與學生一起“玩”數(shù)學

蔡建華

“漢諾塔問題”源于印度的一個古老傳說：開天辟地的神在一個廟里留下了三根金剛石柱子，最左邊的柱子上從下往上、由大到小依次疊放著64個圓形金片，廟里的僧侶遵照神的旨意，按照規(guī)定的方法：一次只能搬動一個金片，不管在哪根柱子上，小金片必須在大金片的上面，把金片從最左邊的柱子全部搬到最右邊的柱子上。神預言說，當64個金片全部都搬到最右邊柱子上時，世界就將在一聲霹靂中毀于一旦。

傳說顯然并不可信，不過假如從數(shù)學教學的視角，將傳說中的數(shù)學元素改造成綜合實踐課的教學活動，孩子們能否經(jīng)歷一次真正的數(shù)學探索之旅，感受到數(shù)學的好玩之處呢？

【教學目標】

1.在問題情境中理解規(guī)則，同伴互助，體驗基本的數(shù)學方法和策略，感悟數(shù)學思想。

2.在數(shù)學綜合實踐活動中體驗“數(shù)學好玩”。

【教學實錄】

一、故事引路

師：今天我要給小朋友們講一個故事，并根據(jù)故事來玩游戲，想聽嗎？（播放視頻“漢諾塔的傳說”）

師：聽明白了嗎？傳說中64個金片按照規(guī)則究竟能不能都搬到第三根柱子上呢？如果能，怎么搬？今天這節(jié)課我們一起來探索“漢諾塔的奧秘”。（板書課題）

二、理解規(guī)則

師：首先，我們一起來熟悉一下漢諾塔移動的規(guī)則。（出示漢諾塔玩具，用圓圈代替金片，課件呈現(xiàn)規(guī)則）

三、探索規(guī)律

（一）動腦

師：你們打算怎樣玩？

生1：我覺得可以先拿少一點的圓圈來試一試。

師：傳說中漢諾塔有64個金片，你打算拿多少個試一試？

生2：16個。

生3：8個。

……

生4：1個。

師：在生活和學習中，我們經(jīng)常會遇到一些復雜的問題，一下子很難解決，可以先降低難度，把復雜的問題變得簡單一些。從最簡單的開始，這可是解決問題的一個很有用的策略。（板書：從最簡單的開始）

師：很顯然，移動1個圓圈是最簡單的，一步就能把這個圈移到第三根柱子上（如下圖）。

師：接下來你想試著移幾個圈？大家先想象一下，再說一說你是怎么移的，移了幾次，好嗎？

生：移2個圈，需要移動3次。先把小圈移到第二根柱子，再把大圈移到第三根柱子上，最后把小圈也移到第三根柱子上（如下圖）。

師：真好！想得清楚，說得明白！

（二）動手

師：接下來，我們試試移動3個圈。還是先想象，感覺怎么樣？是不是有點困難？那就動手來做一做吧。（出示1號活動單，組織學生開展分組活動）

1號活動單：4人小組合作，把3個圈從第一根柱子移動到第三根柱子上，最少要多少步？想辦法記錄下你們移動的過程：（ ）。

師：最少需要幾步完成？大家都用了7步，說一說你們是怎樣移動的？

生1：先把小圈移到第三根柱子上，再把中圈移到第二根柱子上，再把小圈移到第二根柱子上，再把大圈移到第三根柱子上，再把小圈移到第一根柱子上，再把中圈移到第三根柱子上，最后把小圈移到第三根柱子上。

