基于統(tǒng)一橫向坐標(biāo)系的極區(qū)地球橢球模型導(dǎo)航方法

卞鴻巍，林秀秀，王榮穎，馬 恒

（海軍工程大學(xué) 電氣工程學(xué)院，湖北 410033）

隨著極區(qū)冰雪消融速度加快，極區(qū)戰(zhàn)略地位提高，極區(qū)導(dǎo)航成為國(guó)內(nèi)導(dǎo)航領(lǐng)域研究熱點(diǎn)，與傳統(tǒng)中低緯度導(dǎo)航不同，極區(qū)導(dǎo)航主要面臨傳統(tǒng)時(shí)空基準(zhǔn)定義失效、墨卡托海圖投影不再適用、慣導(dǎo)裝備高緯度指向能力下降以及計(jì)算溢出等一系列問題[1]。極區(qū)導(dǎo)航坐標(biāo)系是解決極區(qū)導(dǎo)航的基礎(chǔ)。1995年，文獻(xiàn)[2]提出橫向坐標(biāo)系解決了極點(diǎn)處慣導(dǎo)解算計(jì)算奇異的問題。文獻(xiàn)[3-4]沿用橫向坐標(biāo)系的概念并在不考慮地理坐標(biāo)系的情況下完成捷聯(lián)慣導(dǎo)在橫向坐標(biāo)系下的導(dǎo)航編排方案。文獻(xiàn)[5-6]等在地球模型為橢球模型情況下設(shè)計(jì)并提出了將橫向地理坐標(biāo)系作為導(dǎo)航參考坐標(biāo)系的慣性導(dǎo)航力學(xué)編排。但是橫向坐標(biāo)系的提出主要針對(duì)極區(qū)慣導(dǎo)解算領(lǐng)域。針對(duì)極區(qū)航海需求，文獻(xiàn)[7]提出格網(wǎng)坐標(biāo)系以解決經(jīng)線收斂造成傳統(tǒng)航向參考線極區(qū)不可用問題。在實(shí)際極區(qū)應(yīng)用中，慣導(dǎo)基于橫向坐標(biāo)系的解算得到的極區(qū)導(dǎo)航參數(shù)還需要同其他航海導(dǎo)航用戶設(shè)備進(jìn)行統(tǒng)一與轉(zhuǎn)換。隨著極區(qū)坐標(biāo)系研究的深入，出現(xiàn)了多種不同橫向坐標(biāo)系和格網(wǎng)坐標(biāo)系的定義形式，如文獻(xiàn)[8-9]。不同投影方式的海圖及格網(wǎng)航向基準(zhǔn)也有多種格網(wǎng)坐標(biāo)系的定義方式，如格林尼治格網(wǎng)坐標(biāo)系、圖幅中央經(jīng)線格網(wǎng)坐標(biāo)系、沿大圓航線格網(wǎng)坐標(biāo)系等。極區(qū)坐標(biāo)系產(chǎn)生和應(yīng)用領(lǐng)域、定義方式和命名方式不統(tǒng)一增加了極區(qū)導(dǎo)航參數(shù)轉(zhuǎn)換的復(fù)雜性，不同坐標(biāo)系在不同領(lǐng)域的應(yīng)用，導(dǎo)致導(dǎo)航系統(tǒng)間信息交聯(lián)困難。

針對(duì)上述問題，本文定義了一種新的統(tǒng)一極區(qū)坐標(biāo)系，該坐標(biāo)系在極區(qū)實(shí)現(xiàn)了橫向地理坐標(biāo)系和格林尼治格網(wǎng)坐標(biāo)系的統(tǒng)一，并將其統(tǒng)稱為統(tǒng)一橫向坐標(biāo)系。在此基礎(chǔ)上，推算出基于CGCS2000地球橢球模型的捷聯(lián)慣導(dǎo)統(tǒng)一橫向坐標(biāo)系導(dǎo)航算法，解決了基于統(tǒng)一橫向坐標(biāo)系的橢球模型橫向經(jīng)緯線不正交的問題，以滿足慣導(dǎo)新統(tǒng)一橫向坐標(biāo)系的使用需求，文章最后對(duì)上述理論和算法性能進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。

1 基于橢球模型統(tǒng)一橫向坐標(biāo)系定義

由于地球球體近似模型存在幾何誤差，難以滿足高精度長(zhǎng)航時(shí)導(dǎo)航的需求，需要對(duì)高精度導(dǎo)航使用的橢球體近似模型進(jìn)行設(shè)計(jì)[6,10]。

