恰當(dāng)孕育 合理生長 提升素養(yǎng)*
——《函數(shù)的奇偶性》教學(xué)思考

宋秀云

(江蘇省新海高級(jí)中學(xué) 222006)

1 問題提出

自《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡稱《課標(biāo)》)提出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)后，廣大高中數(shù)學(xué)教師都能認(rèn)識(shí)到培養(yǎng)、提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要意義，在教學(xué)中積極學(xué)習(xí)、研究、實(shí)施，探索提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效途徑.但由于對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理解多停留在理念與概念層面上，在教學(xué)中難以深入落實(shí)，甚至于出現(xiàn)標(biāo)簽化傾向.怎樣解決這個(gè)問題？讓素養(yǎng)培養(yǎng)落地，《課標(biāo)》提出了很好的教學(xué)建議： 教師 “要結(jié)合特定教學(xué)任務(wù)，思考相應(yīng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在教學(xué)中的孕育點(diǎn)、生長點(diǎn).”教學(xué)任務(wù)的落實(shí)既要立足學(xué)科整體考慮，也要分解到具體的課堂教學(xué)中，一節(jié)節(jié)連續(xù)的課構(gòu)成學(xué)科整體.筆者結(jié)合“函數(shù)奇偶性”第1節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)，探索課堂教學(xué)中如何恰當(dāng)孕育、合理生長，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2 教學(xué)設(shè)計(jì)

2．1 課題引入

引例函數(shù)是刻畫變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，函數(shù)圖象直觀又形象的表示了函數(shù)的變化情況，請(qǐng)同學(xué)們觀察下列兩個(gè)函數(shù)圖象，它們的單調(diào)區(qū)間分別是什么？

追問1為什么(0,+∞)是函數(shù)f(x)=x2的單調(diào)增區(qū)間？

追問2你能用符號(hào)語言來刻畫“隨著x的增大，f(x)也隨之增大”嗎？

追問3請(qǐng)同學(xué)們換一個(gè)角度再來觀察圖象，這些函數(shù)圖象還具有其他特征嗎？

追問4同學(xué)們觀察出了這兩個(gè)函數(shù)的圖象具有對(duì)稱性，那這個(gè)函數(shù)的圖象呢？

(展示函數(shù)f(x)=x2,x∈[-1,0.99]圖象)我們放大圖象，看看有沒有什么新的發(fā)現(xiàn)？

追問5僅憑觀察來判斷函數(shù)的對(duì)稱性準(zhǔn)確嗎？那如何準(zhǔn)確的刻畫函數(shù)圖象的對(duì)稱性呢？

2.2 概念建構(gòu)

問題1如何判定函數(shù)f(x)=x2圖象關(guān)于y軸對(duì)稱？

預(yù)設(shè)：y=x2?圖象關(guān)于y軸對(duì)稱?(x,y)與(-x,y)在圖象上?任意x∈R,f(-x)=f(x).

問題2如何判定函數(shù)y=f(x)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱？

預(yù)設(shè)：偶函數(shù)?圖象關(guān)于y軸對(duì)稱?(x,y)與(-x,y)在圖象上?任意x∈A,f(-x)=f(x).

問題3你能給出偶函數(shù)的定義嗎？

預(yù)設(shè)：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳，若對(duì)于任意的x∈A,都有f(-x)=f(x)，則稱函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖教師引導(dǎo)學(xué)生回顧對(duì)稱的本質(zhì)，要說明函數(shù)f(x)=x2圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，只需說明將f(x)=x2圖象沿y軸折疊，圖象左右兩側(cè)完全重合，圖象的對(duì)稱即為點(diǎn)的對(duì)稱，由點(diǎn)的對(duì)稱出發(fā)，再過渡到點(diǎn)在函數(shù)圖象上，進(jìn)而得出偶函數(shù)的定義.這種由形到數(shù)，數(shù)形結(jié)合的過程是函數(shù)性質(zhì)形式化的典型過程.研究過程中由特殊點(diǎn)到一般點(diǎn)，由特殊函數(shù)到一般函數(shù)，體現(xiàn)了由特殊到一般的思想.

