像散Bessel光束自重建特性的理論和實(shí)驗(yàn)研究?

楊艷飛 陳婧 吳逢鐵 胡潤(rùn) 張惠忠 胡漢青

(華僑大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院,福建省光傳輸與變換重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廈門 361021)

(2018年7月25日收到;2018年10月2日收到修改稿)

1 引 言

自1987年第一束無(wú)衍射Bessel光束[1]被提出以來(lái),便引起了廣泛關(guān)注.因該光束具有無(wú)衍射、自重建等特性,使得它被有效應(yīng)用于粒子微操控[2,3]、量子通信[4]、醫(yī)學(xué)成像等[5]領(lǐng)域.近幾年,對(duì)Bessel光束的研究仍不斷深入,如Luo課題組[6,7]提出了介電超表面的Bessel光束的產(chǎn)生和調(diào)控技術(shù);陳歡等[8]提出了基于Pancharatnam-Berry相位調(diào)控產(chǎn)生Bessel光束;Rao和Samanta[9]提出了利用不同階的空心高斯光束入射軸棱鏡產(chǎn)生Bessel光束.然而對(duì)無(wú)衍射光束的研究中發(fā)現(xiàn),在實(shí)驗(yàn)光路的構(gòu)建過(guò)程中,由于光學(xué)元件(軸棱錐)的加工誤差,或者操作不當(dāng)使得光路失去準(zhǔn)直,導(dǎo)致光束傾斜入射到光學(xué)元件,引起像散,這些均會(huì)導(dǎo)致軸棱錐后的衍射光場(chǎng)發(fā)生畸變,從而產(chǎn)生像散Bessel光束.近年來(lái),研究者對(duì)像散Bessel光束進(jìn)行了深入研究.1998年,Zhao和Zhu[10]通過(guò)觀察光束斜入射軸棱錐的情況,討論了像散Bessel光束隨入射傾角的變化規(guī)律;2003年,Thaning等[11]通過(guò)對(duì)比斜入射圓軸棱錐和正入射橢圓軸棱錐的情況,最終得到兩束等價(jià)的像散Bessel光束;2016年,劉莎等[12]利用像散飛秒Bessel光束在石英玻璃中刻寫出微米量級(jí)的雙芯光波導(dǎo)結(jié)構(gòu),實(shí)驗(yàn)證明該結(jié)構(gòu)有望被用作高靈敏度的差分位移傳感器.特別是吳逢鐵課題組對(duì)像散Bessel光束的光學(xué)特性做了較全面的研究,如:江新光和吳逢鐵[13]研究了像散對(duì)軸棱錐衍射特性的影響,并提出利用可調(diào)精密旋轉(zhuǎn)軸棱錐修正像散;胡潤(rùn)等[14]通過(guò)分析離軸像散對(duì)高階Bessel光束的影響,提出了一種檢測(cè)拓?fù)潆姾蓴?shù)的簡(jiǎn)單方案;楊艷飛等[15]對(duì)部分相干像散Bessel光束的產(chǎn)生及其傳輸特性做了進(jìn)一步的研究.

自2002年Garace-Chavez等[16]創(chuàng)造性地將Bessel光束的自重建特性用于光鑷操控粒子后,人們看到了光束自重建特性用于光學(xué)微操作、多層面粒子掃描等[17,18]領(lǐng)域的可能性.此后,各種光束的自重建特性被不斷發(fā)現(xiàn)和研究.2008年,Dogariu等[19]從理論和實(shí)驗(yàn)上研究了加速Airy光束的自重建特性,發(fā)現(xiàn)Airy光束在傳播過(guò)程中具有很強(qiáng)的抗干擾能力;2011年,張前安等[20]通過(guò)理論分析和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了高階Bessel光束的自重建特性,并提出利用高階Bessel光束構(gòu)建新型光鑷系統(tǒng),使光致旋轉(zhuǎn)成為可能;2015年,李冬等[21]研究了無(wú)衍射Mathieu光束經(jīng)圓形障礙物部分遮擋后光場(chǎng)的自重建過(guò)程.