統(tǒng)一橫向坐標(biāo)系的定義包含橫向地球坐標(biāo)系和橫向地理坐標(biāo)系的定義兩部分。如圖1所示，與其他文獻(xiàn)[3-6]定義不同，橫向地球坐標(biāo)系Oxeyeze由傳統(tǒng)地球坐標(biāo)系Oxeyeze繞Oye軸僅需旋轉(zhuǎn)?90°可得。根據(jù)橫向地球坐標(biāo)系定義可得到橫向經(jīng)緯網(wǎng)，即橫向北極點(diǎn)為赤道和 180°經(jīng)線的交點(diǎn)，橫向赤道則由 90°W 和 90°E經(jīng)線構(gòu)成，橫向本初子午線由180°經(jīng)線北半球部分和0°經(jīng)線構(gòu)成。橢球面上任意一點(diǎn)的橫向緯度φ為地球橢球外法線與橫向赤道平面的夾角，橢球面上任意一點(diǎn)的橫向經(jīng)度為過該點(diǎn)的外法線矢量在橫向赤道平面上的投影與Oxe軸矢量的夾角，傳統(tǒng)等緯度圈為圓，但等橫向緯度圈為不規(guī)則曲線，在示意圖中不易表示，故定義一個(gè)平行于橫向赤道面的平面切割地球形成的橢圓為等橫向輔助緯度圈，圖1中給出的橫向緯度圈為橫向輔助緯度圈，其上的點(diǎn)的橫向緯度并不相等。

根據(jù)定義，等橫向經(jīng)線圈的切線矢量 T1、等橫向緯線圈的切線矢量 T2以及等橫向輔助緯線圈的切線矢量 T3如式(1)所示，并根據(jù)切線矢量推導(dǎo)出其關(guān)系式，如式(2)所示。

其中，a為地球橢球體長(zhǎng)半徑，e為地球橢球體第一偏心率。

圖1 橫向地球坐標(biāo)系和橫向地理坐標(biāo)系Fig.1 Transverse earth coordinate system and transverse geographical coordinate system

由此可以看出橫向經(jīng)線與橫向緯線、橫向經(jīng)線與橫向輔助緯線均不正交。在慣導(dǎo)解算中橫向緯線主要為橫向東提供基準(zhǔn)，故在慣導(dǎo)解算中仍使用橫向緯度。橫向地理坐標(biāo)系定義如下：軸與橫向經(jīng)度圈相切，指向?yàn)闄M向北，軸為當(dāng)?shù)卮咕€，指向?yàn)樘煜颍S由右手定則確定，指向?yàn)闄M向東。定義橫向北與航向線的夾角為橫向航向。定義航速在橫向東向上的分量為橫東向速度，在橫向北向上的分量為橫北向速度。

根據(jù)以上統(tǒng)一橫向坐標(biāo)系的定義，通過幾何關(guān)系，可以得到橫向經(jīng)緯度與橫向地球坐標(biāo)系的變換關(guān)系式如下：

又因?yàn)?，根?jù)橫向地球坐標(biāo)系定義過程，可得到橫向地球坐標(biāo)系與地球坐標(biāo)系的關(guān)系為式：

結(jié)合式(3)～(5)可推導(dǎo)出橫向經(jīng)緯度與地理經(jīng)緯度的轉(zhuǎn)換關(guān)系：

本文給出的與橫向坐標(biāo)系統(tǒng)一的格網(wǎng)坐標(biāo)系本質(zhì)上是一種地理坐標(biāo)系，其與極區(qū)橫向墨卡托海圖格林尼治格網(wǎng)坐標(biāo)系在極區(qū)范圍內(nèi)近似一致。其北向定義為平行于格林尼治子午面的格網(wǎng)平面與當(dāng)?shù)厮矫娴慕痪€[11-12]。由統(tǒng)一橫向坐標(biāo)系定義可知，橫向地理坐標(biāo)系北向相切于橫向子午圈，且北極地區(qū)在統(tǒng)一橫向坐標(biāo)系的橫向赤道與橫向本初子午線相交的區(qū)域。在極區(qū)范圍內(nèi)，橫向子午圈的切線近似平行，由此定義的格網(wǎng)北與橫向北已完全一致，兩個(gè)坐標(biāo)系天向一致。故在極區(qū)，橫向地理坐標(biāo)系與定義的格林尼治格網(wǎng)坐標(biāo)系實(shí)現(xiàn)統(tǒng)一。在此基礎(chǔ)上，再結(jié)合統(tǒng)一橫向坐標(biāo)系的慣導(dǎo)編排即可為解決北極地區(qū)定位和定向上的問題提供理論基礎(chǔ)。