問題4如何判定函數(shù)y=f(x)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱？

預(yù)設(shè)：奇函數(shù)?圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱?(x,y)與(-x,-y)在圖象上?任意x∈A,f(-x)=-f(x).

問題5你能給出奇函數(shù)的定義嗎？

預(yù)設(shè)：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳，若對(duì)于任意的x∈A,都有f(-x)=-f(x)，則稱函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖放手讓學(xué)生獨(dú)立運(yùn)用研究偶函數(shù)的方法類比研究奇函數(shù)，讓學(xué)生再一次感悟在數(shù)形結(jié)合的思想指導(dǎo)下研究函數(shù)性質(zhì)的方法，加深對(duì)概念本質(zhì)的理解.

追問6有了函數(shù)奇偶性的定義，你對(duì)奇函數(shù)、偶函數(shù)是怎么理解的呢？

設(shè)計(jì)意圖得出了函數(shù)奇偶性的定義，不急于給出例題，而是讓學(xué)生說說對(duì)定義的理解，強(qiáng)調(diào)從數(shù)和形兩個(gè)方面來描述函數(shù)的奇偶性，加深對(duì)定義的認(rèn)識(shí).

2.3 數(shù)學(xué)運(yùn)用

例題判斷函數(shù)f(x)是否為偶函數(shù)或奇函數(shù)：f(x)=5x.

變式1：f(x)=5|x|；

變式2:f(x)=5x2,x∈[-1,2]；

變式3：f(x)=5(x-1)2.

設(shè)計(jì)意圖在例題的基礎(chǔ)上，改變函數(shù)形式或是定義域，順勢(shì)寫出相關(guān)熟悉的函數(shù)，旨在讓學(xué)生理解定義，運(yùn)用定義，規(guī)范解題步驟.重點(diǎn)講解變式3，意在體現(xiàn)三種不同的角度處理問題，即圖象法，反例法，定義法，讓學(xué)生體會(huì)任意與存在的關(guān)系.

追問7你能將判斷函數(shù)奇偶性的步驟總結(jié)一下嗎？

拓展：函數(shù)f(x)=x3+5x圖象具有怎樣的特征？

設(shè)計(jì)意圖拓展題是對(duì)教材例7進(jìn)行處理，改變了教材直接判定的方式，由于例題及變式都是學(xué)生熟悉的圖象，函數(shù)f(x)=x3+5x的圖象學(xué)生并不熟悉，通過設(shè)問圖象特征，在運(yùn)用奇偶性的定義的過程中深化對(duì)定義的理解.

思考：對(duì)于函數(shù)f(x)=x3+5x，你能否通過添加項(xiàng)，使它仍然是奇函數(shù)嗎？既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)呢？偶函數(shù)？既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)？

設(shè)計(jì)意圖通過例題的解決，體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)定義的理解，通過設(shè)問開放性問題，讓學(xué)生發(fā)散思維，通過添加項(xiàng)，構(gòu)造不同的函數(shù)，達(dá)到深度學(xué)習(xí)的目的，體現(xiàn)了學(xué)生的創(chuàng)造性.

2.4 回顧小結(jié)

1.說一說奇函數(shù)、偶函數(shù)的異同；

2.若偶函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù)，你能判斷它在(-∞,0)上的單調(diào)性嗎？

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生比較奇函數(shù)與偶函數(shù)的異同，在比較中反映學(xué)生對(duì)定義的理解；小結(jié)2承接拓展題，即讓學(xué)生感受函數(shù)奇偶性在研究問題中的作用.

3 教學(xué)思考

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中要培養(yǎng)、提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，首先要對(duì)具體的教學(xué)任務(wù)進(jìn)行分析，厘清具體任務(wù)所承載的核心素養(yǎng)；第二，要尋找恰當(dāng)?shù)脑杏c(diǎn)，使核心素養(yǎng)有生長的沃土；第三，要設(shè)計(jì)合理生長的路徑，使核心素養(yǎng)得到有效提升.