師：生1是這樣記錄他們的移動過程的，有沒有與他不一樣的記錄方法？

（用實物展臺呈現(xiàn)第二小組的活動記錄）

師：請大家仔細看，到后面他們的寫法怎么變了呢？請第二小組的同學解釋一下這樣記錄的意思，好嗎？

生2：“大”表示最大的圈，“3”表示的是第三根柱子，“大→3”的意思是把大圈移到第三根柱子上……

師：這樣的記錄方法與剛才生1全都用文字記錄相比，哪個好？好在哪兒？

生3：生2的好，簡潔。

生4：這樣記簡單。

師：是啊，第二小組的記錄方法簡潔明了，想辦法把復雜的事情做簡單不正是數(shù)學所要追求的目標嗎？當然了，僅僅簡潔還不夠，還要設法讓別人能看懂，方便彼此間的交流。現(xiàn)在，我們統(tǒng)一約定記錄的規(guī)則，把3個圈從小到大順次編號為1、2、3，三根柱子編號為A、B、C，那么，把最小的圈移到第三根柱子上就可以記作“1→C”。用我們統(tǒng)一約定的這種編碼方法，移動3個圈的過程可以怎樣記錄呢？

（師生共同整理，形成板書：1→C，2→B，1→B，3→C，1→A，2→C，1→C）

（三）明理

師：漢諾塔好玩嗎？大家喜歡嗎？下面我們接著玩，該玩幾個圈了？

生：4個圈！（學生們躍躍欲試）

師：別總是忙著動手做，會動手更要會動腦?，F(xiàn)在我想請大家先不動手，先動動腦筋，預測一下，移動4個圈到C柱共需要多少步？

生1：13步。

生2：我也認為是13步。

師：你們是根據(jù)什么預測13步的呢？

生1：剛才我們移動1個圈要1步，移動2個圈要3步，移動3個圈要7步，從1到3增加了2步，從3到7增加了4步，我猜移動4個圈要增加6步，所以我預測需要13步。（大部分學生表示贊成）

生3：我預測要15步。因為1×2+1=3，3×2+1=7，7×2+1=15，所以我猜移動4個圈共要15步。（很多學生露出困惑的神情）

……

師：大家的預測都是根據(jù)前面已有的結(jié)果做出的，我們根據(jù)已有的事實呈現(xiàn)的規(guī)律而做出的預測，都是有價值的。那么，事實上到底是需要13步還是15步呢？（出示2號活動單，組織學生分組活動）

2號活動單：

①猜一猜，移動4個圈需要多少步？

②做一做，你們的預測對嗎？

③議一議，根據(jù)所記錄的移動過程，移動4個圈所需的步數(shù)與移動3個圈所需的步數(shù)有怎樣的關(guān)系？

師：剛才的活動大家完成得很好！大多數(shù)小組的結(jié)果是15步，現(xiàn)在請看第三小組的活動記錄，我們一起來檢驗一下是否正確。

（師生共同操作驗證）

師：現(xiàn)在我們知道了，移動4個圈需要15步，而不是13步。為什么是15步呢？15與前面的1、3、7有怎樣的關(guān)系？我們再回顧一下移動的過程，你們認為哪一步是最關(guān)鍵的？

（呈現(xiàn)移動的步驟：1→B，2→C，1→C，3→B，1→A，2→B，1→B， 4→C， 1→C，2→A，1→A，3→C，1→B，2→C，1→C）

生1：我們小組認為第1步最關(guān)鍵，最小的圈是移動到B柱還是C柱，結(jié)果完全不一樣。

師：只有1個圈時，我們是把那1個圈直接移到C柱的，移動2個圈時最上面的小圈是先移到B柱的，移動3個圈時最小的圈先移到C柱，移動4個圈時最小的圈又是先移到B柱，請看表格，這里有什么規(guī)律嗎？

生2：圈的總個數(shù)是奇數(shù)的，1號圈就先移到C；圈的總個數(shù)是偶數(shù)的，1號圈先移到B。

師：如果按照這個規(guī)律，移動5個圈的時候，1號圈要移到C柱了，是不是呢？我們下面還需要進一步驗證。我們繼續(xù)討論，你認為移動過程中的哪一步是最關(guān)鍵的？