Marcelino課題組[22]曾對(duì)利用軸棱錐產(chǎn)生的像散Bessel光束做了相關(guān)研究,并通過(guò)理論模擬證明了像散Bessel光束具有自重建特性.該文主要介紹了像散Bessel光束的形成及其相關(guān)特性,利用幾何光學(xué)原理對(duì)其自重建特性做了理論模擬,但缺少相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,且該文只對(duì)零階像散Bessel光束的自重建特性做了研究,而未涉及高階像散Bessel光束.本文基于波動(dòng)光學(xué)及菲涅耳衍射積分理論,推導(dǎo)出圓形障礙物后像散Bessel光束自重建過(guò)程的一般表達(dá)式;理論模擬了零階像散Bessel光束經(jīng)過(guò)軸上圓形障礙物后的截面光強(qiáng)和徑向曲線,可以更清晰地觀察到該光束的自重建過(guò)程;詳細(xì)分析了障礙物偏離光軸時(shí)零階像散Bessel光束的自重建特性,并進(jìn)一步利用螺旋相位板產(chǎn)生高階像散Bessel光束,驗(yàn)證了高階像散Bessel光束同樣具有自重建特性.實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論模擬相符合.

2 理論分析

根據(jù)文獻(xiàn)[14]可知,像散Bessel光束的衍射光場(chǎng)表達(dá)式可簡(jiǎn)化為

其中,ρ,θ,z為柱坐標(biāo)變量;k=(2π/λ)為波數(shù);n為折射率;γ為軸棱錐底角;η為軸棱錐的偏轉(zhuǎn)角;m為拓?fù)潆姾蓴?shù).

為了研究像散Bessel光束的自重建特性,考慮將障礙物置于軸棱錐后z=L處,則初始平面處的光場(chǎng)為

假設(shè)障礙物具有高斯型振幅吸收特性,則障礙物的振幅透過(guò)率函數(shù)可以表示為

(3)式中,(ρ,θ)為z=0平面上的極坐標(biāo)位置;(ρ0,θ0)為圓形障礙物的中心位置,當(dāng)ρ0=0時(shí),表示障礙物在軸上;ω表示障礙物吸收特性參數(shù),當(dāng)ω→0表示不存在障礙物,ω→∞表示完全吸收;A(ρ)用來(lái)描述障礙物形狀,當(dāng)障礙物為圓形時(shí),依據(jù)硬邊光闌復(fù)高斯展開法,離軸圓形障礙物A(ρ)可展開為

其中a為圓形障礙物的半徑;Aν和Bν均為展開系數(shù),可以通過(guò)優(yōu)化方法獲得;N是展開項(xiàng)數(shù),一般取前10項(xiàng)就能滿足要求.

根據(jù)菲涅耳衍射積分理論,障礙物后傳播距離z處的光場(chǎng)可表示為

將(2),(3),(4)式代入(5)式并利用如下公式:

其中Il是l階第一類修正Bessel函數(shù).

經(jīng)積分化簡(jiǎn)計(jì)算,并根據(jù)巴比涅原理[23],可將(5)式化簡(jiǎn)為

其中,

上式中,

利用(9)—(15)式可以求得障礙物后的光強(qiáng)分布式為

3 數(shù)值模擬

根據(jù)上述理論分析,利用MathCAD模擬像散Bessel光束被圓形障礙物遮擋后的光束傳輸特性. 模擬時(shí),設(shè)置入射波長(zhǎng)λ=632.8 nm,折射率n=1.458,軸棱錐底角γ=1?,偏轉(zhuǎn)角η=20?,圓形障礙物的半徑a=0.2 mm,障礙物的高斯吸收參數(shù)ω=100 mm,軸棱錐到障礙物的距離L=200 mm,離軸時(shí)障礙物的中心位置(ρ0,θ0)=(0.2,3π/2).

零階像散Bessel光束被圓形障礙物遮擋后的傳輸過(guò)程如圖1所示.圖1(a)為零階像散Bessel光束截面光斑圖;圖1(b)為障礙物遮擋示意圖;圖1(c)為像散Bessel光束自重建軸向光場(chǎng)分布圖(圓形障礙物置于傳輸距離z=0處).從圖1中可以看出,像散Bessel光束被障礙物遮擋后一小段距離內(nèi)光束消失,經(jīng)過(guò)一段距離傳輸后(大致在z=80 mm處),像散Bessel光束再次出現(xiàn),并逐漸恢復(fù)成完整的像散Bessel光束.這是由于像散的存在,He-Ne激光器發(fā)出的平面波經(jīng)螺旋相位板和傾斜軸棱錐后發(fā)生波前畸變,形成向光軸會(huì)聚的畸變的入射錐面波和從光軸出發(fā)的畸變的出射錐面波,兩個(gè)錐形波面疊加的區(qū)域可視為像散Bessel光束區(qū)域,當(dāng)在該區(qū)域放置障礙物后,入射錐面波或出射錐面波被遮擋,或者兩者同時(shí)被遮擋.在被障礙物遮擋的區(qū)域里無(wú)法形成像散Bessel光束,但是沒(méi)有被遮擋的入射錐面波和出射錐面波繼續(xù)傳播后疊加仍會(huì)形成新的像散Bessel光束,表明像散Bessel光束經(jīng)過(guò)障礙物傳播一段距離后仍然具有自重建特性.