3.1 分析教學(xué)任務(wù)，厘清核心素養(yǎng)

新課標(biāo)提出重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生六大核心素養(yǎng)“數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析”，“六個(gè)核心素養(yǎng)既相對(duì)獨(dú)立、又相互交融，是一個(gè)有機(jī)的整體.”在具體教學(xué)任務(wù)與教學(xué)內(nèi)容中，六個(gè)核心素養(yǎng)不是均等分布的，有主次和水平的區(qū)別.教學(xué)過程中，首先要對(duì)所教學(xué)的內(nèi)容與任務(wù)進(jìn)行細(xì)致的分析，厘清該任務(wù)所承載的主要核心素養(yǎng)以及核心素養(yǎng)的水平要求.

在“函數(shù)奇偶性”內(nèi)容中，所承載的主要核心素養(yǎng)為直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理.對(duì)于數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理兩個(gè)素養(yǎng)在其他內(nèi)容與任務(wù)中都有承載，而直觀想象這個(gè)素養(yǎng)在高中起始階段學(xué)習(xí)內(nèi)容中，承載不多，因此，我們把它列為本節(jié)課的最主要核心素養(yǎng)，而且以第三水平要求來體現(xiàn).整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)，圍繞提升直觀想象為主，輔以提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理兩個(gè)素養(yǎng)，而把數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析作為次要的核心素養(yǎng).

3.2 創(chuàng)設(shè)合適情境，孕育核心素養(yǎng)

“基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)活動(dòng)應(yīng)該把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)適合的教學(xué)情境、提出合適的數(shù)學(xué)問題，引發(fā)學(xué)生思考與交流，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).”創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境是課堂教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，情境引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí).教師應(yīng)根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目標(biāo)(包括核心素養(yǎng)類型和水平等級(jí))來選擇教學(xué)素材，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，孕育核心素養(yǎng).

(1)課題引入自然遷移，引發(fā)學(xué)習(xí).對(duì)于函數(shù)的奇偶性這節(jié)課，在課題引入方面常見的做法是先借助生活中的實(shí)物觀察其對(duì)稱性，再到數(shù)學(xué)中的幾何圖形、函數(shù)圖象的對(duì)稱性展開研究.這樣的引入形象直觀，更適合于初次接觸圖形特征判斷的低年級(jí)學(xué)生，對(duì)于已經(jīng)在小學(xué)和初中接觸過圖形對(duì)稱性判斷的高一學(xué)生略顯簡單.教材中函數(shù)的奇偶性作為函數(shù)的基本性質(zhì)之一是在學(xué)習(xí)了函數(shù)的單調(diào)性之后學(xué)習(xí)的又一性質(zhì)，本節(jié)課是培養(yǎng)學(xué)生借助圖象、直觀想象，抽象出函數(shù)奇偶性的定義，其教學(xué)難點(diǎn)是用數(shù)學(xué)符號(hào)語言刻畫函數(shù)圖象的對(duì)稱性.而在前面的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)掌握了函數(shù)單調(diào)性的研究方法：用任意x1,x2來刻畫“y隨x的增大(減少)”即從“數(shù)”的角度刻畫函數(shù)“形”的特征.這一學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)對(duì)于幫助學(xué)生思考、尋找刻畫函數(shù)圖象的對(duì)稱性的方法有很大借鑒價(jià)值.從學(xué)生的學(xué)情、本節(jié)課在教材中的位置及本節(jié)課所承載的學(xué)科核心素養(yǎng)三個(gè)角度考慮，本節(jié)課的引入屬于復(fù)習(xí)引入，從問題出發(fā)，先請(qǐng)學(xué)生借助函數(shù)圖象解決熟悉的二次函數(shù)、反比例函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并回憶單調(diào)性的刻畫方法；再請(qǐng)學(xué)生換一個(gè)角度再來觀察函數(shù)的圖象，思考函數(shù)圖象還具有哪些其他特征？通過談話式的追問，制造認(rèn)知沖突，學(xué)生思維受阻，真切感受到用數(shù)量關(guān)系刻畫函數(shù)圖象對(duì)稱的必要性，培養(yǎng)其探究精神，自然引出本節(jié)課要研究的對(duì)象，引發(fā)學(xué)習(xí).這樣的數(shù)學(xué)情境設(shè)計(jì)與數(shù)學(xué)知識(shí)相連，與學(xué)生認(rèn)知起點(diǎn)吻合，體現(xiàn)了教學(xué)的整體、連貫性，有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，情境中提出的問題及問題的有效互動(dòng)能夠使學(xué)生的知識(shí)與能力自然遷移，有利于思維能力發(fā)展，促進(jìn)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展.

