滲流圓的等效原則

李傳亮，鄧鵬，朱蘇陽，劉東華

（1.西南石油大學(xué) 石油與天然氣工程學(xué)院，成都 610599；2.中海石油（中國）有限公司 湛江分公司，廣東 湛江 524057）

油氣水在地層中的流動與電流在導(dǎo)體中的流動類似，描述滲流的達西定律與描述電流的歐姆定律也具有相同的形式，根據(jù)電學(xué)原理研究滲流力學(xué)問題，即水電相似原理[1]。等值滲流阻力法是滲流力學(xué)和油藏工程的常用方法[2-3]，是根據(jù)水電相似原理建立起來的一種等效方法，是歐姆定律在滲流力學(xué)中的應(yīng)用。由于該方法簡單且直觀，因此，在石油工程領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，以解決復(fù)雜的滲流問題[4-7]。等值滲流阻力法包括線性流和徑向流兩種基本流動形態(tài)的等效處理。線性流的等效處理較為簡單，實際應(yīng)用中基本沒有分歧。但是，對于徑向流的等效處理卻一直存在不同觀點，主要是對滲流圓的等效原則有不同的理解，等效后的滲流圓有大、小之分，因此，等效后的滲流阻力和油井產(chǎn)量公式便存在差別，計算的油井產(chǎn)量也不同。為更好地使用等值滲流阻力法解決滲流力學(xué)問題，必須對滲流圓的等效原則加以明確，只有統(tǒng)一了等效原則，才能得到相同的等效結(jié)果。

1 徑向流與線性流

若一口直井位于圓形地層的中心（圖1），如不考慮地層傷害，油井的產(chǎn)量（地層的流量）公式[8]為

圖1 圓形地層直井滲流示意

徑向流的所有流線，都沿著圓形地層的徑向線指向圓心（圖1），也就是一個滲流圓。把徑向流的產(chǎn)量公式（1）式寫成歐姆定律的形式，則為

由（1）式和（2）式，得徑向滲流阻力：

若地層為一線性地層，流線為一組平行線（圖2），此即線性流，地層的流量[8]為

圖2 線性地層滲流示意

把（4）式寫成歐姆定律的形式，則為

由（4）式和（5）式，得線性流的滲流阻力為

2 簡單滲流區(qū)域形狀

實際地層通常不是圓形或線性地層，而是不規(guī)則的形狀，流線也往往不是平行線和徑向線，更多時候是彎曲的曲線，這種情況下的產(chǎn)量公式很難給出。但是，前人想到了一種近似處理方法，即把不規(guī)則的滲流區(qū)域形狀等效成圓形或線性地層，這樣就可以方便地給出油井的產(chǎn)量公式。

圖3為一個正方形地層，正方形的邊長為a，滲流區(qū)域的面積為a2，直井位于正方形的中心，若把它等效成圖1的滲流圓，有兩種等效處理方法。

圖3 正方形滲流區(qū)域

第一種等效處理方法就是面積等效，讓正方形與圓形的面積相等，則等效滲流圓的半徑為

第二種等效處理方法就是周長等效，讓正方形與圓形的周長相等，則等效滲流圓的半徑為

很顯然，用周長等效法得到的滲流圓是大滲流圓，用面積等效法得到的滲流圓是小滲流圓，因此，計算的產(chǎn)量自然有所不同。

對于復(fù)雜的任意滲流區(qū)域形狀，前人通過嚴格的解析方法，給出了一個統(tǒng)一的等效公式[9]，即

對于正方形地層，CA=30.9，代入（9）式，得re=0.57a，與面積等效法得到的小滲流圓十分接近，即小滲流圓在理論上更合理一些，而大滲流圓則高估了滲流阻力，低估了油井產(chǎn)量。

3 復(fù)雜滲流區(qū)域形狀

封閉邊界的任意泄油區(qū)域形狀的等效問題，通過（9）式基本上都能解決。但是，若地層存在部分開放邊界或定壓邊界，（9）式就無能為力了，這時必須進行分區(qū)等效。