圖1 (a)零階像散Bessel光束截面光斑圖;(b)障礙物遮擋示意圖;(c)自重建軸向光場(chǎng)分布圖Fig.1.(a)Cross-sectional spot diagram of zero-order astigmatic Bessel beam;(b)diagram illustrating of the occlusion with an obstacle;(c)self-reconstructed axial light field distribution.

根據(jù)(10)和(12)式模擬了零階(m=0)像散Bessel光束在無(wú)障礙物遮擋時(shí)傳輸不同距離處的截面光強(qiáng),如圖2所示.其中圖2(a)為無(wú)障礙物遮擋時(shí)的截面光強(qiáng)圖,圖2(b)—(e)分別為傳輸距離在z=0,z=10,z=30,z=80 mm處的截面光強(qiáng).隨著傳輸距離的增加,光束中心光斑不斷進(jìn)行分裂,中心光點(diǎn)數(shù)目逐漸增多,同時(shí)外輪廓尺寸不斷變大.這種光場(chǎng)的裂變主要是由于光路引入了像散,由像散的概念可知,Bessel光束經(jīng)傾斜軸棱錐聚焦后,其子午細(xì)光束與弧矢細(xì)光束匯聚后將不在一個(gè)點(diǎn)上,因此觀察到的光斑呈現(xiàn)出分裂的點(diǎn)陣狀態(tài).

在像散Bessel光束中心放置半徑a=0.2 mm的圓形障礙物,并由(9)—(16)式模擬零階像散Bessel光束經(jīng)軸上圓形障礙物后不同傳輸距離處的光強(qiáng)分布和徑向曲線圖,如圖3所示.其中圖3(a)為無(wú)障礙物時(shí)的光強(qiáng)截面,圖3(b)—(e)為軸上障礙物遮擋時(shí)的光強(qiáng)截面,傳輸距離分別為z=0,z=10,z=30,z=80 mm.從圖3中可以看出:像散Bessel光束被圓形障礙物遮擋后,隨著傳輸距離的增加,光束輪廓和內(nèi)部光點(diǎn)陣列逐漸顯現(xiàn)出來(lái),且光束外輪廓不斷擴(kuò)大,中心點(diǎn)陣列不斷增多.最終在距離障礙物80 mm處出現(xiàn)完整的像散Bessel光束.從圖2和圖3可以看出,被障礙物遮擋時(shí),傳輸80 mm距離處重新出現(xiàn)的光斑圖3(e)與無(wú)障礙物時(shí)傳輸相同距離處的光束光斑圖2(e)一致,即光束表現(xiàn)出自重建特性.且對(duì)比圖3(a)與圖3(e)可知像散Bessel光束經(jīng)過(guò)障礙物后重建出與障礙物前不同的截面光斑,此重建過(guò)程與無(wú)衍射Bessel光束的自重建過(guò)程不同.

圖2 零階像散Bessel光束在不同位置處的截面光強(qiáng) (a)無(wú)障礙物;(b)z=0;(c)z=10 mm;(d)z=30 mm;(e)z=80 mmFig.2.Cross section intensity of zero-order astigmatic Bessel beams at different positions:(a)Without obstacle;(b)z=0;(c)z=10 mm;(d)z=30 mm;(e)z=80 mm.

圖3 軸上障礙物后零階像散Bessel光束在不同位置處的截面光強(qiáng)和徑向曲線圖 (a)無(wú)障礙物;(b)z=0;(c)z=10 mm;(d)z=30 mm;(e)z=80 mmFig.3.Cross section intensity and radial distributions of zero-order astigmatism Bessel beam at different distances with on-axis obstacle:(a)Without obstacle;(b)z=0;(c)z=10 mm;(d)z=30 mm;(e)z=80 mm.

從對(duì)應(yīng)的徑向光強(qiáng)分布曲線圖中,能夠更清晰地看出障礙物位于中心軸上時(shí)零階像散Bessel光束的自重建演變過(guò)程.值得注意的是,從圖3(c)和圖3(d)中我們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的光學(xué)特性:光束在障礙物后10 mm處,豎直方向已經(jīng)開始重建,而水平方向還未開始;且在障礙物后30 mm處豎直方向已經(jīng)基本完成重建,而水平方向才重建一部分.由于像散的存在,造成在重建過(guò)程中障礙物后的兩束光束干涉受到影響,導(dǎo)致橫向和縱向出現(xiàn)重建速度差.因此,像散Bessel光束在自重建過(guò)程中,橫向和縱向的重建速度并不一致,存在一定的速度差.

