以形助數(shù)求參數(shù)范圍：從“抽象”到“形象”
——從2018年河北中考卷第16題“網(wǎng)傳錯解”說起

☉江蘇省連云港市新海實驗中學宋彥波

初中階段函數(shù)的學習對自變量的取值范圍要求不高，強調(diào)得往往不夠，這使得不少學生在解決函數(shù)相關的圖像問題時常常因為忽視自變量的取值范圍，出現(xiàn)解題漏洞或錯解.本文從一道河北中考題的“網(wǎng)傳錯解”說起，鏈接一些同類問題及“以形助數(shù)”的解法，并跟進教學思考，供分享.

一、從河北卷第16題“網(wǎng)傳錯解”說起

考題1：（2018年河北省中考卷，第16題）對于題目“一段拋物線L：y=-x（x-3）＋c（0≤x≤3）與直線l：y=x＋2有唯一公共點，若c為整數(shù)，確定所有c的值”，甲的結(jié)果是c=1，乙的結(jié)果是c=3或4，則（）.

A.甲的結(jié)果正確

B.乙的結(jié)果正確

C.甲、乙的結(jié)果合在一起才正確

D.甲、乙的結(jié)果合在一起也不正確

“網(wǎng)傳錯解”：把y=x＋2代入y=-x（x-3）＋c，得x＋2=-x（x-3）＋c.

化簡，得x2-2x＋2-c=0.

由題意得Δ=（-2）2-4×1×（2-c）=-4＋4c=0，解得c=1，所以甲的結(jié)果正確.故選A.

“網(wǎng)傳另解”：拋物線y=-x（x-3）＋c（0≤x≤3）可以看作y=-x（x-3）向上平移c個單位長度后的圖像.

所以可將條件“一段拋物線L：y=-x（x-3）＋c（0≤x≤3）與直線l：y=x＋2有唯一公共點”轉(zhuǎn)化為“一段拋物線y=-x（x-3）（0≤x≤3）與直線y=x＋2-c有唯一公共點”.（平移是相對的）

聯(lián)立y=-x（x-3）和y=x＋2-c，消去y，得到關于x的一元二次方程，利用Δ=0，解得c=1.

經(jīng)驗證，滿足題意.

由于0≤x≤3，c為整數(shù)，所以2-c=-1、-2、-3，解得c=3、4、5.

綜上，c=1、3、4、5.答案為D.

簡評：上面的“網(wǎng)傳錯解”是忽略了“一段拋物線”中的“一段”，由于對這一段拋物線L：y=-x（x-3）＋c（0≤x≤3）的自變量的取值范圍0≤x≤3的“無視”出現(xiàn)解題漏洞，是一種常見錯解.而“網(wǎng)傳另解”“重點”解釋了c=1的一種思考，只是對于“錯解”答案的一種簡單更正，并沒有給出實質(zhì)的、有力量的解釋，不能算作一種好的解答.以下進行訂正和優(yōu)化.

對“網(wǎng)傳另解”的完善：先畫出一段拋物線y=-x（x-3）（0≤x≤3）的圖像，如圖1所示，再將直線l′：y=x＋2-c看成y=x＋2向下平移后的圖像，當平移后直線與那段拋物線有唯一公共點時，第一次是直線y=x＋1與拋物線相切狀態(tài)（此時對應著2-c=1，即c=1）；繼續(xù)向下平移到y(tǒng)=x時，此時仍然與這段拋物線有兩個交點，但這是一種臨界狀態(tài)，即當1

綜上，整數(shù)c的值有1、3、4、5.故選D.

圖1

圖2

更“自然”的解法：根據(jù)題意構(gòu)造圖2進行形象化的分析，以形助數(shù)，讓這段拋物線向上平移c個單位，第一次“碰”到定直線y=x＋2時，是c=1時的“相切”狀態(tài)，接著是“當1

二、同類考題鏈接

考題2：在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x2-4x＋n-1.點C的坐標為（3，0），若該拋物線與線段OC有且只有1個交點，求n的取值范圍.

“以形助數(shù)”解法展示：拋物線的解析式y(tǒng)=x2-4x＋n-1即y=（x-2）2＋n-5. 這樣就可將拋物線y=x2-4x＋n-1看成由拋物線y=（x-2）2上下平移得到的.

可構(gòu)造圖3，以形助數(shù).

當拋物線的頂點在x軸上時，n-5=0，即n=5.

