基于三維空間橢球概率誤差的落點(diǎn)精度評定方法

魏宗康，高榮榮，周 姣，江 麒

（北京航天控制儀器研究所，北京100854）

在慣性導(dǎo)航與制導(dǎo)系統(tǒng)和彈道導(dǎo)彈武器系統(tǒng)中，由于受慣導(dǎo)和武器系統(tǒng)的性能以及外部復(fù)雜的環(huán)境等因素的綜合影響，導(dǎo)彈在空中可能分布的落點(diǎn)多呈現(xiàn)出沿不同方向不均勻散落的分布統(tǒng)計特征。對空中散布的落點(diǎn)進(jìn)行精度評估建模與分析，是評估導(dǎo)航系統(tǒng)和武器系統(tǒng)實(shí)際導(dǎo)航與作戰(zhàn)能力的一項(xiàng)非常重要的指標(biāo)，對慣導(dǎo)和武器系統(tǒng)的裝備改進(jìn)和進(jìn)一步作戰(zhàn)手段的提升具有一定的指導(dǎo)意義和實(shí)踐價值[1-2]。

針對三維空間中的導(dǎo)彈落點(diǎn)精度評估問題，目前的方法大多是將三維信息折合成二維，即降維處理，存在信息缺失問題，因此無法精確表征導(dǎo)彈等在三維空間的落點(diǎn)精度估計情況[3-5]。

現(xiàn)階段用于描述空中導(dǎo)彈系統(tǒng)落點(diǎn)精度的方法最常用是球概率誤差（SEP, Spherical Error Probable），即落點(diǎn)位置落入以散布中心為球心的某個球內(nèi)的概率為50%時的圓球的半徑R稱為SEP。SEP方法對于落點(diǎn)在空中三個方向近似均勻分布的情形是一種非常好的評估手段[6-7]，但是在實(shí)際導(dǎo)彈打靶時，落點(diǎn)的分布呈現(xiàn)出在不同方向上分布不均勻性和方向相關(guān)性等問題。其中，涉及落點(diǎn)位置標(biāo)準(zhǔn)方差不等，即落點(diǎn)在各方向上分布不均勻，文獻(xiàn)[8]中并沒有給出詳細(xì)且精確的表達(dá)式結(jié)果，只給出了基于 Grubbs方法的近似計算式。

此外，針對落點(diǎn)分布相關(guān)性的問題，大多數(shù)文獻(xiàn)只給出了將落點(diǎn)相關(guān)轉(zhuǎn)為落點(diǎn)不相關(guān)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化方法，并沒有直接給出落點(diǎn)位置標(biāo)準(zhǔn)方差相關(guān)時的精度估計的一般經(jīng)驗(yàn)表達(dá)式。另外，這種獨(dú)立性轉(zhuǎn)化的方法只是純數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化，無物理意義，即無法表征誤差模型在三維空間落點(diǎn)相關(guān)時的實(shí)際空間位置。因此，目前解決相關(guān)性問題的方法不夠直接、實(shí)用，不能作為一般性的結(jié)論推廣。

針對二維精度評估方法精度表達(dá)有限、三維精度評估方法較為簡略、表述模糊、不完善以及在落點(diǎn)方向相關(guān)性和方向不均勻性等問題上沒有給出明確的精度估計表達(dá)式等問題，本文提出了一種基于三維空間的橢球概率誤差ESEP落點(diǎn)精度評估方法，并給出了不同情形下的橢球概率誤差一般性表達(dá)式。三維空間的橢球概率誤差模型可充分展示導(dǎo)彈落點(diǎn)在三維空間中更多的導(dǎo)航誤差精度分布特性，且彌補(bǔ)了二維精度的信息缺失問題和三維球模型的精度表達(dá)過于簡單的問題。

1 等標(biāo)準(zhǔn)誤差和零均值的球概率誤差SEP

空間中的落點(diǎn)位置誤差用三維坐標(biāo)表示，設(shè)r=(x,y, z)為落點(diǎn)位置誤差的三維向量表述。大量的導(dǎo)彈落點(diǎn)由大數(shù)定律知，其在整體上服從正態(tài)分布且相互獨(dú)立，即其聯(lián)合概率密度函數(shù)為

同時，

式中，μx、μy、μz分別為三維方向落點(diǎn)中心，σx、σy、σz分別為三維落點(diǎn)位置標(biāo)準(zhǔn)方差。

首先，我們研究當(dāng)三個方向標(biāo)準(zhǔn)方差相等且獨(dú)立、均值為零時的情況，即為了使運(yùn)算過程簡便，我們將繁瑣的數(shù)值積分運(yùn)算轉(zhuǎn)換為球坐標(biāo)形式，令：

