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    數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下函數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計(jì)

    2018-12-24 09:51:32卜凡敏黃曉學(xué)
    福建中學(xué)數(shù)學(xué) 2018年6期
    關(guān)鍵詞:符號(hào)概念函數(shù)

    卜凡敏 黃曉學(xué)

    我國(guó)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》明確指出:“在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過(guò)程中,學(xué)生能發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),”[1]函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的概念,在解決實(shí)際問(wèn)題中發(fā)揮重要作用,函數(shù)也是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線,本文通過(guò)對(duì)函數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計(jì),來(lái)闡述如何將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)真正落實(shí)到基礎(chǔ)教育的主陣地——課堂教學(xué).

    1 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

    1.1 創(chuàng)設(shè)情境,提出問(wèn)題

    情境播放嫦娥一號(hào)月球探測(cè)衛(wèi)星成功發(fā)射的視頻(圖略).

    教師:衛(wèi)星在發(fā)射的過(guò)程中,我們關(guān)注的是衛(wèi)星與地面的距離隨時(shí)間的變化,其實(shí)早在十六世紀(jì),物體運(yùn)動(dòng)的研究已成為自然科學(xué)的中心問(wèn)題,數(shù)學(xué)家、科學(xué)家、思想家都強(qiáng)調(diào)用數(shù)學(xué)的方法和思想來(lái)研究事物或現(xiàn)象的變化規(guī)律,今天我們就來(lái)探討如何用數(shù)學(xué)的眼光描述運(yùn)動(dòng)變化量之間的依賴關(guān)系. 設(shè)計(jì)意圖正如弗賴登塔爾所說(shuō):數(shù)學(xué)化應(yīng)從“原始的現(xiàn)實(shí)開(kāi)始”,而非接近數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí),通過(guò)實(shí)際情境引發(fā)學(xué)生思考,激發(fā)探究的欲望,概括出蘊(yùn)涵于問(wèn)題中變量之間的依賴關(guān)系,從而初步抽象出所要研究的數(shù)學(xué)對(duì)象即函數(shù)概念.

    1.2 喚醒經(jīng)驗(yàn),產(chǎn)生認(rèn)知沖突

    問(wèn)題1 請(qǐng)同學(xué)們回憶初中函數(shù)概念是如何定義的?初中我們學(xué)過(guò)哪些函數(shù)?

    設(shè)計(jì)意圖建構(gòu)主義理論認(rèn)為,學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者基于原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)生成意義、建構(gòu)理解的過(guò)程,通過(guò)回顧初中函數(shù)概念的學(xué)習(xí),激活學(xué)生原有知識(shí),使“熟悉”的函數(shù)成為新知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”,推動(dòng)學(xué)生思維的參與.

    問(wèn)題2 請(qǐng)同學(xué)們思考“y=0”是不是函數(shù)?并說(shuō)出判斷的理由,

    學(xué)生1:“y=0“不是函數(shù),因?yàn)閥與x沒(méi)有關(guān)系,y不隨x的變化而變化,所以它不是函數(shù),

    教師:我們能不能把“y=0”寫(xiě)成含有y和x的形式呢?

    學(xué)生2:“y=0”可以改寫(xiě)成“y=O×x”的形式,對(duì)于x取任意值,y都等于0.

    教師總結(jié):無(wú)論x怎樣變化,y都是“以不變應(yīng)萬(wàn)變”,這里的“應(yīng)”我們可以理解為“對(duì)應(yīng)”的意思,也就是說(shuō)對(duì)于x的每一個(gè)值,y都有唯一確定的值“0”和它對(duì)應(yīng),今天,我們就從“對(duì)應(yīng)”這個(gè)新的視角來(lái)探究函數(shù)概念.

    設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)設(shè)置有思考力度的數(shù)學(xué)問(wèn)題,引起學(xué)生的思維沖突,產(chǎn)生認(rèn)知失調(diào),從而打開(kāi)思維的閘門(mén),深入挖掘函數(shù)概念的本質(zhì),在教師的引導(dǎo)下,“順理成章”地抽象出函數(shù)概念的本質(zhì)屬性與核心部分即“對(duì)應(yīng)”,使教學(xué)活動(dòng)的推進(jìn)與學(xué)生認(rèn)知活動(dòng)的發(fā)展產(chǎn)生“共振”.

    1.3 師生交流,感悟?qū)?yīng)關(guān)系

    用幾何畫(huà)板演示課本第15頁(yè)的3個(gè)問(wèn)題(人教A版高中必修1).讓學(xué)生推斷“對(duì)應(yīng)關(guān)系”,判斷變量之間是否是函數(shù)關(guān)系?并嘗試用集合語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)函數(shù).

