“說(shuō)謊”的平均數(shù)

伍麗青

樂樂老師VS嚴(yán)老師

阿瓜兩天沒去上學(xué)了，班主任打電話詢問怎么回事，他理直氣壯地說(shuō)：“我太忙了，沒時(shí)間上學(xué)！”

“你在忙什么呢？”班主任耐心地問。

阿瓜解釋：“我每天睡覺8小時(shí)，8×365=2920（小時(shí)）≈122天。星期六和星期日不用上學(xué)，一年就是2×52=104（天），另外我還有60天的暑假。除此之外，我每天需要花3小時(shí)吃飯，3×365=1095（小時(shí)）≈46天。然后，我每天至少要有2小時(shí)的休閑時(shí)間，2×365=730（小時(shí)）≈30天。這樣算下來(lái)，就要花掉122+104+60+46+30=362（天），上學(xué)時(shí)間只有3天了！”

班主任聽完他的解釋，笑出了聲：“阿瓜啊，依我看，你必須趕緊回來(lái)上學(xué)，重點(diǎn)補(bǔ)習(xí)一下統(tǒng)計(jì)知識(shí)！”

阿瓜撓了撓腦袋，不明白自己的“精確計(jì)算”到底出了什么問題。

“你在統(tǒng)計(jì)時(shí)，重復(fù)計(jì)算了很多時(shí)間，如睡覺的時(shí)間、周末、暑假等，它們有很大一部分是重疊的?！卑嘀魅螕u搖頭說(shuō)，“統(tǒng)計(jì)錯(cuò)誤是人們常犯的錯(cuò)誤，其中計(jì)算平均數(shù)最容易出錯(cuò)?！?/p>

阿瓜回到了學(xué)校，原以為班主任會(huì)責(zé)罵他，但是班主任不但沒有怪他，還笑瞇瞇地說(shuō)道：“阿瓜，為了激發(fā)你的學(xué)習(xí)熱情，我決定給你一個(gè)特權(quán)，你可以選擇自己喜歡的數(shù)學(xué)老師。”

阿瓜聽了很高興：“太好了！”

“我們年級(jí)有兩位非常優(yōu)秀的數(shù)學(xué)老師，樂樂老師和嚴(yán)老師。我知道你最想了解兩位老師布置的作業(yè)量。所以，我給你帶來(lái)了一份統(tǒng)計(jì)資料?！卑嘀魅翁统鲆环葙Y料說(shuō)，“樂樂老師的平均作業(yè)量是每天40分鐘，而嚴(yán)老師的平均作業(yè)量是每天1小時(shí)?！?/p>

“我選樂樂老師！”阿瓜心花怒放地說(shuō)。

阿瓜如愿以償?shù)爻蔀榱藰窐防蠋煹膶W(xué)生?？墒?，學(xué)習(xí)并沒有想象中輕松，因?yàn)樗刻熘辽僖?小時(shí)來(lái)寫數(shù)學(xué)作業(yè)。

“我明明選擇了平均作業(yè)量少的樂樂老師，可作業(yè)怎么那么多呢？”

“看你最近這么努力，我就告訴你真相吧！作業(yè)量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)是真實(shí)的，但嚴(yán)老師的學(xué)生數(shù)學(xué)水平都差不多，大家完成作業(yè)需要1小時(shí)；而樂樂老師的學(xué)生數(shù)學(xué)水平參差不齊，基礎(chǔ)好的學(xué)生，可能20分鐘就完成了，但基礎(chǔ)不是很好的學(xué)生，比如你，可能就需要2小時(shí)?！?班主任哈哈一笑，揭曉了答案。

阿瓜這下終于明白了。

威爾·羅杰斯現(xiàn)象

樂樂老師的名字聽起來(lái)很親切，但實(shí)際上，她可比嚴(yán)老師嚴(yán)厲多了。

這一天的課堂小測(cè)，阿瓜又考了59分。雖然他已經(jīng)很努力學(xué)習(xí)了，但是過(guò)去落下的課造成學(xué)習(xí)上的差距并沒有那么容易追上。

樂樂老師嘆了一口氣，說(shuō)：“阿瓜，如果你再這樣經(jīng)常不及格，我可能要把你降級(jí)到四年級(jí)的教室上課了。這樣對(duì)大家來(lái)說(shuō)都是好事。”

阿瓜辯解：“怎么會(huì)是好事呢？這樣很丟臉啊！”

“你到四年級(jí)去，五年級(jí)和四年級(jí)的數(shù)學(xué)平均成績(jī)就都上升了?！?/p>

“這怎么可能呢？”

