基于稀疏性非負(fù)矩陣分解的滾動軸承復(fù)合故障診斷

朱曉潔

(黃河科技學(xué)院 職業(yè)技術(shù)學(xué)院,鄭州 450063)

當(dāng)滾動軸承發(fā)生復(fù)合故障時,由于不同部位故障信號之間的相互干擾及耦合效應(yīng),復(fù)合故障信號表現(xiàn)得非常復(fù)雜,基于信號處理特征提取的滾動軸承復(fù)合故障難以取得好的效果.當(dāng)前，大多采用智能診斷方法對滾動軸承復(fù)合故障類型進(jìn)行分類[1-5].智能診斷中最關(guān)鍵的一步是特征提取,有效的故障輸入特征不僅能提高分類正確率,而且還能提高計算效率.本文嘗試將圖像處理中的常用方法即非負(fù)矩陣分解方法用于滾動軸承復(fù)合故障的特征提取，進(jìn)而實現(xiàn)滾動軸承的復(fù)合故障診斷.

1 非負(fù)矩陣分解

非負(fù)矩陣分解(No-negative Matrix Factorization,NMF)本義可追溯為一種矩陣分解和投影的多變量分析技術(shù).用矩陣Vn×m表示待處理的m×n維多維樣本數(shù)據(jù),可對矩陣Vn×m進(jìn)行分解,即

(1)

式中:Wn×r為基矩陣,也稱為特征矩陣;Hr×m為系數(shù)矩陣.W,H均要求非負(fù).

圖1 非負(fù)矩陣圖像處理示意圖Fig.1 The sketch map of NMF

上述的非負(fù)性要求在圖像處理中有著重要的實際意義,圖1解釋了NMF的基本思想:用Original表示原始特征圖像,其可以表示為矩陣W和H的乘積,兩個矩陣分別代表特征圖像與系數(shù)矩陣.在NMF中要求特征矩陣與系數(shù)矩陣均為非負(fù)的:圖像像素為負(fù)的物理現(xiàn)象在圖像處理中是無法解釋的,一系列標(biāo)準(zhǔn)的特征圖像組成了特征矩陣中的各個列向量,其非負(fù)性就有效避免了上述無法解釋物理意義現(xiàn)象的發(fā)生.此外,對于任意圖像都具有一個公用的特征矩陣W,各個圖像表現(xiàn)出的相異性體現(xiàn)在各自所對應(yīng)的系數(shù)矩陣H上.據(jù)此,提取出圖像的系數(shù)矩陣，并將其作為智能分類器的訓(xùn)練及測試特征向量，可有效提高智能診斷的效率和精確度.

2 稀疏性非負(fù)矩陣分解

稀疏性非負(fù)矩陣分解(Sparse No-negative Matrix Factorization，SNMF)是在NMF基礎(chǔ)上與稀疏分解思想相結(jié)合而發(fā)展而來的一種NMF算法,它是在NMF基礎(chǔ)上，對系數(shù)矩陣H添加稀疏性約束條件的算法.相對于NMF,SNMF算法具有如下優(yōu)點:① 更穩(wěn)定;② 更直觀地反映原始數(shù)據(jù)的局部特征;③ 分解后的系數(shù)矩陣H具有更稀疏的數(shù)學(xué)表達(dá),從而能用最少的特征維數(shù)來最有效地表示原始數(shù)據(jù)的特征;④ 求解收斂速度快.

