Logistic和Generalized-Arc-Tangent產量遞減方程理論推導

蔡喜東，高文君，宋紅霞

（中國石油 吐哈油田分公司 勘探開發(fā)研究院，新疆 哈密 839009）

文獻［1］和文獻［2］分別建立Logistic產量遞減方程和Generalized-Arc-Tangent產量遞減方程時，均采用擬相滲關系式，這與文獻［3］中Arps產量遞減方程建立過程中采用擬相滲關系式而引起的不足和缺陷屬同一類問題[4]。文獻［5］就此類問題，對Arps產量遞減方程的滲流理論進行完善，因此，為了使Logistic產量遞減方程和Generalized-Arc-Tangent產量遞減方程的滲流理論基礎也更加完善，本次沿用文獻［5］的研究思路，對Logistic產量遞減方程和Generalized-Arc-Tangent產量遞減方程的滲流理論進行了推導與完善。

1 基礎理論方程

注水保持地層壓力的情況下，油藏物質平衡微分方程可表示為[6]

油井開井數保持不變時，油田總產量由下式計算[7]：

將（1）式代入（2）式，得

油井見水以后，平均含水飽和度Sˉw由Welge方程得到[8]：

在不考慮毛細管力、重力的影響時，由Darcy式可得到分流量方程[9]：

2 Logistic和Generalized-Arc-Tangent產量遞減方程的理論推導

艾富羅斯實驗結果表明，平均含水飽和度與出口端含水飽和度一般符合線性關系[8]：

對上式兩邊微分，得

2.1 Logistic產量遞減方程

2007年，文獻［10］曾提出油相相對滲透率較符合下式：

令 Ko（Swi）=exp[bolg(e)+(1-Swi)aolg(e)]-Co，m=(1-Swi-Sor)aolg(e)，則（8）式可寫成歸一化含水飽和度關系式：

式中 Swd=(Swe-Swi)/(1-Swi-Sor).

將（7）式和（9）式代入（3）式，取初始條件遞減時間t=0時，Swe=Swi，定積分，得

將（10）式代入（2）式，整理，得

令t=0，得

那么，（11）式可改寫為

按遞減率定義式可知

將（13）式代入（14）式，整理得

將（16）式代入（13）式，并令 b=-Ko（Swi）/(Ko（Swi）+Co)，即可得到標準Logistic產量遞減方程：

2.2 Generalized-Arc-Tangent產量遞減方程

若將文獻［2］擬油相相滲關系式中的Swd用Swd替代，則轉化為標準的油相相滲關系式：

將（7）式和（18）式代入（3）式，取初始條件遞減時間t=0時，Swe=Swi，定積分，得

將（20）式代入（18）式，得

將（21）式代入（2）式，可得Generalized-Arc-Tanent產量遞減方程：

當t=0時，由（22）式可得初始產量：

將（23）式代入（22）式，得

令t=0，由（25）式，得

令b=1/n+1，將（26）式代入（24）式，且n＞0時，即可得到Generalized-Arc-Tangent產量遞減方程標準方程式：

上式中，當t=0時，qt=qi；當t→∞時，qt→0.這些特點，正是描述油氣田產量遞減函數必須滿足的條件，因此，表明上式為一遞減函數，可以用于產量遞減的分析和預測。由于該函數關系式過于復雜，求解比較特殊，具體求解過程如下。

將實際數據代入（30）式，利用單變量求解方法，可確定出β，z0，z1和z2，進一步利用下式可確定出n，m，φ和qi的值：

雖然Generalized-Arc-Tangent產量遞減方程求解方法比較特殊，但該方程既解決一般產量單調遞減問題，也能解決產量遞減初期曲線向右微凸問題；同時，該方程在一定條件下，可以轉化為Arps遞減方程、Logistic遞減方程和Arc-Tangent遞減方程（反正切微分分布產量遞減方程）［11]。如：n=0時，令λ=φ/m，那么，（24）式即為反正切微分分布產量遞減方程[12]：

按遞減率定義式，Arc-Tangent產量遞減方程的遞減率方程為

令t=0，由（36）式得Di=0.這表明Arc-Tangent產量遞減方程是初始遞減率為0的一種特殊產量遞減方程，其油相相對滲透關系式Kro=Ko(Swi)cos2(0.5πSwd)也很特殊。進一步分析λ的變化對遞減率影響來看，隨λ的增大，遞減率變化歪“幾”字形越明顯（圖1），即遞減率初期由0快速增大到某一極值，然后隨時間開始緩慢下降，這種特點與Arps遞減方程所表現出來的遞減率單調下降有著明顯的區(qū)別[13]。

圖1 不同λ值下產量遞減率變化曲線

3 水相相滲關系式的確定

將（6）式代入（4）式，取初始條件Swe=Swi時，fw=0，定積分得到：

將（37）式代入（5）式，則

將Logistic和Generalized-Arc-Tangent產量遞減方程對應的油相相滲關系式依次代入（38）式，得

式中 Kw(Sor)=Ko(Swi)μw/μo.