為了驗(yàn)證障礙物的位置對(duì)像散Bessel光束自重建特性的影響,我們將圓形障礙物沿光束徑向偏離0.2 mm,即設(shè)置其中心位置為(ρ0,θ0)=模擬了像散Bessel光束經(jīng)過(guò)離軸障礙物后不同傳播距離處的截面光強(qiáng),如圖4所示.圖4(a)為無(wú)障礙物時(shí)的光強(qiáng)截面,圖4(b)—(e)為被離軸障礙物遮擋時(shí)的光強(qiáng)截面,其傳輸距離分別為0,1,3,80 mm.從圖4中可以看出,像散Bessel光束經(jīng)過(guò)離軸圓形障礙物后一小段距離內(nèi),部分光束被遮擋消失,圓形障礙物清晰可見(jiàn);隨著傳輸距離的增加,圓形障礙物逐漸消失,像散Bessel光束開始重建,直至障礙物完全消失,像散Bessel光束重建完成.因此,像散Bessel光束在被離軸障礙物遮擋時(shí)仍具有自重建現(xiàn)象.與只有一個(gè)中心光斑的零階Bessel光束相比,其可操控范圍更大,且能夠同時(shí)俘獲更多粒子,有望在多層面多粒子操控方面得到應(yīng)用.

圖4 離軸障礙物后零階像散Bessel光束在不同位置處的截面光強(qiáng) (a)Without obstacle;(b)z=0;(c)z=10 mm;(d)z=30 mm;(e)z=80 mmFig.4.Cross section intensity of zero-order astigmatism Bessel beam at different distances with o ff-axis obstacle:(a)Without obstacle;(b)z=0;(c)z=10 mm;(d)z=30 mm;(e)z=80 mm.

圖5 軸上障礙物后高階像散Bessel光束在不同位置處的截面光強(qiáng) (a)無(wú)障礙物;(b)z=0;(c)z=10 mm;(d)z=30 mm;(e)z=80 mmFig.5.Cross section intensity of high-order astigmatism Bessel beam at different distances with on-axis obstacle:(a)Without obstacle;(b)z=0;(c)z=10 mm;(d)z=30 mm;(e)z=80 mm.

進(jìn)一步模擬了高階像散Bessel光束經(jīng)過(guò)軸上圓形障礙物后的自重建過(guò)程,設(shè)置參數(shù)m=2,即二階像散Bessel光束.不同位置處的截面光強(qiáng)分布如圖5所示,其中圖5(a)為無(wú)障礙物時(shí)的光強(qiáng)截面,圖5(b)—(e)為軸上障礙物遮擋時(shí)的光強(qiáng)截面,傳輸距離分別為z=0,z=10,z=30,z=80 mm.從圖5中可以看出,高階像散Bessel光束同零階像散Bessel光束一樣具有自重建特性,且重建過(guò)程中依然表現(xiàn)出豎直方向重建速度先于水平方向.

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)中我們利用傾斜的軸棱錐產(chǎn)生像散Bessel光束;若在軸棱錐前加入螺旋相位板,即可產(chǎn)生對(duì)應(yīng)的高階像散Bessel光束.實(shí)驗(yàn)裝置如圖6所示,實(shí)驗(yàn)中選擇λ=632.8 nm的He-Ne激光器作為光源,透鏡L1的焦距為f1=15 mm,透鏡L2的焦距為f2=300 mm,透鏡L1和L2組成望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)對(duì)光束進(jìn)行準(zhǔn)直擴(kuò)束.光闌直徑為10 mm,螺旋相位板的拓?fù)潆姾蓴?shù)m=2,軸棱錐底角γ=1?,軸棱錐傾斜角η=20?,圓形障礙物的半徑a=0.2 mm,障礙物到軸棱錐的距離L=200 mm.采用工作距離(物距)S=113 mm的SMZ-168體視顯微鏡對(duì)不同距離處的截面光強(qiáng)進(jìn)行觀察并拍攝記錄.

圖6 實(shí)驗(yàn)裝置圖Fig.6.The schematics of the experimental setup.

圖7 軸上障礙物后零階像散Bessel光束在不同位置處的截面光強(qiáng)實(shí)驗(yàn)圖 (a)無(wú)障礙物;(b)z=0;(c)z=10 mm;(d)z=30 mm;(e)z=80 mmFig.7.Cross section intensity and radial distributions of zero-order astigmatism Bessel beam in experiment at different distances with on-axis obstacle:(a)Without obstacle;(b)z=0;(c)z=10 mm;(d)z=30 mm;(e)z=80 mm.

