基于動(dòng)態(tài)規(guī)劃的冗余機(jī)械臂液壓驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)能量?jī)?yōu)化

劉大龍

(南寧學(xué)院 交通學(xué)院,南寧 530200)

自20世紀(jì)以來,人類一直夢(mèng)想能夠設(shè)計(jì)出代替手工勞動(dòng)的各種機(jī)械臂.自動(dòng)化技術(shù)的蓬勃發(fā)展使得人類夢(mèng)想變?yōu)楝F(xiàn)實(shí).機(jī)械臂的發(fā)展涉及多種學(xué)科,包括機(jī)械、電路控制、計(jì)算機(jī)及仿生學(xué)等.目前,機(jī)械臂的驅(qū)動(dòng)方式包括氣動(dòng)驅(qū)動(dòng)、電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)和液壓驅(qū)動(dòng)等[1].氣動(dòng)驅(qū)動(dòng)方式成本較低、維護(hù)方便、質(zhì)量輕,但是軌跡跟蹤精度低;電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)方式體積較小、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、價(jià)格較低,但是功率質(zhì)量比不足;液壓驅(qū)動(dòng)方式具有運(yùn)動(dòng)精度高、功率質(zhì)量比大、傳遞負(fù)荷和環(huán)境適應(yīng)能力較強(qiáng)等特點(diǎn).因此,機(jī)械臂驅(qū)動(dòng)方式大多采用液壓驅(qū)動(dòng),從而掀起了設(shè)計(jì)者對(duì)機(jī)械臂液壓驅(qū)動(dòng)方式研究熱潮.

為了增強(qiáng)機(jī)械臂液壓驅(qū)動(dòng)的穩(wěn)定性,降低機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)能量消耗,許多學(xué)者對(duì)機(jī)械臂液壓驅(qū)動(dòng)進(jìn)行了深入研究.例如:文獻(xiàn)[2-3]研究了機(jī)器人數(shù)字液壓驅(qū)動(dòng)技術(shù),分析數(shù)字液壓驅(qū)動(dòng)優(yōu)點(diǎn)及研究現(xiàn)狀,設(shè)計(jì)機(jī)器人關(guān)節(jié)數(shù)字流量控制系統(tǒng),建立液壓驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)原理圖,采用AMESIim軟件對(duì)數(shù)字控制液壓驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)能量效率進(jìn)行仿真,從而降低了液壓驅(qū)動(dòng)所需的流量.文獻(xiàn)[4-5]研究了四足機(jī)器人關(guān)節(jié)液壓驅(qū)動(dòng)方法,分析機(jī)器人各個(gè)關(guān)節(jié)液壓驅(qū)動(dòng)力,提出可變液壓供油驅(qū)動(dòng)方案,引用增益切換方法實(shí)現(xiàn)供油壓力控制,采用Matlab和AMESim對(duì)控制方法進(jìn)行仿真,降低了系統(tǒng)的能量消耗.文獻(xiàn)[6]研究了消防機(jī)器人液壓控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方案,建立了機(jī)器人液壓控制系統(tǒng)原理圖,通過比例閥和溢流閥控制流量速度,采用伺服電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)雙向定量泵,結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,減少了系統(tǒng)元器件,有利于降低成本.以前研究的機(jī)器人液壓驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)在一定程度上降低了能量消耗,為更好地節(jié)約資源,液壓驅(qū)動(dòng)方案還需要改進(jìn).對(duì)此,本文采用3自由度冗余機(jī)械臂液壓驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為研究對(duì)象,創(chuàng)建負(fù)載傳感系統(tǒng)的液壓回路,采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法優(yōu)化機(jī)械臂液壓驅(qū)動(dòng)系統(tǒng).通過數(shù)學(xué)軟件Matlab對(duì)機(jī)械臂液壓系統(tǒng)能量消耗進(jìn)行仿真,并與無(wú)動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法液壓系統(tǒng)能量消耗仿真結(jié)果形成對(duì)比,為進(jìn)一步研究液壓驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)能量消耗提供參考.

1 冗余液壓機(jī)械臂

1.1 機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)分析

本文采用3自由度冗余液壓機(jī)械臂為研究對(duì)象,其平面簡(jiǎn)圖如圖1所示.