    設(shè)計(jì)意圖教師利用《幾何畫(huà)板》創(chuàng)設(shè)體現(xiàn)運(yùn)動(dòng)與變化的問(wèn)題情境,學(xué)生直觀的感受到函數(shù)是描述事物運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型,學(xué)生初步建立對(duì)“對(duì)應(yīng)關(guān)系”的認(rèn)識(shí),并啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生用集合和對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言描述變量之間的依賴關(guān)系,發(fā)展學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行交流的能力,在師生交流中,促進(jìn)學(xué)生思維參與,形成和發(fā)展學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng),使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.

    1.4 自主探索,發(fā)現(xiàn)函數(shù)概念本質(zhì)屬性

    問(wèn)題3小組討論:分析、歸納以上3個(gè)實(shí)例,你能發(fā)現(xiàn)它們有什么不同特點(diǎn)和相同點(diǎn)嗎?

    學(xué)生3:不同點(diǎn):三個(gè)實(shí)例的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同,實(shí)例1用解析式來(lái)刻畫(huà)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,實(shí)例2用圖象刻畫(huà)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,實(shí)例3用圖表刻畫(huà)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,相同點(diǎn):都有兩個(gè)非空集合和一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系.

    教師補(bǔ)充:三個(gè)實(shí)例中都是數(shù)到數(shù)的對(duì)應(yīng),所以函數(shù)有兩個(gè)非空數(shù)集,而且兩個(gè)非空數(shù)集間有一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系,至于用什么方法(解析式、圖象、表格)建立對(duì)應(yīng)是完全不重要的.

    教師追問(wèn):y與x的這種“對(duì)應(yīng)關(guān)系”與前面提到的“依賴關(guān)系”含義一致嗎?

    設(shè)計(jì)意圖 函數(shù)概念的獲得是一系列弱抽象的過(guò)程,將初中數(shù)學(xué)教材中的“變量說(shuō)”進(jìn)一步抽象為高中數(shù)學(xué)教材中的“對(duì)應(yīng)說(shuō)”,把更加抽象的“對(duì)應(yīng)說(shuō)”與現(xiàn)實(shí)情境中的事物、現(xiàn)象和抽象層次較低的“變量說(shuō)”聯(lián)系在一起,逐步“去情境化”,凸顯本質(zhì)屬性,最終脫離較低層次的“變量說(shuō)”的支持,發(fā)展為更為一般的“對(duì)應(yīng)說(shuō)”,讓學(xué)生意識(shí)到函數(shù)作為“依賴關(guān)系”的描述和作為“對(duì)應(yīng)關(guān)系”的描述本質(zhì)是一致的,是從不同的側(cè)面來(lái)認(rèn)識(shí)函數(shù)概念的[2].

    1.5 巧用類比,引入函數(shù)符號(hào)

    問(wèn)題4初中我們學(xué)過(guò)很多運(yùn)算符號(hào),你能回憶起哪些呢?

    學(xué)生4:算術(shù)平方根符號(hào);絕對(duì)值符號(hào)Ⅱ正弦符號(hào)sin;余弦符號(hào)cos等.

    教師板書(shū):算術(shù)平方根符號(hào)√:b→√b;絕對(duì)值符號(hào)II:6一lbl;正弦符號(hào)sin:B→ sinB;余弦符號(hào)cos:B → cosB.

    教師追問(wèn):類比以前學(xué)過(guò)的運(yùn)算符號(hào),我們是不是可以把3種“對(duì)應(yīng)”類型(解析式、圖象、表格)用一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)統(tǒng)一表示成對(duì)應(yīng)關(guān)系?

    師生活動(dòng):教師在學(xué)生探究的基礎(chǔ)上引入對(duì)應(yīng)關(guān)系f并板書(shū):f:x→y;A→ B.(f也可以用g,h等表示).讓學(xué)生交流討論對(duì)“對(duì)應(yīng)關(guān)系f”的含義或作用的理解,并嘗試用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言來(lái)更加直觀、簡(jiǎn)潔的表達(dá)數(shù)集A中變量x與數(shù)集B中變量y之間的“對(duì)應(yīng)關(guān)系”,

    師生總結(jié):對(duì)應(yīng)關(guān)系的含義,簡(jiǎn)單地說(shuō)就是,對(duì)變量x施加一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系后得到變量y,對(duì)于數(shù)集A中的任意一個(gè)數(shù)x(在黑板上寫(xiě)下x),按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f(在黑板上寫(xiě)出“f”,并用括號(hào)將x括起來(lái)),得到數(shù)集B中唯一的y值(在黑板上已經(jīng)寫(xiě)下的“f (x)”前寫(xiě)出“y=”),從而寫(xiě)出等式y(tǒng)=f(x),也就是說(shuō)初中學(xué)習(xí)的y與f (x)本質(zhì)是一樣的,都表示自變量x所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值,在師生總結(jié)的基礎(chǔ)上教師給出課本上對(duì)函數(shù)概念的完整敘述.