3.1 線性流—徑向流組合

排狀注水開發(fā)井網(wǎng)的復(fù)雜滲流，可以分解成多個滲流單元，每一個單元的滲流都相同，研究其中的一個單元即可。圖4為排狀注水開發(fā)井網(wǎng)的基本滲流單元，單元兩側(cè)的封閉邊界為開發(fā)井網(wǎng)的分流線，兩端的定壓邊界代表注水井排。由其流線分布可以看出，遠離油井區(qū)域的流線近乎平行，可以用線性流進行等效；而近井區(qū)的流線向井底匯聚，可以用徑向流進行等效。因此，整個流動可分解為兩個線性流和一個徑向流。

徑向流的滲流圓可以采用兩種方法加以確定，一種方法是讓滲流圓的直徑與地層的寬度相等（圖5），即直徑等效法，等效后的滲流圓為大滲流圓，滲流圓半徑為

圖4 排狀注水開發(fā)井網(wǎng)基本滲流單元

圖5 排狀注水開發(fā)井網(wǎng)直徑等效法等效滲流單元（大滲流圓）

滲流圓的滲流阻力為

線性流由左右兩個完全相等的部分并聯(lián)組成，其滲流阻力為

由于地層的長度遠大于滲流圓的半徑，因此（12）式忽略了滲流圓對線性流的影響。地層總的滲流阻力為

按照歐姆定律，油井的產(chǎn)量公式為

另外一種處理方法，是讓滲流圓的周長與地層的寬度相等（圖6），即周長等效法，等效后的滲流圓為小滲流圓，滲流圓半徑為

圖6 排狀注水開發(fā)井網(wǎng)周長等效法等效滲流單元（小滲流圓）

油井的產(chǎn)量公式為

（14）式與（16）式的唯一不同就是分母上差了一個π，大滲流圓的滲流阻力偏大，油井產(chǎn)量就相應(yīng)地偏小。實際工作中大都采用周長等效法，但是，哪一種更為合理，需要用后面的徑向流—徑向流組合加以證明。

3.2 徑向流—徑向流組合

圖7 圓形地層環(huán)狀井網(wǎng)

在圓形地層中布置一個環(huán)形井排，井排半徑為rp，油井數(shù)為n（圖7），環(huán)形井排的供給半徑為re.求解環(huán)形井排的生產(chǎn)問題，與求解扇形地層等分線上一口直井的生產(chǎn)問題完全相同。

圖7中扇形地層中的滲流包括兩個徑向流，一個是從供給邊界到生產(chǎn)井排的徑向流（外部徑向流），另一個是從生產(chǎn)井排到油井的徑向流（內(nèi)部徑向流）。外部徑向流不需要等效處理，其滲流阻力稱作外阻，外阻的大小為

內(nèi)部徑向流有兩種等效處理方法，一種方法是讓滲流圓的直徑與扇形地層井排的弧長相等，即直徑等效法，等效后的滲流圓為大滲流圓，滲流圓半徑為

內(nèi)部滲流圓的阻力稱作內(nèi)阻，內(nèi)阻的大小為

滲流總阻力為

于是，按照歐姆定律得油井的產(chǎn)量公式為

另一種處理方法是讓滲流圓的周長與扇形地層井排的弧長相等，即周長等效法，等效后的滲流圓為小滲流圓，滲流圓半徑為

油井的產(chǎn)量公式為

（21）式與（23）式的唯一不同，就是分母上差了一個π.（23）式在滲流力學(xué)中利用保角變換進行了嚴格的理論證明[10]，因此具有一定的理論合理性，而（21）式則沒有經(jīng)過理論上的證明。換言之，小滲流圓比大滲流圓更加合理。

4 水平井的情況

圖8 圓形地層水平井滲流

若在圓形地層中心打一口水平井，則地層中的流動既不是徑向流，也不是線性流，而具有復(fù)雜的流動形態(tài)（圖8）。

圖10 水平井近井區(qū)的徑向流

求解水平井的滲流，可以把圖8中的復(fù)雜滲流簡化成遠井區(qū)的徑向流（外部滲流圓，圖9）和近井區(qū)的徑向流（內(nèi)部滲流圓，圖10）兩部分，地層的滲流阻力也由外阻和內(nèi)阻兩部分組成。