圖7所示為零階像散Bessel光束經(jīng)過(guò)軸上圓形障礙物后不同位置處的光強(qiáng)截面圖,其中圖7(a)為無(wú)障礙物時(shí)的光強(qiáng)截面,圖7(b)—(e)為軸上障礙物遮擋時(shí)的光強(qiáng)截面,傳輸距離分別為z=0,z=10,z=30,z=80 mm.與圖3進(jìn)行對(duì)比,可以看出實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論模擬基本符合.此外,圖8離軸障礙物后像散Bessel光束的自重建過(guò)程與圖4模擬結(jié)果也具有一致性.

圖8 離軸障礙物后零階像散Bessel光束在不同位置處的截面光強(qiáng)實(shí)驗(yàn)圖 (a)無(wú)障礙物;(b)z=0;(c)z=10 mm;(d)z=30 mm;(e)z=80 mmFig.8.Cross section intensity of zero-order astigmatism Bessel beam in experiment at different distances with o ff-axis obstacle:(a)Without obstacle;(b)z=0;(c)z=10 mm;(d)z=30 mm;(e)z=80 mm.

圖9 軸上障礙物后高階像散Bessel光束在不同位置處的截面光強(qiáng)實(shí)驗(yàn)圖 (a)無(wú)障礙物;(b)z=0;(c)z=10 mm;(d)z=30 mm;(e)z=80 mmFig.9.Cross section intensity of high-order astigmatism Bessel beam in experiment at different distances with on-axis obstacle:(a)Without obstacle;(b)z=0;(c)z=10 mm;(d)z=30 mm;(e)z=80 mm.

實(shí)驗(yàn)中調(diào)節(jié)螺旋相位板,使經(jīng)過(guò)望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)的準(zhǔn)直光束通過(guò)螺旋相位板后變成二階Bessel光束,再垂直入射傾斜軸棱錐,產(chǎn)生二階像散Bessel光束;然后經(jīng)過(guò)軸上障礙物遮擋并長(zhǎng)距離傳輸,觀察其自重建過(guò)程.圖9所示為二階像散Bessel光束經(jīng)過(guò)軸上圓形障礙物后在不同傳輸距離處的截面光強(qiáng),其中圖9(a)為無(wú)障礙物時(shí)的光強(qiáng)截面,圖9(b)—(e)為軸上障礙物遮擋時(shí)的光強(qiáng)截面,傳輸距離分別為z=0,z=10,z=30,z=80 mm.從圖中可以看到一個(gè)完整的自重建過(guò)程.與圖5對(duì)比,可以看出實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論模擬能夠較好地符合.并且由上述的理論模擬和實(shí)驗(yàn)結(jié)果能夠說(shuō)明:我們所推導(dǎo)出的像散Bessel光束經(jīng)過(guò)圓形障礙物后的衍射光場(chǎng)表達(dá)式為一般形式,具有普適性.

5 結(jié) 論

基于菲涅耳衍射積分理論和巴比涅原理,推導(dǎo)出像散Bessel光束在障礙物后的衍射光場(chǎng)一般表達(dá)式,充分分析了像散Bessel光束的自重建過(guò)程及其傳輸特性.理論模擬和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了零階像散Bessel光束經(jīng)過(guò)軸上和離軸圓形障礙物情況下的傳輸過(guò)程,結(jié)果表明:這兩種情況下的像散Bessel光束均具有自重建特性;且隨著傳輸距離的增加,像散Bessel光束的外輪廓尺寸變大、中心光點(diǎn)陣列數(shù)增多.該特點(diǎn)有別于在傳輸中保持光場(chǎng)不變,中心光斑單一的無(wú)衍射Bessel光束,有望應(yīng)用于多層面多粒子控制.并觀察到一新的光學(xué)傳輸特性:光束重建過(guò)程中橫向和縱向重建速度并不一致,存在一定的速度差.利用螺旋相位板產(chǎn)生高階像散Bessel光束,驗(yàn)證了高階像散Bessel光束同樣具有自重建特性.相對(duì)于零階的光鑷系統(tǒng),高階光束不僅可以擴(kuò)大操控的范圍,而且還可利用光束攜帶的軌道角動(dòng)量來(lái)實(shí)現(xiàn)光致旋轉(zhuǎn),對(duì)微粒子操控更加靈活.該研究通過(guò)理論和實(shí)驗(yàn)證明了像散Bessel光束的自重建特性,拓寬了像散Bessel光束的研究范圍;研究結(jié)果在光學(xué)微操控等領(lǐng)域具有一定的實(shí)際意義和應(yīng)用價(jià)值.