此時，有：

概率積分變成：

針對式(6)積分沒有精確表達(dá)式的情況，一種方法是將指數(shù)函數(shù)近似展開為邁克勞林函數(shù)進(jìn)而得到SEP的近似值，但是這種方法在展開階數(shù)n非常大時才能得到一個較為接近真值的近似值[9]。另一種方法是將不能直接積分部分轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，進(jìn)而利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)函數(shù)分布表得到球徑R與標(biāo)準(zhǔn)方差σ之間的近似關(guān)系。

本文對式(6)進(jìn)行重復(fù)積分運(yùn)算，得到R/σ與概率P(x2+ y2+ z2＜R2)的變化規(guī)律關(guān)系圖，如圖1所示。從圖中可以看出，在R/σ=1.539時，P(x2+ y2+ z2＜R2) =0.5。從而得到R的近似表達(dá)式R=1.539σ。選取以上落點(diǎn)位置標(biāo)準(zhǔn)方差為仿真數(shù)據(jù)，建立導(dǎo)彈落點(diǎn)仿真模型，模擬打靶5000發(fā)，得到落點(diǎn)分布和圓球概率誤差模型分別如圖 2中藍(lán)點(diǎn)和紅色區(qū)域所示。由此可見，R=1.539σ表達(dá)式在當(dāng)落點(diǎn)呈等標(biāo)準(zhǔn)差獨(dú)立分布、零均值時，在三維球概率誤差精度評定指標(biāo)體系中具有重要的指導(dǎo)作用。

圖1 概率P分布與R/σ關(guān)系Fig.1 Relationship between R/σ and probability

圖2 等標(biāo)準(zhǔn)誤差和零均值的球概率誤差模型Fig.2 Spherical Error Probable model with equal standard error and zero mean

2 非等標(biāo)準(zhǔn)誤差及零均值的橢球概率誤ESEP

我們在第1節(jié)得到了落點(diǎn)在三個方向上的等標(biāo)準(zhǔn)方差時的SEP一般表達(dá)式。在實(shí)際導(dǎo)彈射擊中，落點(diǎn)在空間中的散布情況并非在三個方向上均勻分布，而是有一定的方向性，主要表現(xiàn)為在每個方向上分布的不平衡性[10-11]。因此，我們需要對非等標(biāo)準(zhǔn)誤差的情形進(jìn)行分析，并得到其精度評估的一般表達(dá)式。

首先，假設(shè)σx≠σy≠σz，μx=μy=μz=0。為了運(yùn)算簡便，仍采用球坐標(biāo)形式，令：

其中，2πλ0≤≤，π/2π/2φ-≤≤。

將極坐標(biāo)形式的三個變量帶入到式(2)中，有：

概率積分變成：

由積分結(jié)果看出，與等標(biāo)準(zhǔn)誤差和零均值的SEP的表達(dá)方式完全相同，即當(dāng)R=1.539σx時，有：

由此計算得出橢球體的 X軸半徑的長度為a=1.539σx，Y 軸半徑的長度為 b=1.539σy，Z 軸半徑的長度為 c=1.539σz。綜上所述，用橢球表示的三維空間落點(diǎn)精度為 ESEP=(1.539σx, 1.539σy, 1.539σz)。

某型號導(dǎo)彈落點(diǎn)仿真為例，模擬打靶5000發(fā)，落點(diǎn)分布如圖3中藍(lán)點(diǎn)所示。由于三個方向落點(diǎn)位置誤差的標(biāo)準(zhǔn)差不相關(guān)，假設(shè)沿X、Y、Z軸落點(diǎn)位置分布的標(biāo)準(zhǔn)差分別為σx=100 m、σy=200 m、σz=300 m。根據(jù)橢球概率誤差模型得到 ESEP=(153.9 m, 307.8 m,461.7 m)。即橢球的X半軸為153.9 m，Y半軸為307.8 m，Z半軸為461.7 m，仿真得到非等標(biāo)準(zhǔn)方差橢球概率誤差模型如圖3中紅色部分所示?；贕rubbs方法近似估計求得的球形半徑R= 313.5705 m，在不同平面上橢球概率誤差模型和球概率誤差模型分別如圖4中紅色部分和綠色部分所示。由橢球概率誤差可以看出，沿X軸方向?qū)椨?0%的概率落在153.9 m以內(nèi)，而沿Y軸方向?qū)椘x中心的距離相對更遠(yuǎn)，有50%的概率落在307.8 m的范圍內(nèi)，導(dǎo)彈落點(diǎn)在X軸方向比Y軸方向更為密集。相比于圓球在 OXY平面的投影，橢圓更加清楚、準(zhǔn)確地表達(dá)了導(dǎo)彈落點(diǎn)在不同方向分布的不平衡性，精度估計更加準(zhǔn)確。同理，OYZ和OXZ平面的投影效果與OXY平面類似，不做分析。