樂樂老師娓娓道來(lái)：“你的數(shù)學(xué)水平在五年級(jí)學(xué)生中是偏差的，所以你離開后，五年級(jí)的數(shù)學(xué)平均成績(jī)將會(huì)上升；但你的數(shù)學(xué)水平又比一般的四年級(jí)學(xué)生要好，因此，你到了四年級(jí)后，將會(huì)成為拉高平均分的功臣。這個(gè)看似不可思議的現(xiàn)象，被稱為‘威爾·羅杰斯現(xiàn)象?！?/p>

“這是什么奇怪現(xiàn)象啊？”

“比如A組數(shù)據(jù)有1，2，3，6，平均數(shù)是3；B組數(shù)據(jù)有1，4，6，8，平均數(shù)是4.75。如果把B組的4移到A組去，那么A組數(shù)據(jù)的平均數(shù)就變成了3.2，B組數(shù)據(jù)的平均數(shù)變成了5。這就是威爾·羅杰斯現(xiàn)象?！睒窐防蠋熃忉尩?，“不過(guò)，威爾·羅杰斯不是數(shù)學(xué)家，而是一個(gè)上世紀(jì)30年代美國(guó)家喻戶曉的喜劇演員。之所以用他的名字命名這種現(xiàn)象，是因?yàn)樗?jīng)說(shuō)過(guò)的某句話蘊(yùn)含了類似的道理?！?/p>

“看來(lái)，如果我想在數(shù)學(xué)界留名青史，還可以試著當(dāng)喜劇演員！”阿瓜樂呵呵地說(shuō)道。

消失的10分

本以為是句玩笑話，沒想到阿瓜說(shuō)干就干。自從有了當(dāng)喜劇演員的念頭之后，他就一直在尋找表演機(jī)會(huì)。巧的是，正好學(xué)校近期要舉辦一次相聲比賽，阿瓜立刻報(bào)名了。

比賽開始了，阿瓜第一個(gè)上場(chǎng)。因?yàn)榫o張，阿瓜的表演不是那么完美。他懊惱地走下舞臺(tái)，但看到十位評(píng)委給出的分?jǐn)?shù)后，他樂開了花：

4 6 5 3 6 4 10 7 6 5

“有一位評(píng)委給了我滿分，10分！”

他高興得在原地跳起舞來(lái)。等所有參賽者的表演結(jié)束后，主持人公布了所有人的分?jǐn)?shù)，他看到大屏幕上出現(xiàn)了自己的分?jǐn)?shù)：

阿瓜 4 6 5 6 4 7 6 5 平均分5.375

“這個(gè)分?jǐn)?shù)有問題！明明有一位評(píng)委給了我10分，為什么那個(gè)分?jǐn)?shù)消失了？”阿瓜很生氣，覺得這對(duì)他不公平。

這時(shí)候，班主任恰好出現(xiàn)了。他拍了拍阿瓜的肩膀，說(shuō)：“阿瓜，因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)時(shí)要去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，這是比賽規(guī)則?！?/p>

阿瓜冷靜下來(lái)，發(fā)現(xiàn)確實(shí)如此，那個(gè)最低分3分也一起消失了：“可是，為什么會(huì)有這樣的規(guī)則呢？這樣的規(guī)則太不公平了吧！為什么要去掉評(píng)委給出的高分呢？”

班主任耐心地解釋：“去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，是為了避免個(gè)別極端分?jǐn)?shù)對(duì)平均分的影響。比如說(shuō)，個(gè)別評(píng)委有時(shí)可能會(huì)因?yàn)橹饔^偏好，給出很高或很低的分?jǐn)?shù)，這樣的異常數(shù)值會(huì)嚴(yán)重影響最終的平均分。因此，去掉它們是合理的。”

阿瓜點(diǎn)點(diǎn)頭道：“嗯，有道理。我要好好練習(xí)，爭(zhēng)取下次讓所有評(píng)委都給高分！”

親愛的小讀者，數(shù)據(jù)的采集和處理不同，所得到的統(tǒng)計(jì)結(jié)果有可能會(huì)相差很大，我們可要仔細(xì)甄別。平均數(shù)之所以會(huì)“說(shuō)謊”，是因?yàn)樗挠?jì)算方法過(guò)于簡(jiǎn)單，很容易受到個(gè)別異常值的影響，以致它不能準(zhǔn)確反映總體情況。你還知道哪些統(tǒng)計(jì)陷阱嗎？記得掃二維碼關(guān)注“廣西期刊傳媒集團(tuán)”，和我們一起分享喲！