(2)概念建構(gòu)基于學(xué)生，自然生長.教育心理學(xué)認(rèn)為概念教學(xué)的核心是“概括”，是將數(shù)學(xué)概念中凝結(jié)的數(shù)學(xué)家的思維活動(dòng)打開，教學(xué)中可以借助若干典型實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生分析其屬性、抽象其共同的、本質(zhì)的屬性，通過比較、概括、歸納等思維活動(dòng)獲取概念.親歷數(shù)學(xué)概念的發(fā)現(xiàn)、概括過程對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)能力的提升有非常重要的作用.本節(jié)課從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)設(shè)計(jì)思維活動(dòng)：首先提出如何判斷具體函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，引導(dǎo)學(xué)生能在借助初中所學(xué)知識(shí)通過圖形折疊判斷是否重合的基礎(chǔ)上，注意到圖象的對(duì)稱即為點(diǎn)的對(duì)稱.先從點(diǎn)的對(duì)稱出發(fā)(如點(diǎn)(x0,y0)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)是(-x0,y0))，再過渡到點(diǎn)在函數(shù)圖象上y0如何用x0表示.然而怎樣驗(yàn)證點(diǎn)？如何完成所有點(diǎn)的驗(yàn)證？是概念建構(gòu)過程中需要突破的瓶頸.在學(xué)生思維受阻處停留，讓學(xué)生充分思考、嘗試、交流，最終發(fā)現(xiàn)可以借鑒函數(shù)單調(diào)性定義中的方法來解決，即用“任意”來刻畫所有；接著將問題一般化，思考如何判斷函數(shù)y=f(x)的圖象是否關(guān)于y軸對(duì)稱，從特殊到一般、從數(shù)到形、再從形到數(shù)，學(xué)生在此過程中真正感受理解函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱的數(shù)學(xué)本質(zhì)，學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)量關(guān)系刻畫函數(shù)圖象的對(duì)稱性，此時(shí)偶函數(shù)的定義水到渠成.對(duì)于如何判斷函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱及奇函數(shù)的定義學(xué)生通過類比不難得到，從而函數(shù)奇偶性的概念自然生長.

3.3 提出合適問題，生長核心素養(yǎng)

“在教學(xué)活動(dòng)中，應(yīng)結(jié)合教學(xué)任務(wù)及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)設(shè)計(jì)合適的問題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)問題，用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言描述問題，用數(shù)學(xué)的思想方法解決問題.在問題的解決過程中，理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.”本節(jié)課將直觀想象列為主要提升的核心素養(yǎng)，要求達(dá)到：借助圖象，通過直觀想象提出數(shù)學(xué)問題，并能對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行直觀表達(dá)，在交流過程中理解問題本質(zhì)及其數(shù)學(xué)聯(lián)系.