圖3 非等標(biāo)準(zhǔn)方差的橢球概率誤差模型Fig.3 Ellipsoid Error Probable with unequal standard error and zero mean

圖4 OXY、OYZ和OZX投影下ESEP與SEP對比Fig.4 Comparison between Ellipsoid Error Probable and Spherical Error Probable in OXY, OYZ and OZX planes

此外，該橢球體的體積與半徑為 1.539(σxσyσz)1/3的圓球的體積相等，意味著能覆蓋50%的落點(diǎn)的所有立體圖形中該橢球體的體積最小，能更精確表達(dá)導(dǎo)彈落點(diǎn)分布的密集度。例如，基于Grubbs方法求得的半徑R=313.5705 m，其圓球體積為12.915×107m3，而由ESEP模型求得的橢球體積為 2.5133×107m3，近似球形體積與橢球體積相比，相差5倍, 因此，橢球在精度評價中能夠更加精確地表示落點(diǎn)精度的密集度。

3 相關(guān)系數(shù)非零時的橢球概率誤差ESEP

在實(shí)際的導(dǎo)彈射擊過程中，由于導(dǎo)航系統(tǒng)的偏差以及外部環(huán)境因素等的綜合影響，真實(shí)導(dǎo)彈落點(diǎn)分布通常存在方向相關(guān)性問題，即X軸、Y軸和Z軸方向落點(diǎn)位置標(biāo)準(zhǔn)方差相關(guān)，使得落點(diǎn)在三個直角坐標(biāo)軸上的分布呈一定的角度。因此，當(dāng)導(dǎo)航精度評價較為嚴(yán)格的情況下，落點(diǎn)間的相關(guān)性成為了精度評估中必須要考慮的因素。

為了解決落點(diǎn)位置標(biāo)準(zhǔn)方差相關(guān)的問題，我們通過坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的方式，將相關(guān)性問題轉(zhuǎn)為不相關(guān)。在美國艾佛里爾的《高精度慣性導(dǎo)航基礎(chǔ)》一書中，作者認(rèn)為由于位置協(xié)方差矩陣是對稱的，計算獨(dú)立分布條件下的橢球概率誤差模型可通過分別旋轉(zhuǎn)兩次坐標(biāo)軸獲得，即假定第一次繞原始坐標(biāo)系OXYZ的Y軸旋轉(zhuǎn)β角，第二次繞負(fù)Z軸旋轉(zhuǎn)θ角。

通過旋轉(zhuǎn)矩陣將相關(guān)的協(xié)方差矩陣轉(zhuǎn)為不相關(guān)，從而得到位置標(biāo)準(zhǔn)方差不相關(guān)時的對角矩陣，即其中，xσ′、yσ′、zσ′分別為變換后不相關(guān)的位置標(biāo)準(zhǔn)方差，ρxy、ρyz、ρxz為相關(guān)系數(shù)。

在對《高精度慣性導(dǎo)航基礎(chǔ)》書中的橢球概率誤差計算方法和模型進(jìn)行復(fù)算和檢驗(yàn)時發(fā)現(xiàn)，θ 的求取受到兩個約束條件限制：

即

式(12)意味著系數(shù)之間增加了一個約束條件：

以σx=100 m、σy=200 m、σz=300 m，ρxy=0.5、ρxz=0.5、ρyz=0.5為例，按照求解得到但這說明不存在一個θ使得這種約束條件成立，同時也導(dǎo)致落點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)方差不唯一。因此，通過兩次旋轉(zhuǎn)計算相關(guān)系數(shù)非零時的橢球概率誤差方法存在缺陷。

為了解決上述問題，我們采用了三次坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的方法，即增加一個約束使得落點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)方差唯一。假定第一次繞原始坐標(biāo)系OXYZ的Y軸旋轉(zhuǎn)φy角，第二次繞負(fù)X軸旋轉(zhuǎn)φx角，第三次繞負(fù)Z軸旋轉(zhuǎn)γ角，由此得到的新旋轉(zhuǎn)變換矩陣P如下：

將式(14)所示P陣帶入到式(10)中，通過三次旋轉(zhuǎn)將相關(guān)條件下的協(xié)方差矩陣轉(zhuǎn)換為非相關(guān)，得到的位置標(biāo)準(zhǔn)方差對角矩陣分別為