圖1 機(jī)械臂液壓驅(qū)動(dòng)簡(jiǎn)圖Fig.1 Hydraulic drive diagram of mechanical arm

機(jī)械手關(guān)節(jié)空間矢量為

(1)

式中:q1為上升角;q2為傾角;q3為圓筒伸長(zhǎng)長(zhǎng)度.

在全局坐標(biāo)w中,定義終端執(zhí)行器位置為

(2)

式中:xw,yw分別為終端執(zhí)行器x軸和y軸坐標(biāo);L1和L2為機(jī)械手連桿長(zhǎng)度;Ox和Oy分別為第1個(gè)關(guān)節(jié)x軸和y軸方向的偏移量.

終端執(zhí)行器笛卡爾位置的任務(wù)空間向量為

(3)

根據(jù)式(2)和式(3)變換可以得到

(4)

式中:矩陣J(q)為xt的偏導(dǎo)數(shù),與q有關(guān);q′為q的導(dǎo)數(shù)矩陣.

為了求解式(4)關(guān)節(jié)速度q′,對(duì)非方陣J(q)進(jìn)行轉(zhuǎn)置.利用權(quán)值右側(cè)廣義逆矩陣,得到了一個(gè)特殊的逆矩陣[7]:

(5)

式中:W為加權(quán)矩陣;(q′)?為導(dǎo)數(shù)矩陣的偽逆.

1.2 液壓系統(tǒng)

可變位移泵是液壓元件,能夠通過液壓或電動(dòng)改變泵的位移輸出量[8].液壓操縱器的泵是軸向活塞式,通過調(diào)整墊板的角度來控制輸出流量,由壓力調(diào)節(jié)的液壓控制活塞作用于彈簧負(fù)載.

載荷傳感(Load Sensing,LS)系統(tǒng)通過調(diào)節(jié)閥控制泵排量,使泵出口處的壓力隨時(shí)間變化而變化,如圖2所示,通過液壓控制管路不斷調(diào)節(jié)最高載荷壓力以達(dá)到固定壓力增量.泵流量與執(zhí)行機(jī)構(gòu)要求的流量互相匹配.這種理想的控制動(dòng)作是通過將彈簧張力作用于調(diào)節(jié)閥的閥軸上,從而達(dá)到與所需的供應(yīng)壓力相對(duì)應(yīng)的力.由于阻尼降低,負(fù)載不均勻,控制執(zhí)行器閥門上的壓力損失明顯減小.LS系統(tǒng)的變化包括電控系統(tǒng),該系統(tǒng)能夠消除LS系統(tǒng)中的較長(zhǎng)控制管路,同時(shí)包括改變系統(tǒng)壓力的流量控制系統(tǒng).LS系統(tǒng)在開環(huán)控制的機(jī)械臂中非常受歡迎,在這種機(jī)械臂中,必須將能量分配給單個(gè)泵裝置的多個(gè)執(zhí)行機(jī)構(gòu).該系統(tǒng)在反饋控制應(yīng)用中具有較好的穩(wěn)定性,能夠有效地解決液壓系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)冗余問題.液壓泵流量和供應(yīng)壓力的可控性使其能夠節(jié)約冗余度.

圖2 負(fù)載傳感系統(tǒng)的液壓回路Fig.2 Hydraulic circuit of load sensing system

2 系統(tǒng)控制目標(biāo)函數(shù)

優(yōu)化目標(biāo)是將性能成本函數(shù)Lp最小化,Lp與液壓系統(tǒng)的能耗有關(guān),而機(jī)械臂末端執(zhí)行器主要是跟蹤一個(gè)與時(shí)間有關(guān)的平面路徑r(t),可表示為

(6)

式中:t為時(shí)間.

液壓系統(tǒng)控制成本函數(shù)[9]為

(7)

約束條件為

(8)

為了確保較好的路徑跟蹤,這里ge包含的等式方程式為

(9)

在gi中包含以下狀態(tài)和控制約束,即

(10)

式中:ximin為狀態(tài)i的最小可行值;ximax為狀態(tài)i的最大可行值;uimin為關(guān)節(jié)i的最小加速度;uimax為關(guān)節(jié)i的最大加速度.

離散時(shí)間問題表述如下:將0～tf的連續(xù)時(shí)間離散為N個(gè)相等長(zhǎng)度的區(qū)間.對(duì)式(7)的成本函數(shù)進(jìn)行離散化,可以寫成

(11)

式中:Ts為積分時(shí)間步數(shù);k為離散時(shí)間指數(shù);xk為離散狀態(tài)向量;uk為離散控制向量;Lp,k為離散時(shí)間階段性能成本函數(shù);lk為超出關(guān)節(jié)限制的附加項(xiàng).

