化歸思想在初中數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用

☉江蘇省南通市通州區(qū)平潮實(shí)驗(yàn)初中劉惠云

化歸是數(shù)學(xué)的重要思想，其本質(zhì)就是一種轉(zhuǎn)化思維，將陌生場(chǎng)景轉(zhuǎn)化為人們熟悉的場(chǎng)景，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)由難到易、刪繁就簡的效果.在初中數(shù)學(xué)中，化歸思想最常見的用法主要體現(xiàn)在多元方程轉(zhuǎn)化為一元方程、高次方程轉(zhuǎn)化為低次方程、代數(shù)問題和幾何問題的相互轉(zhuǎn)化、實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化等.由此可見，化歸思想在初中階段有著非常廣泛的應(yīng)用.為此，教師在初中數(shù)學(xué)課堂上要注重化歸思想的教學(xué)，并且讓學(xué)生能夠運(yùn)用化歸思想處理問題.

一、結(jié)合學(xué)科特點(diǎn)及學(xué)情特點(diǎn)實(shí)施化歸思想教學(xué)

新修訂的課程標(biāo)準(zhǔn)將學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展納入了培養(yǎng)體系，雖然核心素養(yǎng)并沒有對(duì)應(yīng)某項(xiàng)具體的技能和方法，但是其中數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象等方面的能力都和化歸思想有關(guān)聯(lián)，因此在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，有針對(duì)性地實(shí)施化歸思想的教學(xué)是課程標(biāo)準(zhǔn)的基本要求.

很多教師在教學(xué)中有這樣的認(rèn)識(shí)：化歸思想是一種隱性知識(shí)，這些內(nèi)容不能通過教師的口頭說教來組織，應(yīng)該讓學(xué)生在自主探索中實(shí)現(xiàn)感悟和積累經(jīng)驗(yàn)，這其實(shí)不需要教師專門的指導(dǎo)，只要多給學(xué)生安排一些習(xí)題，多做做就有感覺了.筆者認(rèn)為上面的觀點(diǎn)只對(duì)了前一半.的確，作為一種隱性知識(shí)，如果僅靠教師的口頭說教，是沒有任何意義的，不但浪費(fèi)時(shí)間，甚至可能導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生一種逆反的心理和情緒.但是教師不能缺席學(xué)生在數(shù)學(xué)思想方面的成長，畢竟數(shù)學(xué)本身就具有高度的抽象性，而數(shù)學(xué)思想的抽象程度還要更高，根本無法通過圖表進(jìn)行總結(jié)，如果讓學(xué)生自己摸索，顯然是沒有意義的.

相比于小學(xué)生，初中生在抽象思維方面已經(jīng)有一定程度的發(fā)展，這時(shí)引導(dǎo)學(xué)生探索包括化歸思想在內(nèi)的數(shù)學(xué)思想正是一個(gè)很好的時(shí)機(jī).而且很多問題的分析恰好要借助化歸思想，為此我們以相關(guān)問題為素材，正好可以引導(dǎo)學(xué)生邊探索邊總結(jié)，指導(dǎo)學(xué)生有效掌握這一方法的使用條件和操作要點(diǎn).比如，在學(xué)生學(xué)習(xí)七年級(jí)的數(shù)學(xué)內(nèi)容時(shí)，他們將接觸負(fù)數(shù)和代數(shù)式等內(nèi)容，他們對(duì)這些都是相當(dāng)陌生的，對(duì)很多學(xué)生來講，這些內(nèi)容的理解和使用是很不習(xí)慣的.為此，教師要引導(dǎo)學(xué)生采用化歸思想，將這些陌生的內(nèi)容和他們已有的認(rèn)知體系聯(lián)系起來，可以通過一根數(shù)軸，將負(fù)數(shù)和正數(shù)放在一起，還可以通過絕對(duì)值的處理將負(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù).

當(dāng)然，化歸思想不是一兩節(jié)課就能解決的，它貫穿在學(xué)生整個(gè)初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，教師應(yīng)該有一個(gè)長遠(yuǎn)的計(jì)劃，將化歸思想納入整個(gè)初中數(shù)學(xué)的教學(xué)框架，讓學(xué)生在建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的同時(shí)領(lǐng)悟隱含在其中的方法和規(guī)律，進(jìn)而形成自主運(yùn)用化歸思想的意識(shí).

二、通過典型案例揭示化歸思想的操作過程

初中數(shù)學(xué)教師普遍存在這樣的困惑，習(xí)題講過不少，但是學(xué)生的能力始終停留在模仿的層面，相關(guān)條件略有變動(dòng)，他們就手足無措，更談不上在問題分析過程中區(qū)分在哪些情況下選擇化歸思想.筆者認(rèn)為，學(xué)生出現(xiàn)這樣的問題，往往是因?yàn)榻處熢诮虒W(xué)過程中就題論題，很少通過深度挖掘來幫助學(xué)生進(jìn)行思想方法的總結(jié).因此，筆者認(rèn)為，應(yīng)該在教學(xué)中放慢節(jié)奏，引導(dǎo)學(xué)生感悟思路的探索過程，進(jìn)而讓他們了解化歸思想的方方面面，同時(shí)這能啟發(fā)學(xué)生以典型問題為范本總結(jié)化歸思想的操作特點(diǎn)，進(jìn)而在遇到類似問題時(shí)，學(xué)生能夠做到從容不迫，成竹在胸.

