曹貽鵬 陸軍裝甲兵學(xué)院基礎(chǔ)部
線性代數(shù)是代數(shù)學(xué)中的重要組成部分,矩陣、向量組、線性方程組、二次型等是線性代數(shù)研究的重要對(duì)象,如何從分類的角度把握這些基本概念是開(kāi)展線性代數(shù)教學(xué)應(yīng)注意的問(wèn)題?!爸取本哂兄刃?、分類、分組的含義,它是線性代數(shù)中的重要概念之一,最早由19世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn),從“秩”的概念產(chǎn)生之初就在線性代數(shù)的研究中起到了重要作用。
定義1:設(shè)矩陣A為m×n階矩陣,若在A中存在一個(gè)r階非零子式,且所有的r+1階子式都為0,則稱矩陣A的秩為r,記作R(A)=r。
定義2:設(shè)有m維列向量組A,若在A中能選出r個(gè)向量a1,a2…ar,滿足
(1)向量組A0:a1,a2…ar線性無(wú)關(guān),
(2)向量組A中的任意r+1個(gè)向量都線性相關(guān),
定理1:矩陣A的秩等于它的列向量組的秩,也等于它的行向量組的秩.
定義1、定義2和定理1分別給出了矩陣的秩和向量組的秩的定義,以及這兩個(gè)秩的關(guān)系。
設(shè)矩陣A和矩陣B都是m×n階矩陣集合M中的矩陣,即兩者都為同型矩陣,不妨設(shè)m≤n。
定理2:若R(A)=R(B)=r,則有
即矩陣A與矩陣B具有相同的標(biāo)準(zhǔn)形.
由定理2的結(jié)論可知,若兩個(gè)同型矩陣具有相同的秩,則這兩個(gè)矩陣也具有相同的標(biāo)準(zhǔn)型。在所有的m×n階同型矩陣中,利用矩陣秩R(A)=0,1,2,…,m,可以把矩陣集合M中的元素分為m+1類,秩相同的矩陣等價(jià)于相同的標(biāo)準(zhǔn)型,即有相同的基本結(jié)構(gòu)。
設(shè)A:α1,α2,…,αn和B:β1,β2,…βl,均為m維列向量組。
定理3:若RA=RB=r,則向量組生成的線性空間同構(gòu),即VA≈VB。
由定理3可知,秩相同的兩個(gè)同維向量組生成的線性空間同構(gòu),即在同構(gòu)意義下兩個(gè)向量組生成的空間是唯一的,兩個(gè)向量組具有完全相同的結(jié)構(gòu)。
例,設(shè)向量組A:α1=(1,0,0)T,α2=(0,1,0)T,α3=(1,1,0)T和向量組B:β1=(0,1,0)T,β2=(0,0,1)T均為3維向量組.顯然,A和B均生成的空間VA和VB均為二維空間,α1,α2和β1,β2分別為兩個(gè)空間的一組基。
設(shè)A為m×n階矩陣,x為n維未知向量,b為n維非零列向量,Ax=b為n個(gè)未知數(shù)m個(gè)方程的線性方程組,Ax=0為其導(dǎo)出組。
定理4:n元齊次線性方程組Ax=0
(1)方程組只有零解當(dāng)且僅當(dāng)R(A)=n;
(2)方程組有無(wú)窮解當(dāng)且僅當(dāng)R(A)<n。
定理5:n元非齊次線性方程組Ax=b
(1)無(wú)解的充要條件是R(A)<R(A,b);
(2)有唯一解的充要條件是R(A)=R(A,b);
(3)有無(wú)窮解的充要條件是R(A)=R(A,b)<r。
由定理3和定理4可知,相同結(jié)構(gòu)的線性方程組的解的存在性和唯一性均可由線性方程組的系數(shù)矩陣及增廣矩陣的秩所確定.因此,無(wú)論同型的方程組具體為何,只要其系數(shù)矩陣及增廣矩陣的秩是確定的,則這些方程組均屬于一類方程組,具有相同的解的存在性和唯一性。
定理6:設(shè)n元齊次線性方程組Ax=0的系數(shù)矩陣的秩R(A)=r,則其解集S的秩Rs=n-r。
定理6的結(jié)論說(shuō)明了齊次線性方程組方程組的結(jié)構(gòu)完全由其系數(shù)矩陣的秩所決定,在同構(gòu)意義下這類線性方程組的解空間是唯一的。
例,解方程組
得解空間分別為
顯然,解空間S1和S2的維數(shù)都是2,解空間結(jié)構(gòu)相同,在同構(gòu)的意義下兩個(gè)方程組本質(zhì)是一樣的。
利用秩對(duì)線性代數(shù)中的代數(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分類在教學(xué)上具有實(shí)際意義。特別是通過(guò)橫向比較,利用秩對(duì)向量組、矩陣和線性方程組等進(jìn)行分類,可以發(fā)現(xiàn)很多問(wèn)題本質(zhì)上是同一類問(wèn)題,這對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)歸納能力是一次很好的鍛煉。