利用著名的前向歐拉法[10],可以對(duì)狀態(tài)動(dòng)力學(xué)進(jìn)行離散化,即

(12)

式中:f(xk,uk)為離散系統(tǒng)動(dòng)力學(xué).

3 動(dòng)態(tài)規(guī)劃優(yōu)化

3.1 動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理

動(dòng)態(tài)規(guī)劃(Dynamic Programming,DP)是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)分支,是求解決策過程的最優(yōu)化的數(shù)學(xué)方法,是一種強(qiáng)大的離散時(shí)間方法,可以為非凸最優(yōu)控制問題提供全局解決方案[11].在實(shí)踐中,需要對(duì)狀態(tài)和控件進(jìn)行離散化,從而產(chǎn)生一個(gè)網(wǎng)格,其中所涉及的變量只需要有限數(shù)量的離散值,對(duì)這些離散點(diǎn)進(jìn)行成本計(jì)算.離散化越好,得到的解就越接近全局最優(yōu)解.在離散化的情況下,用遞歸Bellman方程[12](最優(yōu)化原理)得到最優(yōu)控制問題的解為

(13)

式中:Jk(xk)為階段k∈(0,1,…,N-1)的最佳成本.

定義每個(gè)狀態(tài)向量組合階段k,例如:xk∈X={X1,X2,…,XNx}(Nx為狀態(tài)的數(shù)量)和計(jì)算在所有控制向量組合階段k,uk∈U={U1,U2,…,UNu}(Nu為控制數(shù)量).Xi={xi(1),xi(2),…,xi(Nxi)}和Ui=ui(1),ui(2),…,ui(Nui)}分別為狀態(tài)、控制i的離散集.在式(10)中定義的關(guān)節(jié)限制,決定了這些離散集合中可行狀態(tài)、控制值的最大值和最小值.變量Nxi，Nui分別為離散狀態(tài)和控件的數(shù)量.Lp,k+lk為運(yùn)行成本,Fk(xk,uk)為離散系統(tǒng)動(dòng)力學(xué).本文尋找最優(yōu)控制策略(在每個(gè)離散時(shí)間最優(yōu)控制階段k),該策略在整個(gè)軌跡上,從最初到最后階段能夠產(chǎn)生的最低成本,通過極值獲得最小值(即全局極值代替局部極值).

最優(yōu)性原則的主要含義是在任何階段都是最優(yōu)的.假設(shè)系統(tǒng)有一個(gè)單狀態(tài)x,可以取7個(gè)值,控制u可以取3個(gè)表示標(biāo)記的值(圓、三角形和正方形),處理一個(gè)n階問題,展示了最后3個(gè)階段和每個(gè)狀態(tài)對(duì)應(yīng)的計(jì)算最優(yōu)控制,其解決方案映射如圖3所示.

圖3 動(dòng)態(tài)規(guī)劃標(biāo)記最優(yōu)控制示例圖Fig.3 An example of dynamic programming marking optimal control

(14)

式中:uN-1∈{u(1),u(2),u(3)},u(2)為最優(yōu)控制實(shí)例,它能夠在特殊的狀態(tài)下,求出最優(yōu)成本JN-1最小值.對(duì)這個(gè)控制過程和最優(yōu)成本進(jìn)行存儲(chǔ).

(15)

式中:u(3)為最優(yōu)控制;JN-2為最優(yōu)成本.

3.2 機(jī)械臂液壓系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)

對(duì)機(jī)械臂伸縮關(guān)節(jié)q3的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行優(yōu)化,簡(jiǎn)化了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)，即

(16)

式中:q3,k為k階段的擴(kuò)展關(guān)節(jié)位置;u3,k為k階段的控制輸入.

式中:rx,k,ry,k分別為k階段工作空間位置x和y坐標(biāo).

(19)

用優(yōu)化擴(kuò)展關(guān)節(jié)得到期望的笛卡爾速度為

(20)

用矩陣反演的方式,直接求解關(guān)節(jié)角速度q1,k和q2,k，即

(21)

式中:[J1(qk)J2(qk)]-1為雅可比逆矩陣.

