論速比.

滿足上述4個配齒條件的齒輪組合才能構(gòu)成雙星行星機構(gòu),表2列舉了4組可以裝配成雙星內(nèi)外嚙合單排行星機構(gòu)的齒數(shù)組合.

表2 雙星內(nèi)外嚙合單排行星機構(gòu)齒數(shù)組合Tab.2 Tooth number combination of internal-external mesh dual-pin planetary mechanism

4 多星行星機構(gòu)的配齒條件

4.1 同心條件

對于多星行星機構(gòu)行星架上同一組行星輪更多,太陽輪與齒圈之間的安裝、調(diào)整空間更大,因此，同心條件變得更寬松，即

(22)

4.2 裝配條件

裝配條件取決于行星架上同一組行星輪外嚙合的次數(shù),奇數(shù)次嚙合與單星行星機構(gòu)的裝配條件相同,偶數(shù)次嚙合與雙星行星機構(gòu)的裝配條件相同.

4.3 鄰接條件

由于齒輪系中行星齒輪數(shù)量的增多,保證其不相互嚙合齒輪不干涉的條件更為苛刻,但同時由于太陽輪與齒圈之間的空間更大,所以鄰接條件又較易于得到滿足.

4.4 速比條件

與其他類型的行星機構(gòu)相同.

本文所討論的同心條件和鄰接條件均未考慮齒輪變位的情況,有關(guān)于變位行星機構(gòu)的配齒條件可按上述原則,利用相應(yīng)的變位公式推導(dǎo)得到.

5 結(jié)論

(1) 內(nèi)外嚙合單排行星機構(gòu)的齒數(shù)組合要滿足同心條件、裝配條件、鄰接條件和速比條件等4個配齒條件才能裝配構(gòu)成行星機構(gòu),對于不同類型的單排行星機構(gòu)其配齒條件不盡相同.

(2) 在4個配齒條件中,裝配條件最嚴格,也最容易被忽視,往往由于齒輪相互干涉而導(dǎo)致設(shè)計失敗,工程技術(shù)人員對其應(yīng)引起足夠重視.

(3) 隨著太陽輪與齒圈之間參與嚙合的齒輪對數(shù)增加,內(nèi)外嚙合行星機構(gòu)的同心條件變得越來越寬松,相鄰條件變得越來越復(fù)雜.

(4) 速比條件主要用于檢驗實際速比與理論速比的偏差是否在合理的范圍,如不合理要重新設(shè)計行星機構(gòu)參數(shù),甚至重新選擇行星機構(gòu)的類型.