下式求解的過程就是通過迭代更新,使V和WH的誤差即‖V-WH‖最小化.可以用Frobenius范數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)來量化誤差，即

(2)

并采用如下形式的交替乘法更新規(guī)則，進(jìn)行迭代求解，即

(3)

從基于過完備字典的稀疏表示方式看,式(3)的目標(biāo)函數(shù)可以寫成如下的過完備字典學(xué)習(xí)的函數(shù)形式，即

(4)

s.t.W≥0, ?i,Hi≥0,

C?{W∈Rm×r

被稱作矩陣凸集,其中矩陣W相當(dāng)于稀疏分解中的過完備字典.在式(4)中W,Hi均要求非負(fù)性.從某種意義上來說,基于局部表達(dá)的NMF算法也是一種稀疏表示,只是這種表示的稀疏能力及程度相對較弱且還存在著控制難的缺點.通過對目標(biāo)函數(shù)增添l1正則化的稀疏性約束條件,Hoyer等[6]提出SNMF方法,基于式(4)其目標(biāo)函數(shù)為

(5)

由式(5)可知:當(dāng)λ=0時,此式等價于NMF.相對于NMF,SNMF具有下述優(yōu)點:不僅保留了NMF對局部特征穩(wěn)定直觀表達(dá)的優(yōu)點,并且還能有效對分解后矩陣的稀疏度進(jìn)行自由控制;SNMF處理后的系數(shù)矩陣與特征矩陣之間的相關(guān)性更小;SNMF增加的迭代次數(shù)不會對分解誤差造成明顯影響.

利用最小角回歸(Least Angle Regression,LARS)算法在稀疏編碼階段對Ht進(jìn)行求解，得

(6)

在矩陣更新階段,通過極小化凸集上的目標(biāo)函數(shù)來求Wt,得

(7)

采用塊坐標(biāo)下降法由Wt-1來求Wt,這樣可將式(7)轉(zhuǎn)化為

(8)

式中：A和B分別為稀疏矩陣、稀疏稀疏的權(quán)重因子.

3 所述方法流程

基于雙譜時頻圖SNMF的滾動軸承故障診斷流程圖如圖2所示,大致分為如下步驟:

圖2 基于雙譜時頻圖SNMF的滾動軸承故障 診斷流程圖 Fig.2 The bearing’ compound fault diagnosis process based on time-frequency SNMF

步驟1分別采集滾動軸承3種運(yùn)行狀態(tài)(內(nèi)圈外圈復(fù)合故障、外圈滾動體復(fù)合故障及內(nèi)圈外圈滾動體復(fù)合故障)下的振動信號,對每種運(yùn)行狀態(tài)下的數(shù)據(jù)進(jìn)行分段,并分別對每段數(shù)據(jù)進(jìn)行雙譜變換.

步驟2分別隨機(jī)選擇3種運(yùn)行狀態(tài)下部分雙譜時頻圖組成訓(xùn)練樣本集XTrain(i)(i=1,2,3)(i代表滾動軸承的3種運(yùn)行狀態(tài)),對訓(xùn)練樣本集XTrain(i)(i=1,2,3)的子集Vi(i=1,2,3)分別進(jìn)行SNMF,得到3種運(yùn)行狀態(tài)下的標(biāo)準(zhǔn)圖像集Wi(i=1,2,3).

步驟3將所有訓(xùn)練樣本集XTrain(i)(i=1,2,3)分別向各自所對應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)樣本集Wi(i=1,2,3)進(jìn)行投影,得到每一副圖像對應(yīng)的系數(shù)向量,這些向量共同形成降維后的樣本集HTrain(i)(i=1,2,3).

步驟4分別用HTrain(i)(i=1,2,3)訓(xùn)練支持向量數(shù)據(jù)描述(Support Vector Data Description,SVDD)軸承3種運(yùn)行狀態(tài)下的診斷模型.

步驟5同樣,對測試樣本集HTrain(i)(i=1,2,3)分別向標(biāo)準(zhǔn)圖像集Wi(i=1,2,3)進(jìn)行投影,得到每一副圖像對應(yīng)的向量系數(shù),這些向量共同形成降維后的測試集HTest(i)(i=1,2,3).

步驟6將HTest(i)(i=1,2,3)分別輸入到第4步訓(xùn)練后的診斷模型,從而對XTest(i)(i=1,2,3)所對應(yīng)的軸承運(yùn)行狀態(tài)進(jìn)行模式識別.