(22)

3.3 負(fù)載感應(yīng)系統(tǒng)能源消耗

在液壓操縱器中,執(zhí)行器的能量消耗不等于液壓元件所消耗的能量，當(dāng)執(zhí)行器承受不相等的負(fù)載時(shí),控制閥門上存在壓力損失.因此,從液壓系統(tǒng)角度提出成本函數(shù).

在標(biāo)準(zhǔn)DP系統(tǒng)中,由于位移面積隨運(yùn)動(dòng)方向的變化而發(fā)生泵流成本函數(shù)的不連續(xù)和非線性并不是一個(gè)問題.當(dāng)Qp,k≥0時(shí),根據(jù)式(11),泵流速成本函數(shù)在時(shí)間階段k可以寫成

(23)

在LS體系結(jié)構(gòu)系統(tǒng),當(dāng)執(zhí)行器之間的負(fù)載由于系統(tǒng)性質(zhì)而不平衡時(shí),在控制閥上產(chǎn)生壓力損失,LS系統(tǒng)輸出的液壓功率方程式為

(24)

式中:ps,k為供應(yīng)壓力;ηt,k為液壓泵和驅(qū)動(dòng)電動(dòng)機(jī)在時(shí)間階段k的總能量效率.

忽略變量泵的動(dòng)力學(xué),供應(yīng)壓力ps,k與最高執(zhí)行機(jī)構(gòu)壓力一致，即

(25)

式中:p1,k為升降氣缸腔壓力;p2,k為傾斜氣缸腔壓力;p3,k為擴(kuò)展氣缸腔壓力;ΔPLS為壓力差.

4 能量仿真分析

為了比較動(dòng)態(tài)規(guī)劃后的液壓機(jī)械臂能量消耗情況,采用Matlab軟件進(jìn)行仿真,仿真初始參數(shù)為:連桿L1=1.62 m,L2=1.58 m,坐標(biāo)位置Ox=-0.25 m,Oy=0.98 m,連桿質(zhì)量m1=82.24 kg,m2=35.86 kg,m3=572.34 kg,角位移q1min=-0.23 rad,q1max=1.54 rad,q2min=-2.57 rad,q2max=-0.36 rad,圓筒伸長(zhǎng)量q3min=0 m,q3max=1.06 m,運(yùn)動(dòng)速度vimin=-0.2 m/s,vimax=0.2 m/s,運(yùn)動(dòng)加速度aimin=-0.5 m/s2,aimax=0.5 m/s2,運(yùn)動(dòng)軌跡為圓形,x2+y2=25 m.采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法優(yōu)化前、后的液壓冗余機(jī)械臂系統(tǒng)能量仿真結(jié)果如圖4所示.

圖4 液壓泵能源消耗Fig.4 Energy consumption of hydraulic pump

根據(jù)圖4液壓泵消耗功率可得:無(wú)動(dòng)態(tài)規(guī)劃優(yōu)化,液壓泵消耗的功率主要集中在[2.5×104,4.0× 104] W之間,最大消耗功率為6.1×104W;有動(dòng)態(tài)規(guī)劃優(yōu)化后,液壓泵消耗的功率主要集中在[1.0×104,2.0×104] W之間,最大消耗功率為4.9×104W.采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃優(yōu)化后的液壓冗余機(jī)械臂,其消耗的功率較小,運(yùn)動(dòng)相對(duì)平穩(wěn).

5 結(jié)語(yǔ)

本文研究冗余機(jī)械臂液壓驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)能量消耗優(yōu)化方法,給出機(jī)械臂液壓驅(qū)動(dòng)簡(jiǎn)圖模型,推導(dǎo)末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)方程式.根據(jù)機(jī)械臂末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)路徑建立動(dòng)力學(xué)模型,并且對(duì)運(yùn)動(dòng)參數(shù)進(jìn)行離散化,構(gòu)造多目標(biāo)函數(shù),添加約束條件.簡(jiǎn)化機(jī)械臂液壓驅(qū)動(dòng)動(dòng)力學(xué),引用動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法優(yōu)化液壓驅(qū)動(dòng)控制系統(tǒng),在Matlab軟件中對(duì)動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法優(yōu)化后的液壓驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行能量仿真,并且與無(wú)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的能量消耗仿真結(jié)果形成對(duì)比.結(jié)果表明:冗余機(jī)械臂液壓系統(tǒng)采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法優(yōu)化后,能量消耗較小,機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)相對(duì)穩(wěn)定,有利于節(jié)約資源.