例談數(shù)學(xué)文化試題的三個(gè)層次

丘遠(yuǎn)青

近年，在高三數(shù)學(xué)試卷中頻繁出現(xiàn)具有“數(shù)學(xué)文化”背景的試題，試題出現(xiàn)伊始確實(shí)給人耳目一新之感.但見(jiàn)得多了，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)，大部分此類(lèi)試題的命制方式就是把一道數(shù)學(xué)題從古代搬到現(xiàn)代，這樣造成的一個(gè)結(jié)果是，學(xué)生對(duì)這種題僅停留在“就題解題”的層面，也許見(jiàn)到了“文化”，但很難領(lǐng)會(huì)到“數(shù)學(xué)文化”中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思維價(jià)值，甚至很多教師對(duì)數(shù)學(xué)文化的認(rèn)識(shí)也比較淺薄.高質(zhì)量的數(shù)學(xué)文化試題應(yīng)源于數(shù)學(xué)文化而高于數(shù)學(xué)文化，體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的過(guò)程性特點(diǎn)，考查數(shù)學(xué)文化背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，將數(shù)學(xué)文化試題置于整個(gè)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的大局中，而不只是一種穿越到今天的數(shù)學(xué)題.

面對(duì)數(shù)學(xué)文化，究竟應(yīng)該考什么？怎樣考？通過(guò)對(duì)近幾年大量的數(shù)學(xué)文化試題的研究，筆者認(rèn)為高質(zhì)量、有價(jià)值的數(shù)學(xué)文化試題應(yīng)有如下三個(gè)層次.

第一層次以數(shù)學(xué)文化為試題，滲透中國(guó)古代傳統(tǒng)文化

以數(shù)學(xué)文化為試題的特點(diǎn)是直接取材于數(shù)學(xué)名著或名題，借數(shù)學(xué)名著或名題中提出的數(shù)學(xué)問(wèn)題，檢驗(yàn)考生數(shù)學(xué)基本知識(shí)和基本技能掌握的情況.

例1（2015年新課標(biāo)I卷.6）《九章算術(shù)>是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問(wèn)：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖1，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一）米堆底部的弧度為8尺，米堆的高為5尺，問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有

A. 14斛

B. 22斛 C. 36斛 D. 66斛

例2（2017年高考全國(guó)I卷·理2）如圖2所示，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是

A.1/4

B.π/8

C.1/2

D.π/4

評(píng)析例1源于中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》卷第五《商功》之[二五]，例2圖中圓形區(qū)域?yàn)橹袊?guó)古代的“太極圖”，兩道試題均取材于中國(guó)傳統(tǒng)文化，又巧妙地將中國(guó)傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代教育元素相結(jié)合，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識(shí)中華傳統(tǒng)文化有著深刻的教育意義，如例2，“太極”是中國(guó)古代的哲學(xué)術(shù)語(yǔ)，意為派生萬(wàn)物的本源，太極圖形象地表達(dá)了陰陽(yáng)輪轉(zhuǎn)、相反相成是萬(wàn)物生成變化的哲理，試題以此為情境，設(shè)計(jì)一個(gè)幾何概型以及幾何概率計(jì)算問(wèn)題，貼近考生實(shí)際生活，通過(guò)問(wèn)題的求解，使考生體會(huì)概率在生活中的應(yīng)用，又傳播了中國(guó)傳統(tǒng)文化.

以數(shù)學(xué)史為試題情景材料，可以引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)、培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，可以引導(dǎo)學(xué)生探究解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，這樣設(shè)計(jì)的試題，可以考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，既符合考生的認(rèn)知水平，又可以引導(dǎo)考生關(guān)注中華傳統(tǒng)文化.

第二層次以數(shù)學(xué)文化為背景，滲透數(shù)學(xué)精神

以數(shù)學(xué)文化為背景的試題，其特點(diǎn)是滲透數(shù)學(xué)精神，考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)文化中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的遷移能力.

例3 如圖3，圓錐SO的軸截面ASAB是邊長(zhǎng)為4的正三角形，M為母線SB的中點(diǎn)，過(guò)直線AM作平面β⊥面SAB，設(shè)β與圓錐側(cè)面的交線為橢圓C，則橢圓C的短半軸為_(kāi)___.

A.√2 B.√10/2 c.√3 D.2

分析歷史上，許多人從純幾何角度出發(fā)對(duì)“一個(gè)平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓”這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行過(guò)研究，其中數(shù)學(xué)家Germinal Dandelin的方法非常巧妙，本題的命制是以“Dandelin雙球探究圓錐曲線的生成”為背景，取材于人教A版數(shù)學(xué)選修2-1第二章圓錐曲線與方程的“探究與發(fā)現(xiàn)一為什么截口曲線是橢圓”的內(nèi)容，在這道試題中，通過(guò)設(shè)問(wèn)將不同知識(shí)和方法有機(jī)整合，對(duì)知識(shí)的考查側(cè)重理解和運(yùn)用，讓學(xué)生獨(dú)立思考，分析問(wèn)題，研究問(wèn)題，并最終解決問(wèn)題，而采用“Dandelin雙球”實(shí)驗(yàn)所蘊(yùn)含的思想方法，無(wú)疑是最有效的.