在指導(dǎo)學(xué)生探索某些定理時(shí)，教師要注意到某些證明過程本身就是一個(gè)最典型的探究素材，教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，要注意發(fā)掘隱含在其中的數(shù)學(xué)思想和方法，如化歸思想.教師引導(dǎo)學(xué)生圍繞對(duì)應(yīng)的問題情境展開分析，不但可以加深學(xué)生對(duì)原理的理解，而且能提升他們的知識(shí)遷移水平.

比如，對(duì)于圓周角定理的證明，我們就可以結(jié)合化歸思想的教學(xué)進(jìn)行設(shè)計(jì)，化歸的常見策略應(yīng)該是推動(dòng)一般問題的特殊化.所以在探索這一原理時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生先探索圓心位于圓周角一條邊上的場(chǎng)景，然后提供圓心位于圓周角外部或內(nèi)部的場(chǎng)景，并將其轉(zhuǎn)化為之前的特殊場(chǎng)景，實(shí)現(xiàn)問題的簡化處理.

問題情境：圖1所示的⊙O中，圓弧BC所對(duì)應(yīng)的圓心角為∠BOC，圓周角為∠BAC，請(qǐng)研究這兩個(gè)角在大小上的關(guān)系.

情境拓展1：如果圓心與圓周角的位置關(guān)系如圖2所示，圓心位于圓周角的內(nèi)部，請(qǐng)研究這兩個(gè)角在大小上的關(guān)系.

情境拓展2：如果圓心與圓周角的位置關(guān)系如圖3所示，圓心位于圓周角的外部，請(qǐng)研究這兩個(gè)角在大小上的關(guān)系.

圖1

圖2

圖3

在最初的問題情境中，學(xué)生可以很快利用三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系實(shí)現(xiàn)問題的分析和處理，但是情境拓展之后的情形則相對(duì)一般，怎么處理呢？教師要引導(dǎo)學(xué)生比較問題之間的差別，同時(shí)要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生通過建構(gòu)圖2和圖3中的輔助線將其轉(zhuǎn)化為圖1所示的特殊場(chǎng)景，如此則能實(shí)現(xiàn)問題的解決.當(dāng)學(xué)生完成這個(gè)問題后，教師還要有意識(shí)地引導(dǎo)他們展開總結(jié)，提煉出化歸思想的操作過程.

三、讓學(xué)生通過有效的習(xí)題訓(xùn)練獲得提升

化歸思想的培養(yǎng)不能依賴于習(xí)題的講練來實(shí)現(xiàn)，但是沒有習(xí)題訓(xùn)練，顯然是不行的.在實(shí)際教學(xué)過程中，教師要關(guān)注習(xí)題的有效設(shè)計(jì).這些習(xí)題宜精不宜多，須知太多的題量只會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生一種應(yīng)付的心態(tài)，而且題量太多，學(xué)生的時(shí)間又是有限的，他們顯然不會(huì)再花時(shí)間進(jìn)行反思和總結(jié).所以，教師要注意選擇具有代表性的習(xí)題，在條件允許的前提下，教師要適當(dāng)通過變式教學(xué)對(duì)問題進(jìn)行補(bǔ)充和延展，這樣可以讓學(xué)生的化歸思想得到更加深入的發(fā)展，他們的思維水平也將因此而獲得提升.

（1）請(qǐng)確定A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求解△AOB的面積.

在處理問題（1）時(shí)，可以將函數(shù)問題化歸為方程組問題.由方程組A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)可以確定為A（-2，4）和B（4，-2）.

圖4

至于第（2）問，由圖像可知直線y=-x+2與y軸的交點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，2），因此所以S△AOB=2+4=6.

上述問題中的交點(diǎn)坐標(biāo)既滿足第一個(gè)函數(shù)，又匹配第二個(gè)函數(shù)，因此可以將其轉(zhuǎn)化為方程組，這個(gè)題目也提示學(xué)生關(guān)注方程與函數(shù)之間的關(guān)聯(lián)，由此為他們提供化歸的思路.

習(xí)題練習(xí)絕不是數(shù)學(xué)研究的全部，但是能充分地將包括化歸思想在內(nèi)的各種方法和技巧有效體現(xiàn)出來.教學(xué)過程中，教師通過習(xí)題來引導(dǎo)學(xué)生探索并積累化歸處理的經(jīng)驗(yàn)，有些時(shí)候，某個(gè)問題的化歸處理思路不止一個(gè)，這時(shí)教師可以提示學(xué)生采用多樣化的化歸方法處理，通過一題多解來提升學(xué)生思維的靈活性.當(dāng)然，有時(shí)候?qū)W生采用一種方法進(jìn)行化歸處理時(shí)，很可能陷入僵局，這時(shí)教師要注意提醒學(xué)生及時(shí)調(diào)整思路，或安排學(xué)生在合作探究中進(jìn)行更加深入的討論，以便實(shí)現(xiàn)問題的解決.

綜上所述，作為初中數(shù)學(xué)研究的一種重要思想，化歸思想的培養(yǎng)需要教師足夠的注意，也需要教師在教學(xué)中有策略地予以推進(jìn).