☉陜西省西安市西光中學 馮有濤
高考數(shù)學中,選擇題幾乎占據(jù)了數(shù)學試卷的近“半壁江山”,是拉開考生分數(shù)距離的一道屏障.如果能在選擇題上快速正確破解,既達到盡量不丟分,又能節(jié)約時間,是我們解決選擇題的目標所在.下面筆者結合高考真題,就快速破解選擇題的比較常見技巧方法加以實例剖析.
直接法破解選擇題是最常見的一種方法,其是直接從題設條件出發(fā),運用數(shù)學的相關知識,通過推理和運算得出結論,進而作出相應的選擇.直接法一般用來破解涉及概念、性質(zhì)、定理、法則的辨析等問題.
例1(2017年全國卷Ⅲ理9)等差數(shù)列{an}的首項為1,公差不為0.若a2,a3,a6成等比數(shù)列,則{an}前6項的和為( ).
A.-24 B.-3 C.3 D.8
分析:設出等差數(shù)列{an}的公差為d,直接根據(jù)等比中項的性質(zhì)建立關系式,結合等差數(shù)列的通項公式求解公差d的值,再利用等差數(shù)列的前n項和公式求解即可.
解:設等差數(shù)列{an}的公差為d.
因為a2,a3,a6成等比數(shù)列,根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)有a2a6=a32,即(a1+d)(a1+5d)=(a1+2d)2.
又a1=1,所以d2+2d=0,又d≠0,解得d=-2,
點評:直接巧妙利用等差(等比)數(shù)列的相應性質(zhì)來解題,方法簡單,思路快捷,可以省去一些不必要的計算.利用直接法解答選擇題時,要盡可能地優(yōu)化思路,力爭小題不大做.
特例法是解決選擇題時一種非常有效的特殊方法,其主要是結合題目條件,通過特殊值(或特殊圖形、特殊位置、特殊模型)代替題設中的普遍條件,得出特殊結論,再通過適當?shù)臋z測來作出判斷.在涉及一些確定性的結論問題中,常采用特殊數(shù)值、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊角、特殊位置等來特殊處理.使用特例法往往能簡縮思維過程,降低答題難度,從而迅速得解.
例2 (2017年山東卷理7)若a>b>0,且ab=1,則下列不等式成立的是( ).
分析:涉及不等式的成立問題,可以利用條件中特殊值的選取,加以合適的驗證,從特殊到一般,進而確定相應的關系式的大小問題.
點評:通過特殊值的選取可以比較方便快捷地處理此類問題,當然也可以根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來進行直接分析與判斷.在解決函數(shù)中的大小比較問題時,往往優(yōu)先考慮特值法、排除法等,操作比較簡單,且容易判斷.通過特殊值的選取來解決往往比采用相關知識的概念、定理、性質(zhì)、公式等來處理更顯得簡單易操作.
篩選法是根據(jù)題設條件入手,運用概念、性質(zhì)、定理、法則或公式等的推演,逐步剔除干擾項,從而得出正確的判斷.此類方法一般比較適合用于定性型或不易直接求解的選擇題.
A.f(x)的一個周期為-2π
分析:根據(jù)三角函數(shù)的解析式,通過最小正周期、三角函數(shù)值的求解以及三角函數(shù)的單調(diào)性等來篩選與確定對應的結論的真假.
故選D.
點評:本題采用代入分析法,從選擇支入手,結合三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),結合題設條件不斷篩選不滿足條件的選項,最后確定正確的選項,得到正確的答案.
在解答有關選擇題的過程中,經(jīng)常可以根據(jù)已知條件作出對應的曲線或有關圖形或草圖,借助幾何圖形的直觀性來作出正確的判斷,得出結論.由于選擇題不要求寫出解題的過程,使得圖像法可以巧妙解題,提高解題的效率.
圖1
綜上分析可得-2≤a≤2,故選A.
點評:解決此類問題的關鍵是抓住函數(shù)的圖像與性質(zhì),運用數(shù)形結合的思想和函數(shù)與方程的思想解答問題.特別地,涉及方程、不等式等問題,經(jīng)??梢圆捎棉D(zhuǎn)化法,利用函數(shù)來處理,結合方程與函數(shù)的對應關系作出相應的圖像,數(shù)形結合達到求解的目的.而涉及線性規(guī)劃問題,也多采用數(shù)形結合思維,利用圖像法來處理.
極限思維是一種重要的數(shù)學思想,靈活地借助極限思想,結合取極端值、極端點、極端位置等,避開抽象、復雜的運算,簡單解題過程,優(yōu)化解題效益,起到事半功倍的效果.
例5 (2015年浙江卷理8)如圖2,已知△ABC,D是AB的中點,沿直線CD將△ACD折成△A′CD,所成二面角A′-CD-B的平面角為α,則( ).
A.∠A′DB≤α B.∠A′DB≥α C.∠A′CB≤α D.∠A′CB≥α
分析:直接通過題目條件判斷相應兩角之間的大小關系難度比較大,而通過極限法,結合翻折角的變化帶動點的變化來分析,可以很快確定答案.
解:取極限思維:當沿直線CD翻折→180°,此時α→0°,排除選項A、C;
當沿直線CD翻折→0°,此時α→180°,排除選項D.故選B.
點評:本題采用極限法,從翻折的特殊位置入手,根據(jù)特殊位置對應的角來排除與應用,解答簡單快捷.
解答選擇題要真正做到“小題小做”,應該充分挖掘不同題目的“個性”,尋求最適合的方法,快捷地作出正確的判斷,提高解題速度,為后續(xù)解題節(jié)省時間.H
圖2