令非對角線元素為零，解兩個完全相同的非對角線項(xiàng)之一，得到式(18)，由此解得角φx和角γ。

求解式(18)，可采用迭代方法精確求解，此處選取牛頓迭代法。

首先，根據(jù)tanφx和tan2φx之間的三角函數(shù)關(guān)系，可定義以下函數(shù)：

選取初值γ=0，利用牛頓迭代公式(20)可精確求解出γ值，進(jìn)而得到φx。

在解出φx和γ后，φy由式(21)求解：

在坐標(biāo)系OX′Y′Z′中繪制橢球，該橢球的三個半徑分別為1.539xσ′、1.539yσ′和1.539zσ′，由此可得新坐標(biāo)系下的橢球模型，如式(22)所示：

把該橢球從坐標(biāo)系OX′Y′Z′中變換到OXYZ坐標(biāo)系中，變換公式為

該橢球的體積為

通過上述過程的分析，本文給出了一種在OXYZ坐標(biāo)系中內(nèi)通過六個參數(shù)(1.539xσ′,1.539yσ′,1.539zσ′,φx, φy, γ)描述一個覆蓋了50%的落點(diǎn)概率的橢球，這六個參數(shù)定義為六參數(shù)描述的橢球概率誤差ESEP。

以某型號導(dǎo)彈落點(diǎn)仿真為例，其中，σx=100 m、σy= 200 m、σz=300 m，ρxy=0.5、ρxz=0.5、ρyz=0.5，模擬打靶5000次，落點(diǎn)分布如圖5中藍(lán)點(diǎn)所示。由六參數(shù)橢球概率誤差模型得到的6個參數(shù)分別為xσ′=79.8513、yσ′=162.1868、zσ′=327.5961、φx= -26.5828°、φy=6.6916°、γ=-8.4165°。由以上數(shù)據(jù)為例，采用式(24)計算得橢球的體積為6.48×107m3；采用基于Grubbs的方法計算得到的圓球體積為1.73×108m3，兩者相比，明顯六參數(shù)橢球概率誤差方法得到的體積最小。在坐標(biāo)系OXYZ中表示的橢球如圖5中紅色區(qū)域所示。其中，落點(diǎn)與橢球分別在OXY、OYZ和OXZ平面上的投影如圖6所示。

經(jīng)實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計，此六參數(shù)的橢球概率誤差模型共有2493個落點(diǎn)在橢球內(nèi)，有2507落點(diǎn)在橢球外，驗(yàn)證了此模型的正確性。

最后，我們采用正交矩陣變換的方式來驗(yàn)證三次旋轉(zhuǎn)下的落點(diǎn)位置標(biāo)準(zhǔn)方差的一致性與唯一性。落點(diǎn)位置標(biāo)準(zhǔn)方差協(xié)方差矩陣A是實(shí)對稱矩陣，由數(shù)學(xué)理論知，其一定存在一個正交矩陣Q使得QAQT=Λ。Λ是一個對角矩陣，即對角元素為協(xié)方差矩陣A的特征值，且唯一，同時也是落點(diǎn)位置的方差。同樣以σx=100 m、σy=200 m、σz=300 m，ρxy=0.5、ρxz=0.5、ρyz=0.5為例求解得到此結(jié)果與通過三次旋轉(zhuǎn)矩陣P得到的落點(diǎn)位置標(biāo)準(zhǔn)方差一致。

圖5 在OXYZ中六參數(shù)橢球概率誤差模型Fig.5 Six-parameter Ellipsoid Error Probable model in OXYZ coordinate system

圖6 在OXY、OYZ和OXZ平面內(nèi)落點(diǎn)及橢球的投影Fig.6 Ellipsoid Error Probable model in OXY, OYZ and OZX planes

4 結(jié) 論

本文針對三維空間領(lǐng)域?qū)椔潼c(diǎn)精度評估方法單一、不精準(zhǔn)以及無通用表達(dá)式等問題，通過分析導(dǎo)彈落點(diǎn)在空中的分布情形，給出了一種三維橢球概率誤差精度評定方法。該方法針對三維空間中落點(diǎn)在不同方向上存在不均勻性和方向相關(guān)性等特征，通過三次坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)矩陣將相關(guān)轉(zhuǎn)化為非相關(guān)，并且經(jīng)分析驗(yàn)證，與正交變換所得的特征值比較，三次旋轉(zhuǎn)下的六參數(shù)橢球概率誤差模型的位置標(biāo)準(zhǔn)方差唯一。此外，由于||P||=1，可以得出通過旋轉(zhuǎn)所得橢球，其形狀并未發(fā)生改變，并且所得橢球體積最小。因此，該方法能夠更準(zhǔn)確、直觀地描述空中落點(diǎn)在不同方向的差異性及方向相關(guān)性，對彈道導(dǎo)彈和慣性導(dǎo)航與制導(dǎo)系統(tǒng)在三維空間中的落點(diǎn)精度評估具有非常好的實(shí)際指導(dǎo)意義。