關(guān)于圖10中內(nèi)部滲流圓的等效處理結(jié)果也有大滲流圓和小滲流圓之分。大滲流圓的等效方法是讓滲流圓的直徑等于地層的厚度（直徑等效法），小滲流圓的等效方法是讓滲流圓的周長等于地層的厚度（周長等效法）。這兩種處理方法與圖5和圖6中直井的等效處理方法類似，只是把地層的寬度變成了圖10中的地層厚度。

許多水平井的產(chǎn)量公式都采用了小滲流圓的等效處理方法，如Borisov公式、Giger-Resis-Jourdan公式、Renard-Dupuy公式。

Borisov公式[11]：

采用大滲流圓進行等效處理的水平井產(chǎn)量公式較少，主要有Joshi公式和陳元千公式。Joshi公式[14]：

（27）式與（26）式只在分母上相差一個π.

陳元千公式[15]：

5 計算分析

5.1 水平井

若地層滲透率為0.05 D，地層厚度為10 m，生產(chǎn)壓差為1 MPa，流體黏度為1 mPa·s，地層泄油半徑為300 m，水平段長度為300 m，油井完井半徑為0.1 m.把有關(guān)參數(shù)代入Renard-Dupuy公式得油井的產(chǎn)量為183.34m3/d，代入Joshi公式得油井的產(chǎn)量為178.74m3/d.

很顯然，Joshi公式低估了油井的產(chǎn)量，但二者的差別并不大，僅為2.57%.

實際上，Joshi公式與Renard-Dupuy公式只是在分母上相差一個π，而且π又位于對數(shù)符號內(nèi)，加上水平井的水平段長度遠大于地層厚度，因此，不同等效方法對水平井的產(chǎn)量計算結(jié)果影響甚微。因此，盡管Joshi公式缺少理論上的合理性，但卻一直保留了下來。

5.2 直井

若地層長度為600 m，地層寬度為300 m，其他參數(shù)同前。把有關(guān)參數(shù)代入（14）式，得到的油井產(chǎn)量為25.96 m3/d；代入（16）式，得油井的產(chǎn)量為29.15 m3/d，二者相差12.7%.

由此可見，不同等效方法對直井產(chǎn)量的影響較大，采用大滲流圓的（14）式明顯低估了油井的產(chǎn)量，實際工作中應(yīng)避免使用。

6 結(jié)論

（1）等值滲流阻力法有兩種滲流圓的等效方法，分別等效出了大滲流圓和小滲流圓。大滲流圓高估了滲流阻力，而低估了油井的產(chǎn)量。

（2）由于水平井長度對內(nèi)阻的削弱作用，不同等效方法對水平井產(chǎn)量的計算結(jié)果影響較小。但是，不同等效方法對直井產(chǎn)量的計算結(jié)果影響卻較大。

（3）由于大滲流圓的等效方法缺少理論上的合理性，而且又對直井產(chǎn)量的計算產(chǎn)生了明顯的影響，建議今后廢棄大滲流圓的等效方法，在應(yīng)用等值滲流阻力法時盡量采用小滲流圓的等效方法。

符號注釋

a——正方形邊長，m；

A——正方形泄油區(qū)域面積，m2；

b——地層長度，m；

CA——Dietz形狀因子，不同泄油區(qū)域形狀取不同數(shù)值；

d——地層寬度，m；

h——儲集層厚度，m；

k——儲集層滲透率，D；

L——水平井的水平段長度，m；

n——環(huán)形井排上的井數(shù)，口；

q——油井產(chǎn)量（地下），m3/ks；

re——油井泄油半徑，m；

rei——內(nèi)部滲流圓的半徑，m；

rp——環(huán)形井排半徑，m；

rw——油井完井半徑，m；

Rl——線性地層的滲流阻力，mPa·s/(D·m)；

Rr——徑向滲流阻力，mPa·s/(D·m)；

Rre——外部徑向流的滲流阻力，mPa·s/(D·m)；

Rri——內(nèi)部徑向流的滲流阻力，mPa·s/(D·m)；

Δp——生產(chǎn)壓差，MPa；

γ——常數(shù)，取1.781…；

μ——流體黏度，mPa·s.