逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用

☉湖南省洞口縣石柱鄉(xiāng)中心學(xué)校白北平

引例：九年級(jí)（3）班有50名同學(xué)參加書(shū)法、美術(shù)興趣小組.在學(xué)校舉辦的“書(shū)法、美術(shù)作品競(jìng)賽”中，書(shū)法作品獲獎(jiǎng)的有40人，美術(shù)作品獲獎(jiǎng)的有31人，兩種作品都沒(méi)有獲獎(jiǎng)的有4人，則兩種作品都獲獎(jiǎng)的有____人.

這個(gè)問(wèn)題具有一定的難度，難點(diǎn)在于：本題涉及的數(shù)量較多，既有書(shū)法興趣小組，又有美術(shù)興趣小組；每個(gè)興趣小組既有獲獎(jiǎng)的人，還有沒(méi)有獲獎(jiǎng)的人.數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，書(shū)法作品獲獎(jiǎng)的人既包括美術(shù)作品獲獎(jiǎng)的人又包括美術(shù)作品沒(méi)有獲獎(jiǎng)的人，美術(shù)作品獲獎(jiǎng)的人既包括書(shū)法作品獲獎(jiǎng)的人又包括書(shū)法作品沒(méi)有獲獎(jiǎng)的人.正因?yàn)槿绱耍瑢W(xué)生不知從何下手，或者由于對(duì)數(shù)量之間的關(guān)系含糊不清而致錯(cuò).事實(shí)上，只要理清了題目中涉及的數(shù)量及其之間的關(guān)系，解答并不是那么困難.

通過(guò)分析我們發(fā)現(xiàn)，本題涉及的數(shù)量共有4種：書(shū)法作品獲獎(jiǎng)、美術(shù)作品獲獎(jiǎng)；書(shū)法作品獲獎(jiǎng)、美術(shù)作品沒(méi)有獲獎(jiǎng)；書(shū)法作品沒(méi)有獲獎(jiǎng)、美術(shù)作品獲獎(jiǎng)；書(shū)法作品沒(méi)有獲獎(jiǎng)、美術(shù)作品沒(méi)有獲獎(jiǎng).

根據(jù)題意可知：書(shū)法作品沒(méi)有獲獎(jiǎng)、美術(shù)作品沒(méi)有獲獎(jiǎng)的有4人；

書(shū)法作品獲獎(jiǎng)、美術(shù)作品獲獎(jiǎng)的人數(shù)+書(shū)法作品獲獎(jiǎng)、美術(shù)作品沒(méi)有獲獎(jiǎng)的人數(shù)=40；

美術(shù)作品獲獎(jiǎng)、書(shū)法作品獲獎(jiǎng)的人數(shù)+美術(shù)作品獲獎(jiǎng)、書(shū)法作品沒(méi)有獲獎(jiǎng)的人數(shù)=31；

書(shū)法作品獲獎(jiǎng)、美術(shù)作品獲獎(jiǎng)的人數(shù)+書(shū)法作品獲獎(jiǎng)、美術(shù)作品沒(méi)有獲獎(jiǎng)的人數(shù)+書(shū)法作品沒(méi)有獲獎(jiǎng)、美術(shù)作品獲獎(jiǎng)的人數(shù)+書(shū)法作品沒(méi)有獲獎(jiǎng)、美術(shù)作品沒(méi)有獲獎(jiǎng)的人數(shù)=50.

設(shè)書(shū)法作品獲獎(jiǎng)、美術(shù)作品獲獎(jiǎng)的有x人，書(shū)法作品獲獎(jiǎng)、美術(shù)作品沒(méi)有獲獎(jiǎng)的有y人，書(shū)法作品沒(méi)有獲獎(jiǎng)、美術(shù)作品獲獎(jiǎng)的有z人，則有x+y=40，x+z=31，x+y+z+4=50即x+y+z=46.這三個(gè)方程組成三元一次方程組，求出x，即為兩種作品都獲獎(jiǎng)的人數(shù).