4 實驗

以UN205滾動軸承為實驗軸承進(jìn)行相關(guān)實驗,通過線切割的方式分別在軸承試件的外圈、內(nèi)圈及滾動體上加工故障(零部件上的所加工的故障如圖3所示),然后再組合滾動軸承的3種復(fù)合故障.

圖3 試件各部位故障Fig.3 The fault location of the test bearing

3種復(fù)合故障的時域波形圖分別如圖4(a)～圖4(c)所示.

分別對3種故障狀態(tài)下的數(shù)據(jù)進(jìn)行分段處理:每種狀態(tài)下連續(xù)的512個采樣數(shù)據(jù)作為一個樣本,每組樣本之間以重復(fù)1/2的數(shù)據(jù)方式依次向后連續(xù)截取.3種運(yùn)行狀態(tài)按上述數(shù)據(jù)樣本截取方式分別取80組采樣樣本,其中每種狀態(tài)下的前30組采樣樣本經(jīng)過雙譜時頻分析后,將得到的雙譜時頻圖進(jìn)行SNMF分解,提取圖像稀疏系數(shù)矩陣作為SVDD的訓(xùn)練樣本訓(xùn)練3種SVDD模型:內(nèi)圈外圈故障SVDD診斷模型、外圈滾動體故障SVDD診斷模型及內(nèi)圈外圈滾動體故障SVDD診斷模型;同樣每種運(yùn)行狀態(tài)下的后50組采樣樣本用同樣方法特征提取后作為測試樣本輸入到上述訓(xùn)練好的SVDD模型中,進(jìn)而進(jìn)行分類.

圖5(a)～圖5(c)分別是軸承3種運(yùn)行狀態(tài)下某一采樣樣本的雙譜時頻圖.圖5中可以看出,雖然軸承在不同故障運(yùn)行狀態(tài)下雙譜圖存在很大差異,可以為后續(xù)SVDD診斷所需的特征提取提供很好的素材.但由于滾動軸承復(fù)合故障運(yùn)行狀態(tài)下，各個單個故障信號之間的相互干擾極有可能出現(xiàn)耦合現(xiàn)象,很難直接在其雙譜時頻圖上提取有效的故障特征信息.

圖4 滾動軸承3種復(fù)合故障的時域波形圖Fig.4 The time-domain waveforms of the bearing’ three kinds of compound fault

以下對SNMF計算過程中的關(guān)鍵參數(shù)——特征維數(shù)、稀疏性因子λ以及迭代次數(shù)T的選取進(jìn)行討論.

(1) 特征維數(shù)的選擇.首先選取迭代次數(shù)T=200,稀疏性因子λ=0.2,特征維數(shù)對分類精度的影響如圖6所示.由圖6可見,當(dāng)特征維數(shù)選為4時,所述方法的分類精度比較低.其原因在于較小的特征維數(shù)選擇不能全面有效表達(dá)原始特征圖像中所蘊(yùn)含的故障特征信息,造成部分故障特征信息的丟失,進(jìn)而導(dǎo)致后續(xù)SVDD分類正確率的下降.當(dāng)特征維數(shù)等于24時,所述方法取得了最高的分類正確率,說明了24維與實際的特征空間的維數(shù)相一致或相接近,正好蘊(yùn)含了原始時頻圖中的所有故障信息.因此,取得了最高的SVDD分離結(jié)果.當(dāng)特征維數(shù)大于24時,分類正確率雖然下降不多,但維數(shù)的增加會降低計算效率,而且還可能出現(xiàn)信息冗余及維數(shù)災(zāi)難等不好的結(jié)果.