生3：我認為最關(guān)鍵的是第8步，因為這一步是把最大的圈移到C柱上去，其他的就不難了。

師：第8步是“4→C”，在此之前，從初始狀態(tài)到把1、2、3號圈都移動到B柱上，需要幾步？你是怎么知道的？第8步之后再到全部完成，還需要幾步？（結(jié)合討論和記錄，出示下圖）

師：現(xiàn)在，大家是否明白了15步與前面移動3個圈所需要的7步之間的聯(lián)系了呢？首先，需要用7步把1、2、3號圈移到B柱，再用1步“4→C”把最大的圈移到C柱，接著還需要7步將1、2、3號圈移到C柱，也就是說，我們移動4個圈的過程是在前面移動3個圈的基礎上完成的，可以分成三個階段，用算式可以表示成15=7+1+7。

師：按照這樣的規(guī)律，移動5個圈需要多少步？

生：需要31步，15×2+1=31。

師：下面請各小組合作，驗證一下，移動5個圈是不是需要31步，看看剛才我們的研究結(jié)果是否正確？（學生分組活動）

四、解決問題

（出示3號活動單）

3號活動單：想一想“漢諾塔”的64個金片能從A柱移到C柱嗎？請說明理由。

生1：能！64個金片從A柱移到C柱的前提條件是把上面的63個金片先移到B柱，而63個金片移到B柱的前提條件是62個金片移到C柱……這樣倒推著想，64個金片是可以從A柱移到C柱的。

師：那么，全部完成要多少步呢？把我們已經(jīng)得到的這些數(shù)據(jù)1、3、7、15、31分別加上1，就能得到2、4、8、16、32，這些數(shù)都是由若干個2連乘得到的，根據(jù)這個規(guī)律，全部完成“漢諾塔”金片移動所需的總步數(shù)就是64個2連乘的結(jié)果減去1，數(shù)學上寫成“264-1”，結(jié)果是18446744073709551615步?。▽W生們發(fā)出陣陣驚呼）

這個數(shù)有多大呢？我們假設每移動一個圈需要1秒鐘，那么，移完64個金片需要18446744073709551615秒，換算一下，大約需要5845.54億年！這是誰也不可能完成的！

【課后反響】

課后，學生們寫的日記讓教師感觸良多。

朱曉茜：同學們無一不被這個傳說迷住了，我也不例外。

倪陳煒：所需的步數(shù)竟是個20位數(shù)，我異常震驚，嘴張得老大老大，似乎能塞下一個雞蛋。

曹丁?。哼@節(jié)別開生面的數(shù)學課教會了我許多，使我不能忘懷?！皾h諾塔”告訴我數(shù)學也能是好玩的。

周致行：快樂的時光總是短暫。數(shù)學竟如此好玩，如此有趣，我不禁愛上了它。

王樂涵：這節(jié)課讓我在玩中學，在學中玩。數(shù)學，真有趣兒！

洪若煊：在玩中，我們得到了知識，懂得了數(shù)學。

褚徐然：漢諾塔的奧秘在這節(jié)課中被迎刃而解，我們也受益匪淺，原來也有這么有趣、好玩的數(shù)學??！

錢寶儀：通過這堂課，我體會到了數(shù)學的奇妙、有趣，再也不會覺得數(shù)學很枯燥、很單一了。

……

透過學生日記的字里行間，我們不難發(fā)現(xiàn)，孩子們所希望遇見的數(shù)學課的樣子：“被迷住”“震驚”“有趣”“好玩”……

當然，數(shù)學好玩不只是外在形式的好玩，其根本是能體會到數(shù)學思維的樂趣，因此，必須要帶領學生經(jīng)歷真實的數(shù)學活動，“大膽假設，小心求證”，由表及里，探究本質(zhì)。唯如此，方能體會《桃花源記》所言，“山有小口，仿佛若有光。初極狹，才通人。復行數(shù)十步，豁然開朗”。豁然開朗之感，不就是學習數(shù)學獲得的成功感和滿足感嗎？