上述解法直接從問(wèn)題的正面（作品獲獎(jiǎng)的人數(shù)）入手分析求解，比較麻煩.實(shí)際上，我們可以從作品沒(méi)有獲獎(jiǎng)的人數(shù)入手求解.由于書(shū)法作品獲獎(jiǎng)的有40人，美術(shù)作品獲獎(jiǎng)的有31人，所以書(shū)法作品沒(méi)有獲獎(jiǎng)的有50-40=10（人），美術(shù)作品沒(méi)有獲獎(jiǎng)的有50-31=19（人）.由于兩種作品都沒(méi)有獲獎(jiǎng)的有4人，所以至少有一種作品沒(méi)有獲獎(jiǎng)的人有10+19-4=25（人）.剩下的就是兩種作品都獲獎(jiǎng)的人，有50-25=25（人）.顯然這樣求解十分簡(jiǎn)捷，甚至可以心算.

引例的簡(jiǎn)便求法主要得益于我們沒(méi)有直接從“作品獲獎(jiǎng)的人數(shù)”這個(gè)正面思考問(wèn)題，而是從“作品沒(méi)有獲獎(jiǎng)的人數(shù)”這個(gè)反面思考問(wèn)題，其實(shí)就是逆向思維.逆向思維也叫求異思維，是指人們?cè)谒伎紗?wèn)題時(shí)，如果直接從正面思考思路受阻，不妨來(lái)個(gè)思維大轉(zhuǎn)彎，從問(wèn)題的反面入手思考，得出全新的思維方法，最終達(dá)到推陳出新、出奇制勝的效果.“司馬光砸缸救人”就是一個(gè)應(yīng)用逆向思維的典范.應(yīng)用逆向思維解答一類從正面入手比較麻煩甚至困難的問(wèn)題，往往可以化難為易，事半功倍，達(dá)到“柳暗花明”的境界.下面以例說(shuō)明逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.

一、在證明幾何命題時(shí)，不僅要看從已知條件可以得出什么結(jié)論，往往還要從結(jié)論入手進(jìn)行分析，從而尋找正確的證明方法或證題途徑

在證明幾何命題時(shí)，無(wú)論是比較簡(jiǎn)單的幾何題，還是相對(duì)復(fù)雜的幾何題，我們往往要從兩個(gè)方向進(jìn)行分析：（1）從已知條件出發(fā)，看看能夠得到什么結(jié)論；（2）從待證結(jié)論出發(fā)，看看結(jié)論成立需要什么條件，已經(jīng)具備了什么條件，當(dāng)然這個(gè)需要的條件往往就是從已知條件中推出的結(jié)論.

圖1

例1如圖1，已知在△ABC中，D、E為AC邊上的點(diǎn)，AD=AB，∠EBD=∠DBC，求證：AD2=AE·AC.

分析：要證AD2=AE·AC，顯然要通過(guò)三角形相似證明.為了便于尋找相似三角形，先將乘積式變成比例式.結(jié)合圖形特征和已知條件“AD=AB”，進(jìn)一步把從這個(gè)比例式可以看出，要證需要證明△ABE和△ABC這兩個(gè)三角形相似.其中∠A是這兩個(gè)三角形的公共角，根據(jù)三角形相似的判定方法，并結(jié)合已知條件∠EBD=∠DBC，只需再證這兩個(gè)三角形中的另一對(duì)角相等即可.由已知條件AD=AB，可得∠ABD=∠ADB，即∠ABE+∠EBD=∠C+∠DBC.又∠EBD=∠DBC，則∠ABE=∠C.正好是△ABE和△ABC這兩個(gè)三角形的另一對(duì)角相等.

說(shuō)明：在分析幾何證明題的證法或證題途徑時(shí)，需要從結(jié)論入手.但在書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程時(shí)，往往從已知條件出發(fā)直至推出待證的結(jié)論.

二、有些幾何命題直接從正面證明非常困難，而從問(wèn)題的反面入手，采用反證法往往可以化難為易，柳暗花明

大部分幾何證明題往往都是從正面入手進(jìn)行證明.但也有一些幾何命題，如果直接從正面入手進(jìn)行證明，往往非常困難.例如，證明“內(nèi)角和不等于360°的多邊形不是四邊形”.這個(gè)幾何命題看似簡(jiǎn)單，但如果從正面進(jìn)行證明非常困難.如果從反面入手，運(yùn)用反證法證明就簡(jiǎn)單多了，由此可見(jiàn)反證法在證明幾何命題中的威力.