2 基于橢球模型的統(tǒng)一橫向坐標(biāo)系慣導(dǎo)編排

2.1 坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)特性

在基于捷聯(lián)慣導(dǎo)的編排中，需要分別給出橫向姿態(tài)解算、橫向速度解算以及位置解算微分方程，故在推導(dǎo)編排前，先根據(jù)統(tǒng)一橫向坐標(biāo)系的定義過程，寫出坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)特性。包括：從地球坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)到橫向地球坐標(biāo)系的姿態(tài)矩陣、從地球坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)到橫向地理坐標(biāo)系的姿態(tài)矩陣以及從載體坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)到橫向地理坐標(biāo)系的姿態(tài)矩陣[13]。

從橫向地球坐標(biāo)系的定義中，可以看出，從地球坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)到橫向地球坐標(biāo)系僅需要進(jìn)行一次旋轉(zhuǎn)操作，旋轉(zhuǎn)過程可以表示為：

進(jìn)一步可以寫出從地球坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)到橫向地球坐標(biāo)系的姿態(tài)矩陣為：

同理于地球坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)到地理坐標(biāo)系的姿態(tài)矩陣，可得橫向地球坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)到橫向地理坐標(biāo)系姿態(tài)矩陣為：

結(jié)合式(8)和式(9)可得從地球坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)到橫向地理坐標(biāo)系的姿態(tài)矩陣為：

圖2 橫向地理坐標(biāo)系與載體坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)關(guān)系Fig.2 Rotation relationship between transverse geographical coordinate system and carrier coordinate system

橫向地理坐標(biāo)系可以經(jīng)過三次姿態(tài)角的旋轉(zhuǎn)得到載體坐標(biāo)系，圖2給出了橫向地理坐標(biāo)系與載體坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)關(guān)系，載體的橫航向角為，橫縱搖角為，橫橫搖角為。即：

由坐標(biāo)系X1-Y1-Z1繞X1軸旋轉(zhuǎn)的姿態(tài)矩陣為：

由坐標(biāo)系X2-Y2-Z2繞 Y2軸旋轉(zhuǎn)γ的姿態(tài)矩陣為：

綜上，結(jié)合式(12)～(14)可得載體坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)到橫向地理坐標(biāo)系的姿態(tài)矩陣為：

在推導(dǎo)出坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)特性的基礎(chǔ)上，可以進(jìn)一步推導(dǎo)基于橢球模型統(tǒng)一橫向坐標(biāo)系的慣導(dǎo)編排。由于基于橢球模型統(tǒng)一橫向坐標(biāo)系按照傳統(tǒng)經(jīng)緯線定義方法定義的橫向經(jīng)緯線不再互相正交，致使基于橫向經(jīng)緯線的慣導(dǎo)編排復(fù)雜性增加，為解決這個(gè)問題提出以下基于橢球模型慣導(dǎo)編排。

2.2 位置微分方程

載體運(yùn)動(dòng)會(huì)引起位置的變化，載體的運(yùn)動(dòng)速度可以分解為東向和北向兩個(gè)方向速度，在統(tǒng)一橫向坐標(biāo)系中，載體速度分解為橫東向速度和橫北向速度。

結(jié)合式(3)和式(9)可求得：

其中，

結(jié)合式(3)和式(9)可求得：

其中，

綜合式(15)(17)可得載體運(yùn)動(dòng)引起位置變化為：

2.3 速度微分方程

同理，可以得到橫向緯度變化率 在e系下的投影的單位矢量為q，且存在：

橫向地理坐標(biāo)系相對(duì)于地球坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)角速度在地球坐標(biāo)系上的投影與橫向經(jīng)緯度變化率及其在e系下的單位矢量相關(guān)，其具體關(guān)系如下所示：

由前面推導(dǎo)的各個(gè)參數(shù)可以進(jìn)一步給出速度微分方程的表達(dá)形式：

其中，

2.4 姿態(tài)微分方程

統(tǒng)一橫向坐標(biāo)系中姿態(tài)的更新由姿態(tài)微分方程確定：

3 仿真分析

由于實(shí)際極區(qū)試驗(yàn)開展困難，為驗(yàn)證基于統(tǒng)一橫向坐標(biāo)系的極區(qū)地球橢球模型導(dǎo)航方法的正確性和可行性。本文首先基于60°N附近中高緯度海域?qū)嵈钶d的激光慣導(dǎo)的IMU實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，對(duì)比傳統(tǒng)地理坐標(biāo)系編排解算結(jié)果與本文提出的統(tǒng)一橫向坐標(biāo)系編排解算結(jié)果，驗(yàn)證編排的正確性。然后在極區(qū)對(duì)統(tǒng)一橫向坐標(biāo)系編排進(jìn)行仿真，驗(yàn)證編排的適用性。

3.1 中高緯度導(dǎo)航實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)解算結(jié)果對(duì)比分析