綜上所述，對于水驅油田，Logistic和Generalized-Arc-Tangent產量遞減方程具有各自特殊的油、水兩相相滲關系式[14-18]。

4 實例應用

4.1 丘陵油田陵2北區(qū)

1998年以來，丘陵油田陵2北區(qū)產量進入連續(xù)遞減階段（圖2），其單井平均動用地質儲量19.2×104t，直接利用Logistic產量遞減方程，回歸得到該區(qū)單井產量遞減關系式為

相關系數R=0.996 73；初始遞減率Di=0.391 33 a-1；b=-1.223 23.

圖2 丘陵油田陵2北區(qū)產量遞減曲線

按文中Logistic產量遞減方程對應油相相滲進行擬合（圖3）。

Kro=1.025 82exp(-4.559 18Swd)-0.010 74，

（相關系數R=0.999 65），

其中 Ko(Swi)=1.025 82，m=4.559 18，Co=0.010 74.

取初始試采產量為0.584 0×104t，k=0.95，得到初始遞減率Di=0.241 50 a-1，b=-0.989 53，這與實際生產數據直接擬合結果一致（圖2）。

圖3 丘陵油田油相相滲曲線

4.2 溫五區(qū)塊

1997年以來，溫五區(qū)塊產量進入連續(xù)遞減階段（圖4），其單井平均動用地質儲量12×104t，直接利用Generalized-Arc-Tangent產量遞減方程回歸得到溫五區(qū)塊單井產量遞減關系式為

圖4 溫五區(qū)塊單井產量遞減曲線

擬合相關系數為0.981 82；qi=1.164 96，Di=0.376 81 a-1，m=-11.340 80，n=-1.390 70.

按文中Generalized-Arc-Tangent產量遞減方程對應油相相滲進行擬合（圖5）。

圖5 溫五區(qū)塊油水相滲變化曲線

Kro=1.120 90cos2(0.5πSwd)/[2.040 77tan(0.5πSwd)+1]0.76569,

（相關系數R=0.996 55），

其中 Ko(Swi)=1.120 90，m=2.040 77，n=0.765 69.

取初始試采產量為0.912 5×104t，k=0.75，得到初始遞減率Di=0.469 24，qi=1.022 82，這與實際生產數據直接擬合結果基本一致（圖4）。

上述2個實例應用表明，利用油水相滲確定的遞減參數與實際生產數據直接得到的遞減參數一致。因此，在油田開發(fā)初期或油田開發(fā)指標設計時，在生產數據不足的情況下，可利用油井試采資料和油水相滲數據，對產量遞減變化趨勢進行有效地預估，如利用油相相滲關系式擬合確定出鄯善油田產量遞減符合雙曲遞減、馬西深層油藏產量遞減符合調和遞減、紅崗薩爾圖油藏產量遞減符合指數遞減[5]，以及本文給出的丘陵油田符合Logistic遞減和溫五區(qū)塊符合Generalized-Arc-Tangent遞減等。

5 結論

（1）本文完善了Logistic和Generalized-Arc-Tangent產量遞減方程的滲流理論。

（2）水驅油田產量遞減方程主要受油水兩相滲流特征共同決定。

（3）經典的油水兩相相滲關系式還無法有效建立Logistic和Generalized-Arc-Tangent產量遞減方程。

（4）在生產數據不足的情況下，可利用試采和油水相滲數據對產量遞減變化趨勢進行有效地預估。

符號注釋

a，a0，b，b0，k，m，n，φ，λ，β——待定系數；

Bo——地層壓力為p時原油體積系數，m3/m3；

Co——油相相滲修正常數；

Di——初始遞減率，a-1或 mon-1；

Dt——t時刻遞減率，a-1或 mon-1；

fw——含水率；

h——油層生產厚度，m；

K——油層滲透率，mD；

Ko(Swi)——束縛水飽和度下油相滲透率，mD；

Kro——油相相對滲透率，無量綱；

Krw——水相相對滲透率，無量綱；

Kw(Sor)——殘余油飽和度下水相滲透率，mD；

no——開井數，口；

N——地質儲量，104t；

Npd——遞減期累計產油量，104t；

Δp——生產壓差，MPa；

qi——初始遞減產油量，t/d；

qt——t時刻產油量，t/d；

re——泄油半徑，m；

rw——井筒半徑，m；

S——表皮系數；

Swd——歸一化含水飽和度；

Swe——出口端含水飽和度；

Swi——束縛水飽和度；

Sˉw——平均含水飽和度；

Sor——殘余油飽和度；

t——遞減時間，a或mon；

ρo——原油密度，g/cm3；

μo——地層原油黏度，mPa·s；

μw——地層水黏度，mPa·s.