    教師追問(wèn):那么你能不能準(zhǔn)確地判斷出問(wèn)題2中的“y=0”是不是函數(shù)?

    設(shè)計(jì)意圖 如果不能準(zhǔn)確地把敘述性語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言,則談不上數(shù)學(xué)的應(yīng)用和具備良好的數(shù)學(xué)思維能力,由運(yùn)算符號(hào)√、II、sin、cos類比引導(dǎo)學(xué)生得出對(duì)應(yīng)關(guān)系的符號(hào)f,進(jìn)而給出“函數(shù)概念”的定義,使學(xué)生不但容易理解概念,而且學(xué)會(huì)如何將概念轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言,促進(jìn)數(shù)學(xué)抽象思維的發(fā)展.

    1.6 借用比喻,深化對(duì)函數(shù)概念符號(hào)的理解

    問(wèn)題5 符號(hào)f(x)最初是由克雷羅和歐拉在1734年前后引進(jìn)的,因其形象、直觀,一直沿用至今,而函數(shù)符號(hào)y=f(x)是由德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲在18世紀(jì)引入的,他用符號(hào)f (x)替換少,即x→f(x)=y,有人說(shuō)函數(shù)y=f(x),x∈A是個(gè)“產(chǎn)品加工廠”,談?wù)勀愕睦斫?,這里的f (x)是“f”和“x”的乘積嗎?

    師生總結(jié):“f”和“x”不是乘積關(guān)系,而表示x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值,如f(x)= 3x2+1,當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)值是13.簡(jiǎn)便起見(jiàn),我們分別把它寫(xiě)成f(2) =13.一般地,如果x=a時(shí),函數(shù)對(duì)應(yīng)的值是6,那么,就可以記為f(a)=b.

    教師追問(wèn):你能求出f(a+1)、f(a)+1分別是多少嗎?

    設(shè)計(jì)意圖 數(shù)學(xué)的邏輯推理和運(yùn)算離不開(kāi)數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言,如果不能理解和把握符號(hào)語(yǔ)言的語(yǔ)義和句法,就不可能進(jìn)行數(shù)學(xué)推理和運(yùn)算,借用“產(chǎn)品加工廠”讓學(xué)生形成感性認(rèn)知,然后再去偽存真,抽象出共同的本質(zhì)屬性,達(dá)到對(duì)函數(shù)抽象表達(dá)理性思維層次的認(rèn)知,形成對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)特征和定義本身的特點(diǎn)與含義的理解.

    1.7 概念變式,深度剖析函數(shù)概念

    問(wèn)題6 你認(rèn)為函數(shù)的定義中哪些是關(guān)鍵詞呢?

    學(xué)生5:定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系.

    教師總結(jié):函數(shù)是一個(gè)整體,它必須具備:兩個(gè)集合(定義域和值域),一個(gè)對(duì)應(yīng)(從定義域到值域的單值對(duì)應(yīng)),因此我們稱這3部分為函數(shù)的三要素,它最完整的表示是y=f(x),x∈A,因?yàn)榫雍瘮?shù)核心地位的是對(duì)應(yīng)關(guān)系,所以在不致混淆的情況下,可以簡(jiǎn)化寫(xiě)為f(x)或f.

    師生活動(dòng):讓學(xué)生分析找出前面三個(gè)例題中函數(shù)的三要素,并判斷表示炮彈飛行高度h與時(shí)間f的函數(shù)x=y2與一般函數(shù)h=130t - 5t2是否相等,討論如果兩個(gè)函數(shù)相同,那么它們應(yīng)該滿足什么條件,

    設(shè)計(jì)意圖 給出了概念的定義并不意味著概念就形成了,教師要引導(dǎo)學(xué)生從各個(gè)不同的角度、不同層次和不同情形去審視概念,探究和感受概念內(nèi)涵的豐富性,讓學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì),從“不變”中探求“變”的規(guī)律,培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界.

    設(shè)計(jì)意圖 “數(shù)學(xué)是思維的體操”,函數(shù)概念的學(xué)習(xí)最終是為了獲得數(shù)學(xué)思維過(guò)程訓(xùn)練以及更廣泛的運(yùn)用,從多角度、多層次、全方位地編制類型豐富的變式題目,學(xué)生經(jīng)歷艱苦的探索過(guò)程,從而讓學(xué)生學(xué)會(huì)思維,并能逐步學(xué)會(huì)想得更清晰、更全面、更深入、更合理[3],培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維分析世界.

    問(wèn)題9課本第21頁(yè)的例5和例6(人教A版高中必修1).