中高緯度地區(qū)采用北緯60°附近海域24 h激光慣導(dǎo) IMU實(shí)船試驗(yàn)數(shù)據(jù)，選取的數(shù)據(jù)初始位置為（56.92°N, 19.43°E），初始北向速度為 20.17 m/s，初始東向速度為4.68 m/s，初始航向角為18.66°，初始橫搖角為 0.24°，初始縱搖角為 0.96°。分別基于傳統(tǒng)地理坐標(biāo)系編排與基于統(tǒng)一橫向坐標(biāo)系編排進(jìn)行慣導(dǎo)解算，其結(jié)算差結(jié)果見圖3。

仿真結(jié)果為兩種慣導(dǎo)編排的解算差，其誤差特性與單一慣導(dǎo)編排誤差特性不完全相同。通過比較兩種編排結(jié)果數(shù)值大小的相近程度驗(yàn)證統(tǒng)一坐標(biāo)系編排的正確性。仿真結(jié)果誤差的均值和方差統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表1所示。

圖3 中高緯度統(tǒng)一橫向坐標(biāo)系編排與傳統(tǒng)地理坐標(biāo)系編排解算差仿真結(jié)果Fig.3 The difference of solution between the unified transverse coordinate system and the traditional geographic coordinate system in mid-high latitude area

表1 中高緯度仿真結(jié)果統(tǒng)計(jì)值Tab.1 Statistics of simulation results in mid-high latitude area

結(jié)合以上結(jié)果可知，中高緯度統(tǒng)一橫向坐標(biāo)系解算性能與傳統(tǒng)地理坐標(biāo)系解算性能整體趨勢(shì)一致，兩者解算差值在可接受范圍，即統(tǒng)一橫向坐標(biāo)系編排與傳統(tǒng)地理坐標(biāo)系編排同樣適用于中高緯度地區(qū)。以此可驗(yàn)證統(tǒng)一橫向坐標(biāo)系的導(dǎo)航編排的正確性。

3.2 極區(qū)導(dǎo)航仿真結(jié)果對(duì)比分析

假設(shè)載體初始地理位置為(88°N, 125°E)，航行速度為 15 m/s，航向角為 0°，橫搖角設(shè)置為 0.3°sin(πt/4)，縱搖角設(shè)置為0.3°sin(πt/4)，仿真周期為48 h。在軌跡發(fā)生器中將三個(gè)陀螺的常值漂移為 0.001 (°)/h，隨機(jī)白噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為0.001 (°)/h，三個(gè)加速度計(jì)零偏為10-5g，隨機(jī)白噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為10-5g。仿真結(jié)果如圖4所示。

根據(jù)圖4極區(qū)統(tǒng)一橫向坐標(biāo)系編排結(jié)果，可直觀得到其極區(qū)性能：1）緯度誤差、經(jīng)度誤差在 2000 m以內(nèi)；2）東向速度、北向速度誤差不超過2 m/s；3）橫、縱搖誤差不超過1′，航向誤差不超過3′。

由此可知，在極區(qū)通過仿真所得誤差結(jié)果 48 h內(nèi)各項(xiàng)誤差符合慣性元器件引起的系統(tǒng)誤差發(fā)散規(guī)律，滿足極區(qū)導(dǎo)航的要求，可驗(yàn)證統(tǒng)一橫向坐標(biāo)系的導(dǎo)航編排在極區(qū)的適用性。

圖4 極區(qū)統(tǒng)一橫向坐標(biāo)系編排仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results of the unified transverse coordinate system in polar region

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于橢球統(tǒng)一橫向坐標(biāo)系導(dǎo)航方法，采用與格林尼治格網(wǎng)坐標(biāo)系統(tǒng)一的橫向坐標(biāo)系的定義，實(shí)現(xiàn)了橫向坐標(biāo)系和格網(wǎng)坐標(biāo)系兩類極區(qū)導(dǎo)航坐標(biāo)系的統(tǒng)一，同時(shí)也可實(shí)現(xiàn)與橫向墨卡托海圖格網(wǎng)坐標(biāo)系的極區(qū)應(yīng)用的統(tǒng)一。這一坐標(biāo)系可使不同導(dǎo)航系統(tǒng)間參數(shù)轉(zhuǎn)換更加便捷，為極區(qū)多種導(dǎo)航系統(tǒng)坐標(biāo)系和坐標(biāo)參數(shù)的統(tǒng)一提供理論基礎(chǔ)。通過解決新統(tǒng)一橫向坐標(biāo)系基于地球橢球模型下的橫向經(jīng)緯線不正交的問題，推導(dǎo)出極區(qū)慣導(dǎo)算法編排。并通過中高緯度地區(qū)慣導(dǎo)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)和極區(qū)仿真數(shù)據(jù)驗(yàn)證了新統(tǒng)一橫向坐標(biāo)系下的極區(qū)慣導(dǎo)算法的有效性和適用性，可為慣導(dǎo)極區(qū)導(dǎo)航控制方法提供參考。