例2 如圖2，已知：點(diǎn)D、E分別是線段AB、AC上的點(diǎn)，線段BE、CD相交于點(diǎn)O.若OB=OC，AD=AE，求證：OD=OE.

分析：本題看似簡(jiǎn)單，但如果直接從正面入手進(jìn)行證明，非常困難.可以作過(guò)A、B、C三點(diǎn)的輔助圓，如圖3所示.充分利用三角形相似進(jìn)行證明，過(guò)程比較繁雜.如果從結(jié)論的反面入手，利用反證法進(jìn)行證明，就簡(jiǎn)便多了.

證明：假設(shè)OD≠OE.

（1）假設(shè)OD＜OE，在線段OE上截取OF=OD，連接DE、DF、CF，如圖4所示.

∠1=∠2.

圖2

圖3

圖4

易證△BOD≌△COF.則∠BDO=∠CFO.又∠CFO＞∠3，則∠BDO＞∠3.

由∠EDO＞∠1，∠1=∠2，∠2＞∠DEO，得∠EDO＞∠DEO.

則∠BDO+∠EDO＞∠3+∠DEO，即∠BDE＞∠CED.

又∠BDE與∠ADE互補(bǔ)，∠CED與∠AED互補(bǔ)，則∠ADE＜∠AED，則AE＜AD.這與已知AD=AE矛盾，因此假設(shè)不成立.

（2）假設(shè)OD＞OE，同理可證AE＞AD.仍與已知AD=AE矛盾，假設(shè)亦不成立.

綜合（1）、（2）可知以上假設(shè)不成立.因此必有OD=OE.

說(shuō)明：用反證法證明幾何命題，首先假設(shè)結(jié)論不成立，然后從這個(gè)假設(shè)出發(fā)進(jìn)行推理，得出與已知條件或定理、公理相矛盾的結(jié)論，進(jìn)而假設(shè)不成立，從而原命題成立.

三、有些實(shí)際問(wèn)題，直接從正面入手需要列出方程（組），運(yùn)算量大，如果采用順序倒換法思考，非常簡(jiǎn)捷

在思考數(shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候，受思維定式的影響，我們習(xí)慣于按照一定的順序思考.一般情況下，很難打亂思考問(wèn)題的順序.正如我們?cè)谟?jì)量的時(shí)候，習(xí)慣于按照“從左到右、從前到后、從上到下”的順序進(jìn)行計(jì)量.實(shí)際上，有些數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果我們能打破順序，采用順序倒換的方法，可以使問(wèn)題的解答變得簡(jiǎn)捷.

例3李颯的媽媽買了幾瓶飲料，第一天，他們?nèi)液攘巳匡嬃系囊话肓惆肫?；第二天，李颯招待來(lái)家中做客的同學(xué)，又喝了第一天剩下的飲料的一半零半瓶；第三天，李颯索性將第二天所剩的飲料的一半零半瓶喝了.這三天，正好把媽媽買的全部飲料喝光，則媽媽買的飲料一共有（）瓶.

A.5B.6C.7D.8

解得y=3，這也是第一天李颯喝飲料之后所剩的飲料瓶數(shù).再設(shè)李颯喝飲料之前，還有z瓶飲料，則解得z=7，這就是李颯喝飲料之前媽媽買的飲料瓶數(shù)，故應(yīng)選C.

以上我們僅從三個(gè)方面談了逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.當(dāng)然，逆向思維在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用遠(yuǎn)不止這些.再如整式乘法中的兩數(shù)和的完全公式平方（a+b）2=a2+2ab+b2與因式分解中的完全平方公式a2+2ab+b2=（a+b）2，只是將一個(gè)等式左、右兩邊部分對(duì)調(diào)就成了兩個(gè)不同的公式，這本身就是一種逆向思維的體現(xiàn).再如勾股定理與勾股定理的逆定理，也體現(xiàn)了一種逆向思維.在今后思考數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們既要注意從正面思考，也要從問(wèn)題的反面多想想，多進(jìn)行逆向思維，從而提高我們的思維能力.W