    設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)例5和例6來(lái)了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù),并能夠解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

    1.9 小結(jié)反思,提煉深化概念

    問(wèn)題10 與初中學(xué)習(xí)的函數(shù)定義相比較,從知識(shí)、能力、思想等方面談?wù)勀銓?duì)函數(shù)有什么新認(rèn)識(shí)?

    設(shè)計(jì)意圖 回顧獲得函數(shù)概念的整個(gè)艱苦歷程,發(fā)現(xiàn)這是對(duì)學(xué)生“學(xué)”的一種深化過(guò)程,通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生從總體上理解和掌握知識(shí),培養(yǎng)學(xué)生善于思考、歸納總結(jié)的能力.

    1.10 課后思考,鞏固運(yùn)用概念

    問(wèn)題11 我們?yōu)榭坍?huà)描述現(xiàn)實(shí)世界中運(yùn)動(dòng)事物或變化現(xiàn)象而構(gòu)建了函數(shù)模型y=f(x).請(qǐng)你在現(xiàn)實(shí)生活中找出至少3個(gè)存在函數(shù)關(guān)系的實(shí)例(其中包括用圖象法、列表法、解析法表示的函數(shù)),并指出它們的三要素.

    設(shè)計(jì)意圖 數(shù)學(xué)模型構(gòu)建了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁,使得數(shù)學(xué)回歸于外部世界,詩(shī)人陸游有云,“紙上得來(lái)終覺(jué)淺,絕知此事要躬行”,學(xué)生通過(guò)建立函數(shù)模型來(lái)描述、解釋實(shí)際問(wèn)題,不但可以學(xué)會(huì)在實(shí)際情境中根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù),并理解函數(shù)圖象的作用,還可以體驗(yàn)成功解決問(wèn)題所帶來(lái)的成就感,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)情感素養(yǎng).

    2 教學(xué)設(shè)計(jì)反思

    函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的概念,是中學(xué)數(shù)學(xué)的紐帶,其實(shí)質(zhì)是反映變量之間依賴關(guān)系的抽象模型,函數(shù)概念作為基本的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具,在解決問(wèn)題和表達(dá)思想中發(fā)揮重要作用,學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的學(xué)習(xí)往往存在很多困難,本文在核心素養(yǎng)背景下構(gòu)建了該內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì),通過(guò)教學(xué)反思凝煉出如下教學(xué)主張[4]:(1)教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)要以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向、為宗旨,函數(shù)概念教學(xué)的目標(biāo)是幫助學(xué)生理解基于對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)定義,獲得數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等方面的數(shù)學(xué)素養(yǎng).(2)教學(xué)策略的設(shè)計(jì)要基于函數(shù)概念的數(shù)學(xué)本質(zhì),基于學(xué)生學(xué)習(xí)的原有經(jīng)驗(yàn),一方面,問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟(哈爾莫斯),數(shù)學(xué)的本質(zhì)是解決問(wèn)題、描述和理解結(jié)構(gòu)與范型,為了揭示函數(shù)概念的數(shù)學(xué)本質(zhì),通過(guò)“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)”的教學(xué)方式,以“問(wèn)題來(lái)龍一問(wèn)題實(shí)質(zhì)一問(wèn)題去脈”為抓手設(shè)計(jì)教學(xué)流程,另一方面,新的學(xué)習(xí)科學(xué)認(rèn)為,學(xué)習(xí)是原有經(jīng)驗(yàn)的遷移,為了保持?jǐn)?shù)學(xué)課堂的連貫性,在情境設(shè)計(jì)時(shí)要時(shí)刻關(guān)注學(xué)生過(guò)去、現(xiàn)在和未來(lái)的經(jīng)驗(yàn),并因材設(shè)計(jì)熟悉的情境、關(guān)聯(lián)的情境、綜合的情境,制造不同層次的認(rèn)知沖突.(3)教學(xué)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)要通過(guò)分層問(wèn)題測(cè)驗(yàn)學(xué)生“四基四能”的獲得,促進(jìn)核心素養(yǎng)的達(dá)成,通過(guò)這樣的教學(xué)能讓學(xué)生理解函數(shù)概念的本質(zhì),感悟數(shù)學(xué)的精神、思想和方法[5].

    參考文獻(xiàn)

    [1]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)[S].北京:人民教育出版社,2017

    [2]賈丕珠.函數(shù)學(xué)習(xí)中的六個(gè)認(rèn)知層次[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2004,13(3):79-81

    [3]鄭毓信.數(shù)學(xué)教育視角下的“核心素養(yǎng)”[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2016,25(3): 1-5

    [4]黃曉學(xué).良好的數(shù)學(xué)教育——基于教學(xué)視角[J].扛蘇師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2016 (1): 43-46

    [5]米山國(guó)藏.毛正中,吳素華譯,數(shù)學(xué)的精神、思想和方法[M].成都:四川教育出版社,1986

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