解析 如圖4，作球O與圓錐側(cè)面及平面β相切，切點(diǎn)分別為C，F(xiàn)，則F為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn).

評(píng)析數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)、培養(yǎng)理性思維的一個(gè)主要途徑，數(shù)學(xué)精神就是重視理性認(rèn)識(shí)活動(dòng)，以尋找事物的本質(zhì)、規(guī)律及內(nèi)部聯(lián)系的精神，在試題中滲透數(shù)學(xué)精神，可以體現(xiàn)反思性、體現(xiàn)探究性、體現(xiàn)獨(dú)立思考、體現(xiàn)遷移能力等，該解法延續(xù)了“GerminalDandelin雙球”的解法，解法筒捷高效，使“GerminalDandelin雙球”這一數(shù)學(xué)文化又重現(xiàn)生機(jī)，發(fā)揮了巨大威力，不禁令人拍案叫絕.

第三層次 以數(shù)學(xué)文化為載體，滲透數(shù)學(xué)應(yīng)用

以數(shù)學(xué)文化為載體的試題，其特點(diǎn)是在試題中滲透數(shù)學(xué)應(yīng)用，通過(guò)設(shè)計(jì)適合的試題情境，要求學(xué)生能夠利用所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化知識(shí)分析、解決實(shí)際問(wèn)題，考查考生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

分析 對(duì)該題的解答多數(shù)考生，甚至教師都是采用特殊法解決，這無(wú)疑背離了該題命制的意圖和考查目的，本題在試題呈現(xiàn)上似乎與數(shù)學(xué)文化無(wú)關(guān)，而實(shí)質(zhì)上是以著名的“阿波羅尼斯圓”為背景（在人教A版教材上與其相關(guān)的題目也有兩處）.如果沒(méi)有阿波羅尼斯圓的知識(shí)，你可能發(fā)現(xiàn)不了題中的圓0就是阿波羅尼斯圓這是一個(gè)巧妙的隱含條件，這樣就會(huì)給問(wèn)題的解決帶來(lái)困難，甚至無(wú)法理解問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì).

解析 根據(jù)阿波羅尼斯圓的定義可知，題中的點(diǎn)M，N都在阿波羅尼斯圓上，如圖6，設(shè)圓0與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為P，Q，則P（O，1），Q（0，-1）.

例5（人教A版必修五第104頁(yè)B組第6題）兩次購(gòu)買(mǎi)同一種物品，可以用兩種不同的策略，第一種是不考慮物品價(jià)格的升降，每次購(gòu)買(mǎi)這種物品的數(shù)量一定;第二種是不考慮物品價(jià)格的升降，每次購(gòu)買(mǎi)這種物品所花的錢(qián)數(shù)一定，哪種購(gòu)物方式比較經(jīng)濟(jì)？能把所得結(jié)論作一些推廣嗎？

分析 本題以兩個(gè)實(shí)際購(gòu)物方案為背景，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用不等式有關(guān)知識(shí)分析兩種購(gòu)物方式的相互關(guān)系，試題的設(shè)計(jì)源于社會(huì)實(shí)際，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與我們社會(huì)生活的密切相關(guān)性.

評(píng)析 本題以兩個(gè)實(shí)際購(gòu)物方案為背景，設(shè)計(jì)實(shí)際問(wèn)題，考查學(xué)生處理數(shù)據(jù)及運(yùn)用不等式知識(shí)（調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)以及平方和平均數(shù)）解決問(wèn)題的能力，試題貼近生活，具有現(xiàn)實(shí)意義，在提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，提升學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力等方面有著很好的引導(dǎo)作用.

數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)有機(jī)組成部分，數(shù)學(xué)試題在滲透數(shù)學(xué)文化時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意與數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)結(jié)合，注重體現(xiàn)其理性思維的本質(zhì)內(nèi)涵;數(shù)學(xué)試題在滲透數(shù)學(xué)文化時(shí)，可以通過(guò)創(chuàng)設(shè)新的情境、改變?cè)O(shè)問(wèn)方式，選取適合的知識(shí)內(nèi)容等多種方法滲透數(shù)學(xué)文化，滲透現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想和方法，增加基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的要求;高考試題滲透數(shù)學(xué)文化的重要意義在于能充分發(fā)揮高考命題的育人功能，可以適當(dāng)引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)，使得更多的教師關(guān)注數(shù)學(xué)文化，研究數(shù)學(xué)文化，將數(shù)學(xué)的本質(zhì)教授給學(xué)生，而學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)文化的熏陶，可以形成和踐行社會(huì)主義核心價(jià)值觀，這就是數(shù)學(xué)文化試題應(yīng)具有的三個(gè)層次.

高質(zhì)量、有價(jià)值的數(shù)學(xué)文化試題，一定是將數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法融為一體，一定是滲透中國(guó)古代傳統(tǒng)優(yōu)秀文化，一定是源于數(shù)學(xué)文化而高于數(shù)學(xué)文化.

參考文獻(xiàn)

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