(1)設(shè)計(jì)層次清晰的問題串，幫助學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)密的邏輯表達(dá)習(xí)慣.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)問題是引發(fā)學(xué)生思維與探索活動(dòng)的導(dǎo)向.恰當(dāng)?shù)脑O(shè)問能把知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)與學(xué)生的思維過程有機(jī)地聯(lián)系起來，使知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu).課堂中的問題就是要研究的核心內(nèi)容，本節(jié)課要解決的三個(gè)核心問題為：①如何判定函數(shù)f(x)=x2圖象關(guān)于y軸對(duì)稱？②如何判定函數(shù)y=f(x)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱？③你能給出偶函數(shù)的定義嗎？從具體問題入手，由特殊到一般逐步展開，層層深入，體現(xiàn)了建構(gòu)概念過程的三個(gè)層次.為解決這三個(gè)核心問題，教學(xué)中順應(yīng)學(xué)生的思維發(fā)展，通過教師追問、學(xué)生質(zhì)疑等形式又產(chǎn)生了若干個(gè)小問題串，學(xué)生在解決每個(gè)小問題的過程中，進(jìn)行系列、連續(xù)的思維活動(dòng)，思維不斷向前推進(jìn)，學(xué)習(xí)過程有序、有效，充分完成了奇偶性概念的探究、建構(gòu)過程.層次清晰的問題串使得概念建構(gòu)過程更關(guān)注思維的系統(tǒng)性與邏輯的連貫性，體現(xiàn)了核心概念教學(xué)的育人價(jià)值.

(2)設(shè)計(jì)基于任務(wù)的驅(qū)動(dòng)性問題，幫助學(xué)生理解問題本質(zhì).問題是學(xué)生思維的源泉，更是思維的動(dòng)力.教學(xué)中教師的任務(wù)是將對(duì)核心概念的理解轉(zhuǎn)化為高水平的驅(qū)動(dòng)性問題，學(xué)生在解決問題的過程中深度思考、提升能力、生長素養(yǎng).在數(shù)學(xué)運(yùn)用環(huán)節(jié)，課本例題6是判斷函數(shù)的奇偶性，所判斷的函數(shù)類型為二次函數(shù)、一次函數(shù)、含有絕對(duì)值的一次函數(shù)三種類型，且例題所給函數(shù)的定義域均為R，例題的解答都是借助于定義判斷的.筆者在教學(xué)中將課本例題進(jìn)行重整，以變式的形式，從判斷熟悉的一次函數(shù)f(x)=5x是否為偶函數(shù)或奇函數(shù)的問題出發(fā)，對(duì)函數(shù)形式、定義域進(jìn)行改變逐步提出新的相關(guān)問題：判斷函數(shù)f(x)=5|x|；f(x)=5x2,x∈[-1,2]；f(x)=5(x-1)2的奇偶性.在此基礎(chǔ)上還可以提出問題：具有奇偶性的函數(shù)，其定義域有怎樣的特點(diǎn)？在問題的驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生主動(dòng)思考，相互交流，從不同角度感受定義法、圖象法、反例法的作用，加深對(duì)概念的理解，提升解決問題能力.考慮到課本例題7依然是判斷三次函數(shù)的奇偶性，雖然此題不能直接用圖象法判斷，但與例題6類似，若直接呈現(xiàn)，略顯單調(diào)，學(xué)生解題停留在模仿層次.于是將例題7改為：函數(shù)f(x)=x3+5x圖象具有怎樣的特征？并對(duì)問題進(jìn)行拓展：對(duì)于函數(shù)f(x)=x3+5x，你能否通過添加項(xiàng)，使它仍然是奇函數(shù)嗎？既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)呢？偶函數(shù)？既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)？問題呈現(xiàn)形式的改變，提高了對(duì)學(xué)生思維層次的要求，對(duì)于不熟悉的函數(shù)如何研究其圖象的特征？引導(dǎo)學(xué)生從解析式的角度借助于“數(shù)”去思考如：單調(diào)性、奇偶性、最值等等，并在此基礎(chǔ)上從形的角度刻畫圖象特征，掌握研究函數(shù)的一般路徑.問題的拓展，學(xué)生能自己通過改變函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式，構(gòu)造出新的奇函數(shù)或偶函數(shù)，說明學(xué)生真正理解了概念，能自覺使用概念，理解問題本質(zhì)，走向深度學(xué)習(xí)，提升學(xué)生邏輯推理等綜合素養(yǎng).