接著看拋物線向下平移時與線段OC的端點相交的臨界情況.當拋物線經(jīng)過端點C時，0=（3-2）2＋n-5，解得n=4.當拋物線經(jīng)過另一端點（原點）時，0=（0-2）2＋n-5，解得n=1.

故當1≤n＜4時，拋物線y=x2-4x＋n-1與線段OC有且只有一個交點.

綜上所述，1≤n＜4或n=5.

圖3

圖4

考題3：在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=mx2-2mx＋m-4（m是不為0的常數(shù)）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C（0，-3）.將拋物線在B、C之間的部分記為圖像G（包含B、C兩點），若直線y=5x＋b與圖像G有公共點，請直接寫出b的取值范圍.

“以形助數(shù)”解法展示：容易求出拋物線的解析式為y=x2-2x-3，則點A（-1，0）、B（3，0）.畫出示意圖分析，如圖4，對“圖像G”加粗.

將直線y=5x向下平移與“圖像G”第一次相交于點C（0，-3），此時b=-3.

繼續(xù)向下平移，可考慮聯(lián)立y=5x＋b與y=x2-2x-3，利用Δ=0，求出臨界值b=-15.25，此時對應的直線與拋物線的公共點（切點）在第一象限，這時與“圖像G”沒有交點，故只能取“圖像G”的右端點B（3，0），代入直線y=5x＋b中，求得b=-15.

綜上所述，若直線y=5x＋b與圖像G有公共點，則b的取值范圍為-15≤b≤-3.

考題4：（2018年北京卷，第26題，有刪減）在平面直角坐標系xOy中，直線y=4x+4與x軸、y軸分別交于點A、B，拋物線y=ax2+bx-3a經(jīng)過點A，將點B向右平移5個單位長度，得到點C.若拋物線與線段BC恰有1個公共點，結(jié)合函數(shù)圖像，求a的取值范圍.

“以形助數(shù)”解法展示：A（-1，0）、B（0，4）、C（5，4）.把點A（-1，0）的坐標代入拋物線y=ax2+bx-3a中，可得b=-2a，這樣拋物線的解析式為y=ax2-2ax-3a（注：含有多個參數(shù)的問題，“消參”是常用策略），這樣就可讀出拋物線的對稱接下來討論開口向上、向下時可能的臨界圖形（如圖5～7）“，以形助數(shù)”進行分析，

①當拋物線過點C時，把C（5，4）的坐標代入拋物線的解析式，得25a-10a-3a=4，解得a=.

②當拋物線過點B時，把B（0，4）的坐標代入拋物線的解析式，得-3a=4，解得a=-.

③當拋物線的頂點在BC上時，此時頂點為（1，4），有a-2a-3a=4，解得a=-1.

圖5

圖6

圖7

三、解題教學的思考

1.讓抽象、晦澀函數(shù)問題的解法盡量“形象、生動”起來

本文關注的函數(shù)問題比較抽象、晦澀，如果不借助圖像處理，往往解答的可讀性、理解性會大打折扣.作為解法研究，也許側(cè)重于簡潔，但是作為解題教學，讓更多學生理解這類問題的解法與進行問題結(jié)構(gòu)的揭示，則需要輔以圖像示意，讓解法“形象、生動”起來，這也是我們在解題研究中要重視之處.這里可順便提及函數(shù)研究的重要方法——數(shù)形結(jié)合.數(shù)形結(jié)合可細分為以形助數(shù)（本文側(cè)重于這種策略）、以數(shù)馭形、數(shù)形互助，在不同習題訓練講評過程中，要注意引導學生加以體會、辨別.

2.加強同類問題鏈接，讓學生加深對變量取值范圍的印象

對于較難習題，在解題教學之后，學生往往聽懂、會做，但是仍然缺乏更深的理解.這時必要的同類問題的鏈接十分必要，這也是我們在上文鏈接考題2～考題4的原因所在.這些習題更多的要靠平時的解題研究、積累與收集.事實上，上面的4道考題稍加組合，按考題2、考題3、考題4的方式漸次呈現(xiàn)，就可成為解題教學課的前3個教學環(huán)節(jié)，把考題1放在最后作為一道變式問題檢測學生是否達到了課時訓練目標.從命題研究的角度看，河北卷這道選擇題放置在最后一題的位置，且4個選項也設置得很巧妙，以選擇題的方式呈現(xiàn)，4個選項之間互相關照，啟發(fā)學生注意查漏補缺，充滿了人文關懷.