圖5 滾動軸承3種復(fù)合故障下的雙譜時頻圖Fig.5 The bispectrums of the bearing’ three kinds of compound fault

圖6 不同特征維數(shù)所對應(yīng)的分類正確率Fig.6 The classification accuracy using different feature dimensions

(2) 稀疏性因子及迭代次數(shù)的選擇.稀疏因子的作用是SNMF分解過程中控制稀疏矩陣的稀疏性,圖7給出了不同稀疏因子所對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)誤差(特征維數(shù)選為24,迭代次數(shù)為200).圖7中可以看出:當(dāng)系數(shù)因子等于0時,SNMF等價于NMF,會產(chǎn)生較大的目標(biāo)函數(shù)誤差;當(dāng)目標(biāo)因子不等于0時,雖然在理論上越大的稀疏因子就對應(yīng)著更稀疏的稀疏矩陣,即得到最精煉的故障特征信息;目標(biāo)函數(shù)的誤差也隨著稀疏因子的增大而增大,說明隨著稀疏因子的增加,原始時頻圖像中所蘊(yùn)含的故障特征信息損失也隨之增加.

圖7 稀疏因子對目標(biāo)函數(shù)誤差的影響Fig.7 The influence of sparse factor on objective function error

圖8給出了不同稀疏因子所對應(yīng)的分類正確率.太小或太大的稀疏因子都不能取得最理想的分類正確率;太小的稀疏因子造成矩陣稀疏系數(shù)的稀疏性不夠,從而造成信息冗余或維數(shù)災(zāi)難;太大的稀疏因子會造成原始時頻圖像中故障特征信息的損失.從圖8可以得出，稀疏因子選為0.2是最佳選擇.

圖8 不同稀疏因子所對應(yīng)的分類正確率Fig.8 The different classification ratio using different sparse factors

迭代次數(shù)的選擇沒有具體的參考,按文獻(xiàn)[6]選為200.

按圖2所示的相關(guān)步驟進(jìn)行特征選取后,首先用30組內(nèi)圈外圈的訓(xùn)練故障特征信息進(jìn)行SVDD診斷模型訓(xùn)練;然后將50組內(nèi)圈外圈復(fù)合故障測試特征信息、50組外圈滾動體復(fù)合故障測試特征信息及50組內(nèi)圈外圈滾動體復(fù)合故障測試特征信息共150組測試向量,輸入到訓(xùn)練好的SVDD模型中,分類結(jié)果如圖9(a)所示.其中1～50組對應(yīng)的內(nèi)圈外圈故障測試特征向量,51～100組對應(yīng)外圈滾動體復(fù)合故障測試特征向量,101～150組對應(yīng)內(nèi)圈外圈滾動體復(fù)合故障測試特征向量.由分類結(jié)果可以看出:50組內(nèi)圈外圈故障特征向量只有兩組被誤分,分類正確率達(dá)到了96%;而后兩種故障(滾動體外圈復(fù)合故障、內(nèi)圈外圈滾動體復(fù)合故障) 均被分類為非目標(biāo)樣本,正確率達(dá)到100%；總體分類正確率為98%,達(dá)到了理想的測試效果.同樣,圖9(b)和圖9(c)是滾動軸承外圈滾動體、外圈內(nèi)圈滾動體復(fù)合故障的分類結(jié)果,同樣取得了好的分類效果.

圖9 基于雙譜時頻圖SNMF特征提取SVDD的診斷結(jié)果Fig.9 The fault diagnosis result based on bispectrum time-frequency SNMF feature extraction SVDD

5 結(jié)論

本文將基于圖像處理的思想引入到滾動軸承的故障特征提取中來,提出基于SNMF-SVDD的滾動軸承復(fù)合故障診斷.首先對滾動軸承的3種復(fù)合故障信號進(jìn)行雙譜分析,得到3種運(yùn)行狀態(tài)下的雙譜時頻圖像.對時頻圖像進(jìn)行SNMF進(jìn)行分解,得到雙譜時頻圖像的稀疏系數(shù)矩陣作為SVDD的訓(xùn)練及測試特征向量.通過實驗驗證了所述方法具有較高的分類精度.此外,為突出SNMF在雙譜時頻圖像特征提取中的優(yōu)越性,對比了基于NMF-SVDD的分類結(jié)果.結(jié)果證明所述方法具有高的分類精度.