☉山東省肥城市第一高級中學(xué) 田祖榮
在數(shù)學(xué)解題中,我們要有意識地應(yīng)用一些常規(guī)且熟知的方法去分析問題、解決問題,形成能力,進(jìn)而提升數(shù)學(xué)素質(zhì),使自己具有良好的數(shù)學(xué)頭腦和獨(dú)特的解題眼光.特別對于平面向量問題,需要抓住基本的解題方法加以突破,達(dá)到巧妙求解平面向量的目的.
在解決一些平面向量的線性運(yùn)算問題中,經(jīng)常根據(jù)平面向量的基本定理,通過轉(zhuǎn)化,把對應(yīng)的向量轉(zhuǎn)化為只含有基底的兩個(gè)向量(不共線)的運(yùn)算,進(jìn)而利用向量的有關(guān)運(yùn)算法則來處理.通過此種基底法來解決相關(guān)的平面向量問題,往往可使平面向量問題簡單化、統(tǒng)一化,方便進(jìn)一步分析與求解.
例1 (2018年全國卷Ⅰ)在△ABC中,AD為BC邊上的中線,E為AD的中點(diǎn),則=( ).
圖1
點(diǎn)評:通過合適基底的選取,使得相關(guān)平面向量的線性轉(zhuǎn)化有目標(biāo),最終的運(yùn)算得以合理轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.基底法處理,巧妙化解決.
在解答高考平面向量試題時(shí),結(jié)合已有的平面直角坐標(biāo)系或利用題目條件建立相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系,通過對應(yīng)點(diǎn)、向量的坐標(biāo),結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積公式等來處理相應(yīng)的平面向量問題.利用坐標(biāo)法解決平面向量問題時(shí),具有很強(qiáng)的目的性與操作性,解答過程流暢,解題方法巧妙.
例2(2018年上海卷)在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(-1,0),B(2,0),E,F(xiàn)是y軸上的兩個(gè)動點(diǎn),且=2,則的最小值為______.
分析:直接利用已知平面直角坐標(biāo)系,設(shè)出E,F(xiàn)的坐標(biāo),結(jié)合條件確定對應(yīng)參數(shù)之間的關(guān)系式,通過坐標(biāo)運(yùn)算得到的關(guān)系式,通過配方來確定最值即可.
點(diǎn)評:通過坐標(biāo)法的處理,結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化,把對應(yīng)的平面向量的數(shù)量積問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題,利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)來確定相應(yīng)的最值.利用坐標(biāo)法解決平面向量問題,特別是數(shù)量積問題,也是高考等相關(guān)考試中比較常見的一類技巧方法.
在平面向量的性質(zhì)中,向量模長的性質(zhì)|a|2=a2往往是解決問題的一個(gè)突破口,可以巧妙轉(zhuǎn)化數(shù)量積運(yùn)算與模長問題.利用平方法,可以有效實(shí)現(xiàn)數(shù)量積運(yùn)算與模長問題兩者之間的轉(zhuǎn)化,解答巧妙.
例3 (2018年北京卷)設(shè)a,b均為單位向量,則“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的( ).
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
分析:結(jié)合題目條件,通過關(guān)系式|a-3b|=|3a+b|的平方展開,結(jié)合a·b=0與a⊥b的關(guān)系來分析與判斷充分必要條件問題.
解:由于a,b均為單位向量,可得a2=b2=1.
當(dāng)|a-3b|=|3a+b|時(shí),兩邊平方整理可得a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2,則有a·b=0,可得a⊥b;
反之,當(dāng)a⊥b時(shí),則有a·b=0,可得a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2,即(a-3b)2=(3a+b)2,亦即|a-3b|=|3a+b|成立.
所以“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的充分必要條件.故選C.
點(diǎn)評:在解決一些平面向量的模問題時(shí),往往巧妙利用平方法,有效轉(zhuǎn)化數(shù)量積運(yùn)算與模長問題,再結(jié)合平面向量與相關(guān)知識(涉及函數(shù)或不等式等)來處理與分析問題.這也是解決平面向量問題中比較常見的一類思維方式.
例4 (2018年天津卷)如圖2,在平面四邊形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若點(diǎn)E為邊CD上的動點(diǎn),則的最小值為( ).
圖2
解:如圖3,取AB的中點(diǎn)F,連接EF.根據(jù)極化恒等式可得=
圖3
因?yàn)锳D⊥CD,從而可得EF∥AD.
又∠BAD=120°,可得∠AFE=60°.
如圖3,過點(diǎn)A作AG⊥EF,垂足為點(diǎn)G,
而此時(shí)四邊形AGED為矩形,可得EG=AD=1,則有EF=EG+FG=.
點(diǎn)評:由于極化恒等式具有化動(動點(diǎn))為定(定點(diǎn)),化動(動態(tài))為靜(靜態(tài)),化曲(曲線)為直(直線),化普通為特殊之功效,應(yīng)用十分靈活.特別地,在近幾年全國各地高考試題中,與極化恒等式有關(guān)的素材迅速成為創(chuàng)新問題的熱點(diǎn)與亮點(diǎn),隨之出現(xiàn)與之相關(guān)的平面向量的相關(guān)應(yīng)用問題.
含有絕對值的不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|,既適用于代數(shù)形式,也適用于向量形式.在處理一些涉及平面向量的模的最值問題時(shí),有時(shí)可以利用絕對值不等式的性質(zhì)來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用,顯得更為簡單快捷.
例5 (2018年浙江卷)已知a,b,e是平面向量,e是單位向量.若非零向量a與e的夾角為,向量b滿足b2-4e·b+3=0,則|a-b|的最小值是( ).
分析:巧妙通過轉(zhuǎn)化|a-b|=|a-2e-(b-2e)|,再結(jié)合絕對值不等式的性質(zhì),可以非常有效快捷地轉(zhuǎn)化,進(jìn)而得以確定|a-b|的最小值.
解:由b2-4e·b+3=0,可得(b-2e)2=1,即|b-2e|=1,
所以|a-b|=|a-2e-(b-2e)|≥|a-2e|-|b-2e(|絕對值不等式)≥|2e|sin-1=-1(當(dāng)且僅當(dāng)向量a-2e與a垂直時(shí),|a-2e|最小,此時(shí)|a|=1).故選A.
點(diǎn)評:利用含有絕對值的不等式定理來處理有關(guān)平面向量的模的最值問題,關(guān)鍵是對條件加以合理、適當(dāng)轉(zhuǎn)化,再通過適當(dāng)?shù)姆趴s變化來處理相應(yīng)的最值問題.方法簡單易懂,過程簡便.
其實(shí),數(shù)學(xué)方法是從數(shù)學(xué)基本知識或內(nèi)容中提煉出來的數(shù)學(xué)知識的精髓,是將數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁之一,有著廣泛的應(yīng)用.特別地,由于平面向量的特殊形式,其對應(yīng)問題中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)方法,根據(jù)相應(yīng)的題設(shè)特點(diǎn),以及平面向量的相關(guān)知識,靈活地運(yùn)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)方法與技巧,往往能使問題的解決更為簡捷、準(zhǔn)確,提高效益.W