再細讀，“數(shù)學也能是好玩的”“原來也有這么有趣、好玩的數(shù)學啊”，那幾個“也”字不時地刺痛我們的雙眼——學生們正在經(jīng)歷著的數(shù)學課好玩嗎？

一、數(shù)學好玩嗎

好玩或不好玩其實是個人的主觀感受，并沒有絕對的標準。如果一個人喜歡數(shù)學并且能體會到數(shù)學的樂趣，當然就會認為數(shù)學是好玩的?？上Р皇侨巳硕寄荏w會到數(shù)學的好玩，很多人不喜歡數(shù)學，是因為數(shù)學給他們留下的是痛苦的體驗：冰冷的符號、繁難偏怪的習題、晦澀抽象的規(guī)則……他們從未感受到數(shù)學真正的魅力，所以在他們記憶中的數(shù)學自然是不好玩的。羅格斯大學的Diane Maclagan教授就曾被問道：“作為一名數(shù)學家，你覺得在工作中哪個環(huán)節(jié)是最困難的？”她不假思索地回答道：“證明定理這一環(huán)節(jié)最難?！薄澳敲茨膫€環(huán)節(jié)是最有趣的？”記者接著問道?！斑€是證明定理?！彼卮鸬?。證明定理在Diane Maclagan教授看來，既是最困難的，又是最有趣的。

因此，我們在教學的語境中討論數(shù)學好不好玩，實質(zhì)上是在討論“怎樣讓小學生感受到數(shù)學的好玩”。

二、好玩能否作為數(shù)學教學的追求

我國的文化傳統(tǒng)崇尚勤學苦讀，懸梁刺股、韋編三絕、囊螢映雪即是例證。《三字經(jīng)》有言，“勤有功，戲無益，戒之哉，宜勉力”，意指勤奮學習會有所成就，嬉戲玩耍沒一點好處，由此可見“玩”在古代教育典籍中是遭到唾棄，不登大雅之堂的。

眾所周知，數(shù)學的抽象概括性與小學生以形象思維為主的特點構(gòu)成了數(shù)學教學的一對矛盾。要化解這對矛盾，不能僅僅照搬文科學習常用的“勤學苦讀”，還要設法讓抽象的數(shù)學轉(zhuǎn)化成學生樂于參與的活動，讓數(shù)學學習活動變得鮮活有趣，更有吸引力。

玩是兒童的天性，只有被好玩的事物吸引，兒童才會沉浸其中，樂此不疲。興趣是學習動機中最現(xiàn)實、最活躍的心理成分，它既是小學生學習數(shù)學的需要，也是他們學好數(shù)學的強大動力，小學生的年齡特點決定了他們的學習行為要由興趣主導。大量的教育實踐已經(jīng)證實興趣在學習中的巨大作用，我們要做的是設法把好玩的數(shù)學帶進課堂，讓“冰冷的”數(shù)學知識轉(zhuǎn)化為“有溫度”的教學活動。

三、好玩的數(shù)學從何而來

項武義先生在第四屆蘇步青數(shù)學教育獎頒獎大會的演講中提出，“基礎數(shù)學教育之本質(zhì)與精要是精簡實用、平實近人、引人入勝”。這三個詞或許可作為“好玩的數(shù)學”的三個要素。精簡實用，好玩的數(shù)學要追求“以簡御繁”，“簡中求道”，把人人能懂、處處有用的數(shù)學帶進課堂。平實近人，要用適合學生認知水平的數(shù)學教學材料吸引學生，張奠宙先生說過，“教師的任務是把知識的學術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)”，教育形態(tài)的數(shù)學知識才能發(fā)揮出數(shù)學的育人價值。引人入勝，數(shù)學學科內(nèi)在本質(zhì)只有與課堂外在形式的完美結(jié)合，數(shù)學課才能夠吸引學生。學生被數(shù)學吸引才有可能喜歡上數(shù)學，喜歡數(shù)學才有可能學好數(shù)學。

（江蘇省靖江市教師發(fā)展中心 214500）